人教版九年级数学上册 二次函数及一元二次方程应用部分 期末复习讲义

二次函数以及一元二次方程应用部分
本章内容及知识结构图
(上图中a≠0)
1. 二次函数的图像与性质
例1 函数的值恒为负数，则m的取值范围为________
例2．已知某抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x＜1时，函数值y随x 的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
例3. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴为直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式______ ．
例4. 若二次函数y =mx 2+2mx −2(m ≠0)的图象满足：当1<x <2时位于x 轴的上方，当−3<x <−2时位于x 轴的下方，则m = _______________。

例5. 抛物线y =ax 2
+bx +c 的顶点为D(−1,2),与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论：①b 2−4ac <0；②当x >−1时,y 随x 增大而减小；③ c >0；④若方程ax 2+bx +c −m =0没有实数根,则m >2；⑤3a +c <0.其中正确的结论是______________________. 2. 二次函数的平移，翻折，旋转变换
例6．如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （0，3），B （3，0），C （4，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，
直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图②中阴影部分）．
例7. 将抛物线 y =12x 2+1 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为 （ ）
A ． 221y x =-+
B ．221y x =--
C ．2112y x =-+
D ． 21
12
y x =--
例8.在平面直角坐标系中，抛物线
)0(1442
≠-+-=n n nx nx y 与x 轴交于点C ，D (点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． （1）求抛物线顶点M 的坐标;
（2）点A 的坐标为(0，3)，AB//x 轴,交抛物线于点B ，直接写出点B 的坐标．
（3）在（2）的条件下，将抛物线在BC 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图像记为
G ，
若直线y =1
2x +m 与图象G 有一个交点，结合函数图象，求m 的取值范围．
x
y -3
-2
-1
A
D O
3. 二次函数与一元二次方程
例9. 已知抛物线
2
56y x m x m =--+-+（）. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；
（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；
例10．已知一次函数y 1=kx +m(k ≠0)和二次函数y 2=ax 2+bx +c(a ≠0)部分自变量和对应的函数值如下表：
当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是（ ）
A ．-1＜x ＜2
B ．4＜x ＜5
C ．x ＜-1或x ＞5
D ．x ＜-1或x ＞4
例11若关于x 的一元二次方程x 2−4x +3−t =0在0<x <72
的范围内有且仅有一个实根，求实数t 的取值范围______________。

4. 一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用
例12. 股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。

已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）
A.
1011)1(2=
+x B. 910)1(2=+x C. 101121=+x D. 910
21=
+x
例13. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天
可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？
②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
例14如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的一边为墙体（墙体的最大长度a =10米）， （1）如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求AB 的长；
（2）按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围的方法，如果不能，请说明理由。

x … -1 0 2 4 5 … y 1 … 0 1 3 5 6 … y 2 … 0 -1 0 5 9 …
例15. 甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,
甲在O 点正上方1m 的P 处发出一球,羽毛球飞行的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间满足函数表达式y =a (x −4)2+ℎ,已知点O 与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m ．
（1）当a =−
1
24时,
①求h 的值；
②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后,羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7m,离地面的高度为
125
m 的Q 处时,乙扣球成功,求a 的值．
5二次函数综合运用
例16在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的表达式为22
2422y
x mx m m =-+-+，线段AB
的两个端点分别为A （1，2），B （3，2）
（1）若抛物线经过原点，求出m 的值；
（2）求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；
（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围.
例17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠2
43y ax ax a =-+称轴交于点(1)A m -，
，点A 关于x （1）求抛物线的对称轴及a 的值；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． （3）记直线(0)y kx b k =+≠与抛物线围成的封
闭区域（不含边界）为W ．
② 当=1k 时，直接写出区域W 内的整点个数； ②若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象， 求b 的取值范围．。