24-3数学九年级资料三角形一边的平行线（很好,很全,很详细）

24-3数学九年级资料三角形一边的平行线（很好,很全,很详
细）
24.3 三角形一边的平行线
学习目标：
1、通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；
2、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；
3、掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.主要概念：
4、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题.
主要概念：
1、平行线分线段成比例定理
用符号语言表示：
AD ∥BE ∥CF,
,,AB DE BC EF AB DE
BC EF AC DF AC DF
∴
===. 2、平行线等分线段定理
两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段
相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.
用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ?
=?=? .
熟悉定理的几种变形
井字型 A 字型 X 字型倒 A 字型畸形(O 无用)
3、三角形一边的平行线性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
4、三角形一边的平行线性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原
三角形的三边对应成比例. 5、重心的性质
三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍
重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形
的重心.
2、作法：两条中线的交点.
3 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中
点的距离的两倍.
6、三角形一边平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
7、三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边
的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 即：如图，如果或或
则DE ∥BC .
典型例题：
【导入】
1、同底等高的三角形的面积比是多少？（1：1）
2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）
3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）
4、若cd ab =，（,,,a
b c d 均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种
形式：
，（让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）
,,,,,,,.a d a c c b b d b c d b c a d a
c b
d b a d c a d a a c b d b c
========
E
B
C
5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半）【例1】如图若DE ∥BC ，1AD BD
=，能否得到1AE
EC =?
解：由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：
1EAD EDB S AD
S DB
==；由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：EAD EDC S AE
S EC
=
. 因为DE ∥BC ，所以 EDB EDC S S ??=，
所以EAD EDC S AE
S EC
=
=1即 . 【例1拓展1】若将DE 向下平行移动能否得到？已知：ABC ?,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥BC .
求证： .
证明：联结EB ,CD 设E 到BA 的距离为h ，则
11
,22
EAD EDB S AD h S DB h ??= =?, 得
EAD EDB S AD
S DB
=
，同理可得
EAD EDC S AE
S EC
=
，
1AD AE DB EC ==
C
AD AE
DB EC
=AD AE
DB EC
=
C
B
C
DE ∥BC ,
.EDB EDC S S AD AE DB EC ∴=∴
=
请问：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？
今后常用的有三个比例式：
【拓展2】若DE 截在AB ,AC 的延长线上，或DE 截在BA ,CA 的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？
三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.
符号语言：∵DE ∥BC , AD AE
BD EC
∴
=, 用?符号书写：DE ∥BC ?
强调在同一条线段上的比例关系.
【例2】如图,已知DE ∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE. 解∵DE ∥BC, ∴
CE
AC
BD AB =, 由AB =15,AC =10,BD =6,得,∴CE=4 . 【例2拓展练习】
1、在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于
E . （1）已知4,3,5===AE DB AD ，求EC 的长.
,,AD AE AD AE DB EC
DB EC AB AC AB AC
===
AB AD
BC DE
=
B
C
15106CE
=
C
E F （2）已知5,4,12===DB EC AC 求AD 的长. （3）已知=BD AD ：3：2，10=AC ，求AE 的长.
2、如图，在⊿ABC 中，DE ∥BC ，S ⊿BCD ：S ⊿ABC =1：4，若AC =2，求EC 的长
.
B
3、如图，已知，AB ∥CD ∥EF ，OA =14，AC =16，CE =8，BD =12，求OB 、DF 的长.
4、如图，在⊿ABC, DG ∥EC ,EG ∥BC ,求证：2AE =AB ·
AD.
B
C
【例3】证明三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
C
C
分析：
DE BC 中的DE 不在△ABC 的边BC 上，但从比例AD AE
AB AC
=可以看出，除DE
外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将DE 移到BC 边上去得CF=DE ，然后再证明
AD CF
AB BC
=就可以了，这只要过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，CF 就是平移DE 后所得的线段. 已知：DE ∥BC ，求证
BC
DE
AC AE AB AD ==. 证明：作DF ∥EC 交BC 于F ,
DE ∥BC ,
∴四边形DFCE 为平行四边形，得FC =DE , ∵DF ∥EC ,
∴AB AD
BC
FC =
, ∴
DE AD BC AB
=. DE ∥BC 得AD AE AB AC
=,
∴
AC AE
AB AD BC DE ==.
如上图，当的延长线上时的延长线上或在CA BA AC AB DE ,,结论同样成立，得证。

【例4】如图，线段BD 与CE 相交于点A , DE ∥BC ,已知2BC =3ED ,AC =8, 求AE 的长.
E
【例5】已知：如图CF BE ,是ABC ?的中线，交于点G ，求证：2
1
==GC GF GB GE .
B C
（重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两
倍.）【例6】已知：在Rt ABC ?中，∠090=C ，AE BD AB ,,12=是中线交于G 点，
求CG 的长.
【例7】已知：在Rt ABC ?中，∠0
90=C ，G BC AB ,4,5==是
重心，GH AB ⊥于H ，求GH 的长.
【例7拓展】
1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE=2，EC=3，DE=4，求BC 的长.
2.如图：BD ∥AC ，CE=3，CD=5，AC=5，求BD 的长.
3.已知，△ABC 中，∠C=090，G 是三角形的重心，AB=8，求：
① GC 的长；
② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ，
求MN 的长.
B
B
C
4.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.
【例8】如图AD ∥BE ∥CF ，AB =3，AC =8，DF =10，求DE ,EF 的长.
【例9】已知线段a ,b ,c ,求作线段x ,使a :b =c :x
【例10】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC,则下列比例式中正确的是（）
a b c
第3题第4题
A.;
B. ;
C. ;
D. .
【答案】B
【方法总结】在做一线三角类题目使可以要求学生按照下图所示，用单双弧标出（先将分别标为双弧、单弧，然后根据平行线定理标出其他线段）然后对各个选项进行判断.
【例10拓展】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，,则DE= 。

【答案】6
【提示】
【例11】如图，四边形ABCD是菱形，且AB=14，BC=12,AC=10,则BE等于（）
A.5;
B.6;
C.7;
D.8.
【答案】5
【提示】
【方法总结】往往设平行四边形（特殊的平行四边形）的边长为，然后列比例关系求解即可
【例11拓展】如图，若DE∥B A，DF∥BC，，AB=9，BC=6,则
BEDF周长= 。

【答案】
【提示】
【例12】如图，在△ABC中，E是AC中点，延长BC到D，使DC=BC，连接DE，并延长交AB于F，则DE：EF= 。

【答案】3:1
【提示】
【方法总结】以下图为例，当与的交点为或中点时，通常以过该点的某一线段为中位线，构造三角形的第三边，然后通过比例求解即可.
【例12拓展1】
1．如图，，G为AF的中点，则＝_______。

【答案】7:1
【例13】（变式）如图，已知BD=DC,求证：EA FB=EC FA.
【答案】略
【提示】
【方法总结】如下图，遇到此基本图形，通常过A作DF的平行线或过D作AC 的平行线
【例13拓展】如图，D、E分别为△ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线
交DE的延长线于F点，且.求证：DB=EC。

【答案】略
【提示】,
【例14】（变式）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，延长AD到E，延长AB交CE于P。

若AD=2DE。

求证AP=3AB.
【答案】略
【提示】根据AD=2DE，标出图中AB,BG,BD,DC,GE;然后根据，标出
PG，最后得证
【说明】实际是例4一类题目的基本图形的变形
【例14拓展】如图，在△ABC的边BC，CA上各取一点P和Q，若BP：PC=CQ：QA=2：3，设AP，BQ的交点为K。

求BK：KQ的值。

【答案】
【提示】由BP：PC=CQ：QA=2：3标出PB,BP,CG,GQ,BQ;由,标出KQ,BK
【随堂练习1】
1．如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则＝________。

【答案】1
2．如图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5
cm，求线段BF的长．
【答案】10
3．△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，，FC＝2，AC＝6，求DE和CE 长
【答案】3；
4．如图，AM是△ABC中BC边上的中线，过点B作直线交AM 于点P，交AC于点Q。

求证：AP：PM=2AQ：QC。

【答案】略
【提示】过M作BQ的平行线
5．如图，E为AC的中点，点F在AB上，且AF:AB=2:5，FE与BC的延长线相交于D，求EF：ED的值。

【提示】过C作CG∥FE，设FE=k,则CG=2k,FD=6k,EF:ED=1:5
【答案】1:5
【课堂总结】
【说明】本节课讲解的一线三角和后面的基本图形的解题技巧的再次讲解
6. 如图,在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=3
4
,由此判断DE 与BC 的位置关系是 .
7. 如图,AM ∶MB=AN ∶NC=1∶3，则MN ∶BC= . 8.如图, △PMN 中, 点A 、B 分别在MP 和NP 的延长线上,
8
3
==BN BP AM AP 则=A B MN
9.△ADE 中,点B 和点C 分别在AD 、AE 上,且AB=2BD ，AC=2CE ，则BC ∶DE= . 10.如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 相交于O,若BO
DO
CO AO =，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= .
11.如图,AC 、BD 相交于点O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求证：∠A=∠C.
（2题图）
12.已知在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上,且EB
CE
DB AD FC AF ==,CF=CE ，求证：四边形CFDE 是菱形.
13.（拓展题）如图,已知点D 、E 在△ABC 的边AB 、AC 上,且DE ∥BC,以DE 为一边作平行四边形DEFG,延长BG 、CF 交于点H,连接AH,求证：AH ∥EF.
【随堂练习2】
1.在△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 的反向延长线上,DE ∥BC ，若AD ∶AB=3∶4，EC=14厘米,则
AC= .
2.如图，已知AE ∥BC ，AC 、BE 交于点D ，若
3
2
=DC AD ，则BE DE = .
（4题图）
3.如图，L
1∥L
2
∥L
3
,AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是………( )
(A) EC∶CG=5∶1 (B) EF∶FG=1∶1 (C) EF∶FC=3∶2 (D) EF∶EG=3∶5
4.在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，且AE：EB=5：3，DC=16cm，求FC的长. 5．如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长.
6.已知线段AB,在线段AB上求作点C,使AC∶CB=3∶2 .
7. 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,BE∥CD交CA的延长线于点E.求证:FC2=FA·FE.
8.（拓展题）如图,P为平行四边形ABCD的对角线BD上任意一点,过点P的直线交AD于点M,交BC于点N,交BA的延长线于点E,交DC的延长线于点F,求证:PE ?PM=PF?PN.
一、基础巩固练习：
选择题：
1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则
为（）
A、1 5
B、1 4
C、1 3
D、12
【答案】D
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，那么下列比例式中正确的是（）
（A）＝；（B）＝；
（C）＝；（D）＝．
【答案】A
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，四边形ADEF是菱形，AB＝15，AC＝10，则菱形的周长是（）。

A. 6；（B）16；（C）24；（D）32。