广西省南宁市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(4)含解析

广西省南宁市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（4）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，A 、B 为⊙O 上两点，D 为弧AB 的中点，C 在弧AD 上，且∠ACB=120°，DE ⊥BC 于E ，若AC=DE ，则BE CE 的值为（ ）
A ．3
B ．3
C ．333+
D ．31+
3．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12
，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是（ ）
A ．（﹣2，1）
B ．（﹣8，4）
C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）
D ．（﹣2，1）或（2，﹣1） 4．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为D
E .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）
A ．2γαβ=+
B ．2γαβ=+
C ．γαβ=+
D ．180γαβ=--o
不能使四边形DBCE成为矩形的是（）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE
6．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
7．一、单选题
如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（）
A．B．C．D．
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是（）
A．B．C．D．
9．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx+b （k 、b 是常数，且k≠0）与反比例函数y 2=c x （c 是常数，且c≠0）的图象相交于A （﹣3，﹣2），B （2，3）两点，则不等式y 1＞y 2的解集是（ ）
A ．﹣3＜x ＜2
B ．x ＜﹣3或x ＞2
C ．﹣3＜x ＜0或x ＞2
D ．0＜x ＜2
10．当x=1时，代数式x 3+x+m 的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（ ）
A ．7
B ．3
C ．1
D ．﹣7
11．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC 按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF 的大小为（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25° 12．函数y=1x +中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥-1且x≠1
B ．x≥-1
C ．x≠1
D ．-1≤x ＜1 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知实数x ，y 满足2(x 5)y 70-+-=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是______． 14．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，BC 边上的高AD=6cm ，腰AB 上的高CE=8cm ，则BC=_____cm
15．若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．
16．现有八个大小相同的矩形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小矩形的面积是_____．
17．已知xy=3，那么
y x
x y
x y
+的值为______ ．
18．分解因式：4a3b﹣ab＝_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元．（1）求y与x之间的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）；
（2）如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元？20．（6分）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市2014年的绿色建筑面积约为950万平方米，2016年达到了1862万平方米．若2015年、2016年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：求这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率；2017年该市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米．如果2017年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2017年该市能否完成计划目标.
21．（6分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D 作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AE=1，
2
3
EF
FD
=，求⊙O的半径．
22．（8分）十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策，这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出的促进人口长期均衡发展的重大举措. 二孩政策出台后，某家庭积极响应政府号召，准备生育两个小孩(假设生男生女机会均等，且与顺序无关)．
(1)该家庭生育两胎，假设每胎都生育一个小孩，求这两个小孩恰好都是女孩的概率；
(2)该家庭生育两胎，假设第一胎生育一个小孩，且第二胎生育一对双胞胎，求这三个小孩中恰好是2女1
乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元．
（1）甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？
（2）如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？
24．（10分）解下列不等式组：
6152(43) {211
2
323
x x
x
x
++
-
≥-
＞①
②
25．（10分）先化简，再求值：（
3
1
m+
﹣m+1）÷
24
1
m
m
-
+
，其中m的值从﹣1，0，2中选取．
26．（12分）如图，在直角坐标系中△ABC的A、B、C三点坐标A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）．（1）请在图中画出△ABC的一个以点P（12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′（要求与△ABC同在P点一侧），画出△A′B′C′关于y轴对称的△A′'B′'C′'；
（2）写出点A'的坐标．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)
y ax bx c a
=++≠的图象经过(1,0)
M和(3,0)
N两点，且与y轴交于(0,3)
D，直线l是抛物线的对称轴，过点(1,0)
A-的直线AB与直线相交于点B，且点B在第一象限．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线AB和直线l、x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，P
e与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1． 故选B ．
2．C
【解析】
【分析】
连接,,CD BD D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o ,CAD CBD ∠=∠在BC 上截取BF AC =,连接DF,则ACD V ≌BFD △,根据全等三角形的性质可得：,CD FD = ,ADC BDF ∠=∠ ,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠ 即120,CDF ADB ∠=∠=o ,DE BC ⊥根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o 设,DE x = 则,BF AC x == 3,tan 30DE CE EF x ==
=o 即可求出BE CE
的值. 【详解】
如图：
连接,,CD BD
D 为弧AB 的中点，根据弧，弦的关系可知，AD=BD,
根据圆周角定理可得：120,ACB ADB ∠=∠=o ,CAD CBD ∠=∠
,AC BF CAD FBD AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
则ACD V ≌BFD △,
,CD FD ∴= ,ADC BDF ∠=∠
,ADC ADF BDF ADF ∠+∠=∠+∠
即120,CDF ADB ∠=∠=o
,DE BC ⊥
根据等腰三角形的性质可得：,CE EF = 30,DCF DFC ∠=∠=o
设,DE x = 则,BF AC x ==
,tan 30DE CE EF ===o
BE BF EF CE CE +=== 故选C.
【点睛】
考查弧，弦之间的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，综合性比较强，关键是构造全等三角形.
3．D
【解析】
【分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，即可求得答案．
【详解】
∵点A （-4，2），B （-6，-4），以原点O 为位似中心，相似比为
12
，把△ABO 缩小， ∴点A 的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．
故选D ．
【点睛】
此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为
位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于±
k ． 4．A
分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
详解:
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 5．B
【解析】
【分析】
先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
B、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；
C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误；
D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误,
故选B．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.
【详解】
解：连接OD
∵∠AOD=60°，
∴ACD=30°.
∵∠CEB是△ACE的外角，
∴△CEB＝∠ACD+∠CAO=30°+45°=75°
故选：D
7．D
【解析】
试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故
答案选D.
考点：简单几何体的三视图.
8．C
【解析】
【分析】
根据题意表示出△PBQ的面积S与t的关系式，进而得出答案．
【详解】
由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，
则△PBQ的面积S＝1
2
PB•BQ＝
1
2
（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，
故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选C．
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．
【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=c
x
图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c
x
（c是常数，且c≠0）
的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
【详解】
因为当x=1时，代数式的值是7，所以1+1+m=7，所以m=5，当x=-1时，=-1-1+5=3，故选B．
11．A
【解析】
【分析】
先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．
【详解】
由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°，
∴∠CED=50°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°−50°=10°，
故选A.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.
12．A
【解析】
是取让两个条件都满足的公共部分．
详解：根据题意得到：
10
10 x
x
+≥
⎧
⎨
-≠
⎩
，
解得x≥-1且x≠1，
故选A．
点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1或2
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】
根据题意得，x-5=0，y-7=0，
解得x=5，y=7，
①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、7，三角形的周长为1．
②5是底边时，三角形的三边分别为5、7、7，
能组成三角形，5+7+7=2；
所以，三角形的周长为：1或2；
故答案为1或2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
14
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式求出AB
BC
＝
3
4
，根据等腰三角形的性质得到BD＝DC＝
1
2
BC，根据勾股定理列式
计算即可．
【详解】
∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，
∴1
2
AB•CE＝
1
2
BC•AD，
∵AD ＝6，CE ＝8， ∴AB BC ＝34
， ∴2
2AB BC ＝916
， ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴BD ＝DC ＝12
BC ， ∵AB 2−BD 2＝AD 2，
∴AB 2＝
14BC 2＋36，即916BC 2＝14
BC 2＋36，
解得：BC ．
． 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用和三角形面积公式的应用，根据三角形的面积公式求出腰与底的比是解题的关
15．：k ＜1．
【解析】
【详解】
∵一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，
∴△=24b ac -=4﹣4k ＞0，
解得：k ＜1，
则k 的取值范围是：k ＜1．
故答案为k ＜1．
16．1．
【解析】
【分析】
设小矩形的长为x ，宽为y ，则由图1可得5y=3x ；由图2可知2y-x=2.
【详解】
解：设小矩形的长为x ，宽为y ，则可列出方程组，
3522x y y x =⎧⎨-=⎩，解得106x y =⎧⎨=⎩
， 则小矩形的面积为6×
10=1.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用.
17．±
【解析】
分析：先化简，再分同正或同负两种情况作答．
详解：因为xy=3，所以x、y同号，
于是原式=
当x>0，y>0时，原式
当x<0，y<0时，原式=(
故原式=±
点睛：本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键.
18．ab(2a+1)(2a-1)
【解析】
【分析】
先提取公因式再用公式法进行因式分解即可.
【详解】
4a3b- ab= ab(4a2-1)=ab(2a+1)(2a-1)
【点睛】
此题主要考查因式分解单项式，解题的关键是熟知因式分解的方法.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）y=0.8x﹣60（0≤x≤200）（2）159份
【解析】
解：（1）y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）=0.8x﹣60（0≤x≤200）．
（2）根据题意得：30（0.8x﹣60）≥2000，解得x≥
1 138
3
．
∴小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元．
（1）因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=（1﹣0.5）x﹣（0.5﹣0.2）（200﹣x）即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数．
（2）因为每月以30天计，根据题意可得30（0.8x﹣60）≥2000，解之求解即可．
20．（1）这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；（2）如果2017年仍保持相同的年平均增
长率，2017年该市能完成计划目标．
【解析】
试题分析：（1）设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率x，根据2014年的绿色建筑面积约为700万平方米和2016年达到了1183万平方米，列出方程求解即可；
（2）根据（1）求出的增长率问题，先求出预测2017年绿色建筑面积，再与计划推行绿色建筑面积达到1500万平方米进行比较，即可得出答案．
试题解析：（1）设这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x，
根据题意得：700（1+x）2=1183，
解得：x1=0.3=30%，x2=﹣2.3（舍去），
答：这两年该市推行绿色建筑面积的年平均增长率为30%；
（2）根据题意得：1183×（1+30%）=1537.9（万平方米），
∵1537.9＞1500，
∴2017年该市能完成计划目标．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件和增长率问题的数量关系，列出方程进行求解．
21．(1)见解析;(2)3 2 .
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由DH⊥AC，DH是⊙O的切线，然后由平行线的判定与性质可证∠C=∠ODB，由圆周角定理可得∠OBD=∠DEC，进而∠C=∠DEC，可证结论成立；
（2）证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形的性质即可求出圆的半径.
【详解】
（1）证明：连接OD，
由题意得：DH⊥AC，由且DH是⊙O的切线，∠ODH=∠DHA=90°，
∴∠ODH=∠DHA=90°，
∴OD∥CA，
∴∠C=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD=∠C，
∵∠OBD=∠DEC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE；
（2）解：由（1）可知：OD∥AC，
∴∠ODF=∠AEF，
∵∠OFD=∠AFE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∵AE=1，
∴OD=，
∴⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，难度中等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
22．（1）P(两个小孩都是女孩)＝1
4
；（2）P(三个小孩中恰好是2女1男)＝
3
8
.
【解析】
【分析】
（1）画出树状图即可解题,（2）画出树状图即可解题.
【详解】
(1)画树状图如下：
由树状图可知，生育两胎共有4种等可能结果，而这两个小孩恰好都是女孩的有1种可能，
∴P(两个小孩都是女孩)＝1 4 .
(2)画树状图如下：
由树状图可知，生育两胎共有8种等可能结果，其中这三个小孩中恰好是2女1男的有3种结果，
∴P(三个小孩中恰好是2女1男)＝3 8 .
【点睛】
本题考查了画树状图求解概率,中等难度,画出树状图找到所有可能性是解题关键.
23．（1）甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；（2）甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y 最小值为2090万元．
【解析】
【分析】
（1）设甲种套房每套提升费用为x万元，根据题意建立方程求出其解即可；
（2）设甲种套房提升m套，那么乙种套房提升（80-m）套，根据条件建立不等式组求出其解就可以求出提升方案，再表示出总费用与m之间的函数关系式，根据一次函数的性质就可以求出结论.
【详解】
（1）设乙种套房提升费用为x万元，则甲种套房提升费用为（x﹣3）万元，
则625700
3
x x
=
-
，
解得x=1．
经检验：x=1是分式方程的解，
答：甲、乙两种套房每套提升费用为25、1万元；
（2）设甲种套房提升a套，则乙种套房提升（80﹣a）套，
则2090≤25a+1（80﹣a）≤2096，
解得48≤a≤2．
∴共3种方案，分别为：
方案一：甲种套房提升48套，乙种套房提升32套．
方案二：甲种套房提升49套，乙种套房提升31套，
方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套．
设提升两种套房所需要的费用为y万元，则
y=25a+1（80﹣a）=﹣3a+2240，
∵k=﹣3，
∴当a取最大值2时，即方案三：甲种套房提升2套，乙种套房提升30套时，y最小值为2090万元．【点睛】
本题考查了一次函数的性质的运用，列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用．解答时建立方程求出甲，乙两种套房每套提升费用是关键，是解答第二问的必要过程．
24．﹣2≤x＜9
2
．
【解析】
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】
()6152432112323x x x x ⎧++⎪⎨-≥-⎪⎩
f ①②， 解不等式①得，x ＜92
， 解不等式②得，x≥﹣2， 则不等式组的解集是﹣2≤x ＜
92． 【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
25．22
m +- ，当m=0时，原式=﹣1． 【解析】
【分析】
原式括号中两项通分，并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果.根据分数分母不为零的性质，m 不等于-1、2，将0m =代入原式即可解出答案.
【详解】 解：原式2312(2)()111
m m m m m --=-÷+++， 242(2)11
m m m m --=÷++， (2)(2)112(2)
m m m m m -+-+⋅+-， 22
m +=-， ∵1m ≠-且2m ≠，
∴当0m =时，原式1=﹣．
【点睛】
本题主要考查分数的性质、通分，四则运算法则以及倒数.
26．（1）见解析；（2）点A'的坐标为（-3，3）
【解析】
【详解】
解：(1)A B C '''V ，△A′'B′'C′'如图所示．
（2）点A'的坐标为（-3，3）.
27．（1）243y x x =
-+；（2）4433y x =+；（3）32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
或(2,6)P -． 【解析】
【分析】
（1）根据图象经过M （1，0）和N （3，0）两点，且与y 轴交于D （0，3），可利用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）根据直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，得出AC ，BC 的长，得出B 点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC ∽△PBF ，即可求出圆的半径，即可得出P 点的坐标．
【详解】
（1）Q 抛物线2y ax bx c =++的图象经过(1,0)M ，(3,0)N ，(0,3)D ， ∴把(1,0)M ，(3,0)N ，(0,3)D 代入得：
00933a b c a b c c =++⎧⎪=++⎨⎪=⎩
解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
，
∴抛物线解析式为243y x x =-+；
（2）Q 抛物线243y x x =-+改写成顶点式为2(2)1y x =--，
∴抛物线对称轴为直线:2l x =，
∴对称轴与x 轴的交点C 的坐标为(2,0)
(1,0)A -Q ，
2(1)3AC ∴=--=，
设点B 的坐标为(2,)y ，(0)y >，
则BC y =， 12ABC S AC
BC ∴=
⋅⋅△， ∴4y = ∴点B 的坐标为(2,4)，
设直线AB 解析式为：(0)y kx b k =+≠，
把(1,0)A -，(2,4)B 代入得：042k b k b =-+⎧⎨=+⎩
， 解得：4343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线AB 解析式为：4433
y x =+． (3)①∵当点P 在抛物线的对称轴上，⊙P 与直线AB 和x 轴都相切，
设⊙P 与AB 相切于点F ，与x 轴相切于点C ，如图1；
∴PF ⊥AB ，AF=AC ，PF=PC ，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴222234AC BC +=+，AF=3，
∴BF=2，
∵∠FBP=∠CBA ，
∠BFP=∠BCA=90︒，
∴△ABC ∽△PBF ，
∴BF PF PC BC AC AC
==，
∴243PC =， 解得：32PC =， ∴点P 的坐标为(2，32
)； ②设⊙P 与AB 相切于点F ，与x 轴相切于点C ，如图2：
∴PF ⊥AB ，PF=PC ，
∵AC=3，BC=4， AB=5，
∵∠FBP=∠CBA ，
∠BFP=∠BCA=90︒，
∴△ABC ∽△PBF ，
∴
AB AC PB PF
=， ∴534PC PC =+， 解得：6PC =，
∴点P 的坐标为(2，-6)，
综上所述，P e 与直线AB 和x 都相切时，
32,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
或(2,6)P -． 【点睛】
本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一函数的解析式、二次函数的解析式及相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．。