静电力的功 电势

注意: 电荷无限分布是指无限长的带电体, 无限大的带电面, 电荷无限分布是指无限长的带电体
其余分布即为有限分布, 常选无穷远为零势能处.
点电荷在空间任一点的电势为？ ？点电荷在空间任一点的电势为？ U =
q 4πεor
（3）电势差
（任意两点的电势之差称为电势差）
U AB = U A U B
A0势(能)
最好用电势的定义式 ２高度对称的面, 体, 最好用电势的定义式 U p = ∫ 高度对称的面
U =0 E dl p
３高度对称的面, 体的组合 最好用电势的大叠加原理 高度对称的面 体的组合, 最好用电势的大叠加原理
方法的掌握需勤练多思!!
４.等势面 等
电势相等的点组成的曲面。 电势相等的点组成的曲面。
q1 q2
各点电荷在o点处的电势 解： (1)各点电荷在 点处的电势 各点电荷在 o
q4
q3
qi UP = ∑ i 4πε o ri
(2) A = q0 (U∞ Uo )
q U1 = U2 = U3 = U4 = 4πεor q ∴ Uo = 4U1 = = 28.8 × 10 2V πεor
= –qoUo= – 28.8×10-11 J
.
3 若是一带电圆盘？ dU = 若是一带电圆盘？
U = ∫ dU = σ ( R2 + x2 x) 2εo
dq 4πεo r2 + x2
dq=σ2πrdr σ π
＊＊电势的计算小结： ＊＊电势的计算小结： 电势的计算小结
q U= 一般的点, 最好用点电荷公式的叠加 １一般的点 线, 系, 最好用点电荷公式的叠加 4πεor
仅与场点A的位置有关, 故可用 此比值描述电场中A点的性质, 称为A点的电势, 用U表示
电势是个标量，其单位为 （伏特） 电势是个标量，其单位为V（伏特）
即UA =
∫
A 0 势 (能 )
E dl
说明： 说明：
a、 电势只与电场有关, 与检验电荷无关, 反映了静电场的性质 b、数值上等于将单位正电荷从观测点移到零势能处电场力所做的功
A =
b q ∫a E
d l = q(Ua Ub )
记住!
练习: 练习:
A =
b q ∫a E
d l = q(Ua Ub )
如图所示,A点有电荷+q,B点有电荷-q,AB=2l,OCD是以B为中 如图所示,A点有电荷+q,B点有电荷-q,AB=2l,OCD是以B ,A点有电荷+q,B点有电荷 是以 ,l为半径的半圆 为半径的半圆. 心,l为半径的半圆. (1)将单位正电荷从 点沿OCD移到D 将单位正电荷从O OCD移到 电场力作功为多少？ (1)将单位正电荷从O点沿OCD移到D点,电场力作功为多少？ (2)将单位负电荷从 点移到无穷远,电场力作功为多少? 将单位负电荷从D (2)将单位负电荷从D点移到无穷远,电场力作功为多少? 提示: 电场力是保守力,做功与路径无关, 提示: 电场力是保守力,做功与路径无关, 取决于始末位置的电势差 +q
E p A = A AB =
即 B为零电势能处
∫
AB
q 0 E dl
电势能是属于相互作用的整个系统的，不仅与电场有关还与该移动电荷有关. 电势能是属于相互作用的整个系统的，
（2）电势
由
E pA = AA0势能处 = ∫
E PA = q0
A 0 势能处
q 0 E dl
得
∫
A 0 势能
E dl
q U= 4πεor
U2 < U1 等势面与电场分布的关系： 等势面与电场分布的关系：
U1
+q (1) 等势面与电力线处处正交， 等势面与电力线处处正交， 且电力线的方向指向电势 降低的方向。 降低的方向。 (2) 在同一等势面上移动电荷， 在同一等势面上移动电荷， 电场力的功恒等于0。 电场力的功恒等于 。
§３静电场力作功 电 势 1 静电场力作功
q r q的场强： = 的场强： 的场强 E 2 4πε 0r
(1) 单个点电荷产生的电场中 从电场的a点移动到 点移动到b点 ？ 将电荷 qo 从电场的 点移动到 点 A=？ q r a. r+dr c qo
.b
dl
α
在任意点c， 在任意点 ，位移 dl 、受力 F = qoE
.
U p = ∫ E dl = ∫ (E1 + E2 + + Ek ) dl
= ∫ E1 d l + ∫ E 2 d l + + ∫ E k d l
P ∞
P
∞
∞
P
P∞
P
∞ P
q1 q2 qk = + ++ 4πε o r1 4πε o r2 4πε o rk
= U1 +U2 ++Uk
qi U P = ∑ Ui = ∑ i i 4πε o ri
b
(2) 点电荷系产生的电场中
∑qi
r a.
任意点c处的电场为： 任意点 处的电场为：E = ∑ Ei = E1 + E2 + + Ek 处的电场为
.b A = ∫ F dl = ∫ qoE dl
∫
r+dr c qo
= qo∫ (E1 + E2 + + Ek ) dl
dl
= qo∫ E1 dl +qo∫ E2 dl + +qo∫ Ek dl
dA = F dl = Fdl cos α =Fdr dl cos α = dr
dl
F F
结论: 结论 单个点电荷产生的电场中，电场力作功与路经无关 路经无关. 单个点电荷产生的电场中，电场力作功与路经无关
qo q A= ∫ F dr = ∫ qo Edr = ∫ dr 2 qo q 1 1 a 4πε o r A= r r 4πε o a b
c、电势是个相对量, 跟零势（能）的选取有关 跟零势（ 电荷分布在有限空间, 电荷分布在有限空间 有限空间 取无穷远为 U= 0 点. 无限空间 电势零点的选取： 电荷分布在无限空间， 电势零点的选取： 电荷分布在无限空间， 取有限远点为U= 0 点. 取有限远点为 一般工程上, 一般工程上 选大地或设备外壳为U=0点. 选大地或设备外壳为 点
Up = ∫
U =0 E dl p
真空中一半径为R的球面 均匀带电Q, 的球面, ＊例: 真空中一半径为 的球面 均匀带电 求带电球所 在空间任意一点P的电势 的电势U=？ 在空间任意一点 的电势 ？ 由高斯定理已求得电场分布： 解: 由高斯定理已求得电场分布：
r<R E =0
R
r>R
∞
E=
Q
P点处在球外 r>R： 点处在球外 ：
2 电势能、 电势和电势差 电势能、 （1）电势能 电场是保守场 保守场, 静电场是保守场, 静电场力是保守力 保守力. 静电场力是保守力 静电 场力所做的功就等于电荷 电势能增量的负值. 电势能增量的负值
B E pB A E pA
E
AAB = EpA EpB = (EpB EpA)
令
EpB = 0
计算均匀带电Q的圆环轴线上任意一点 的电势U=？ 的圆环轴线上任意一点P的电势 例. 计算均匀带电 的圆环轴线上任意一点 的电势 ？ 其在P点产生的电势 其在 点产生的电势 解：取环上电荷元 dq，
dq
dq U P = ∫ dU =∫ dq = ∫ r 4πε or Q4πε o R 2 + x 2 R r Q o x P X UP = 4πεo R2 + x2 相当于点电荷 Q Q U 1 当x= 0， P = 讨论： 讨论： x >>R，U P = ， ， 4πεoR 2 当 4πεo x
C -q B D l
AOCD = q0 (UO UD ) = (0 UD ) = q / 6πε0l A AD∞ = q0 (UD U∞ ) = (UD 0) = q / 6πε0l
O 2l
3 电势计算!(点，线，面，体)
A 用定义法求U-------针对 定义法求 针对???? 针对
场强易求的 面体
电势叠加原理
2) 连续带电体的电势： 连续带电体的电势： 其在任意点P处的电势 处的电势： 取电荷元 dq , 其在任意点 处的电势：
dq dU P = 4πε orP
整个带电体在任意点P处的电势： 整个带电体在任意点 处的电势： 处的电势
dq
rpபைடு நூலகம்
+q
UP = ∫
dq 4πεorP
.
P
注：
电势是标量,积分是标量迭加 电势是标量 积分是标量迭加. 积分是标量迭加 电势迭加比电场迭加要简便. ∴电势迭加比电场迭加要简便
o
E
R
注：
Q r >R E= r 2 r 4πεor 球内E=0, 是球面上各点电荷在球内的 球内 场强迭加为0. 场强迭加为
o
R
球内U≠ 球内 ≠0, 是将单位正电荷从球内移到 r 无穷远电场力作功 A ≠ 0.
例: 半径为 R的无限长带电圆柱 电荷体密度为ρ, 的无限长带电圆柱, 电荷体密度为ρ 的无限长带电圆柱 求离轴为r处的 处的U=？ 求离轴为 处的 ？ 解：由高斯定理求得各处的电场 r<R E = ρ r R
aL1 aL2 aL1 b bL2 b
b
a
a
.
∫ E dl = 0
静电场的环路定理
沿闭合路经移动单位正电荷, 电场力作功为0。 即: 沿闭合路经移动单位正电荷 电场力作功为 。
若一矢量场的任意环路积分始终为0 则称该矢量场为无旋场。 若一矢量场的任意环路积分始终为0，则称该矢量场为无旋场。
高斯定理： 高斯定理： dS = 1 ∑ qi 有源场 ∫E εo S内 静电场两个基本性质 基本性质： 静电场两个基本性质： 环路定理： 环路定理： E dl = 0 无旋场 ∫
r =∞
4πεo r
r 2
→∞， 设 r→∞，U=0 →∞
r =∞ Q Q Q r dl = ∫ dr = U p = ∫ E dl = ∫ 4πεor 4πεor2 4πεor2 P P p
P点处在球内 r<R 点处在球内
U p = ∫ E dl E=0 =0 p 0 r =∞ r=R ∞ Q U p = ∫ E dl= ∫ E dl + ∫ E dl = 4πεoR p P r=R
∞
Q 4πεoR 带电球面的电势分布： 带电球面的电势分布： r≥R U= Q 结论： 结论： R 4πεor
r<R U=
1) 球内电势处处相等 均为： = 球内电势处处相等, 均为： U
U
2) 球面处 是连续 球面处U是连续 是连续. 与电场分布比较： 与电场分布比较：
r<R E=0
Q 4πεoR
练习: 点电荷q1=q2=q3=q4=4×10-9C,放置在一正方形的 练习 点电荷 × 放置在一正方形的 的四个顶角上, 各顶角距中心5cm. 的四个顶角上 各顶角距中心 中心o点的电势 求：(1)中心 点的电势 中心 点的电势, (2)将qo=1 ×10-9C从无穷远移到 点,电场力作的功 从无穷远移到o点 电场力作的功 电场力作的功. 将 从无穷远移到
每一项都与路经无关
F
静电场力作功与路经无关 电场力作功与路经无关, 与路经无关 保守力, 静电场是保守场！！ 静电场力是 保守力 静电场是保守场！！
(3)环路定理 qo 从a 经L1 b 任意静电场中, 任意静电场中 将 电场力作功： 电场力作功： = qE dl 经L2 A
L2
.
qo
L1
b
∫
= ∫ qoE dl + ∫ qoE dl = ∫ qoE dl ∫ qoE dl = 0
= ∫ E dl ∫ E dl
A 0 势 ( 能 ) B 0 势 (能 )
= ∫ E dl + ∫ E dl = ∫ E dl
0势(能) B AB
UAB = UA UB = ∫ E dl
A
B
若已知电势分布U(r)求移动电荷 电场力作功： 求移动电荷q, 电场力作功： 若已知电势分布 求移动电荷
叠加法求 针对???（ 大组合） Ｂ 用叠加法求U-------针对 （点，线，大组合） 针对
q > 0 r →∞ U = 0 ↓ q 1）一个点电荷的电势：U = 4πε r ）一个点电荷的电势： q < 0 r →∞ U = 0 ↑ o 点电荷系的电势： 点电荷系的电势：在点电荷系 q1 q2 qk的电场中 ∑ qi 任意点P处的电势 任意点 处的电势
2ε o
Up = ∫
U=0 E dl p
r
选 取 柱 面 为 零 电 势 点
.
ρR 2 = λ r r≥R E= r 2πεor 2εor →∞, 设r→∞ U∞= 0 →∞ p ∞ ρR 2 ∞ ∞ ρR 2 ∞ ln r ≥ R U p = ∫ Edr = ∫ dr = 2ε o rp P 2ε o r P ρR2 R Up = ln < 0 2εo r R ρ ρ 2 2 r < R U = ∫ r dr = (R r ) > 0 2εo ε r2 o ρ 2 R r= 0处， U= Umax= 处 2εo ε