2024年贵州省兴义中学数学高三上期末学业水平测试试题含解析

2024年贵州省兴义中学数学高三上期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）
A ．1
B ．1e
C ．21e
D ．3
1e 2．下列不等式正确的是（ ）
A ．3sin130sin 40log 4>>
B ．tan 226ln 0.4tan 48<<
C ．()cos 20sin 65lg11-<<
D ．5tan 410sin 80log 2>>
3．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
||||1
PM PF -的最小值为（ ） A ．3 B ．2(51)- C ．45 D ．4
4．在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C =中，D 为1BB 的中点，F 在1AC 上，且1DF AC ⊥，则下述结论：①1AC BC ⊥；②1AF FC =；③平面1DAC ⊥平面11ACC A ：④异面直线1AC 与CD 所成角为60︒其中正确命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（ ）
①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a <<
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ）
A ．21
B ．22
C ．11
D ．12
7．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6π，所得向量对应的复数是（ ） A ．1322i -+ B ．3122
i -+ C ．1322i -- D ．3122i -- 8．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛
⎤∈ ⎥⎝⎦
恒成立，则a 的最小值是 （ ） A ．0 B ．2- C ．52- D ．3-
9．如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ）
A ．该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省
B ．与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长
C ．该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个
D ．去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元
10．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b “是“α//β”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）
A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞） 12．已知函数()(1)(2)x e f x m x x e
-=---（e 为自然对数底数），若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，
则实数m 的最大值为（ ） A ．32e e + B ．22e e + C ．32e e - D ．22
e e - 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知12,F F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线的右支相交于点B ，若A 是1BF 上的一个靠近点1F 的三等分点，且210BF =，则四边形2AOF B 的面积为_______．
14．若方程()0,1x
a x a a =>≠有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____________. 15．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于E 点，若满足11
2F E AF =，且1260EF F ∠=，则椭圆C 的离心率为______. 16．已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是_____，z =_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-.
（1）若62f π⎛⎫> ⎪⎝⎭
，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1()|3|1f x a a
≥--+恒成立. 18．（12分）已知函数()()ln()x f x x a x a e x =++++.
（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程；
（2）讨论函数()()x
h x f x e x =--的单调性；
（3）当0a =时，若方程()()x h x f x e x m =--=有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12ln()ln 21x x +>-. 19．（12分）已知函数2()x x
f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
20．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90,2ACB AC CB ∠===，M ，N 分别为AB ，
1A C 的中点.
（1）求证： //MN 平面11BB C C ；
（2）若平面CMN ⊥平面1B MN ，求直线AB 与平面1B MN 所成角的正弦值.
21．（12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈满足关系式233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的通项公式是3321log log n n n b a a +=⋅，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正数n ，总有34
n T <. 22．（10分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-，4n n
b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解题分析】
根据()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立可构造函数()()ln 23h x x m x n =-+-,求导后分情况讨论()h x 的最大值可得最大值最大值()1ln 23123h m n m ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭
, 即()ln 2310m n -+--≤.根据题意化简可得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦,求得
()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,再换元求导分析最大值即可.
【题目详解】
由题, ()0,x ∀∈+∞总有()ln 23x m x n ≤++即()ln 230x m x n -+-≤恒成立.
设()()ln 23h x x m x n =-+-,则()h x 的最大值小于等于0.
又()()1'23h x m x
=-+, 若230m +≤则()'0h x >,()h x 在()0,∞+上单调递增, ()h x 无最大值.
若230m +>,则当123x m >+时,()'0h x <,()h x 在1,23m ⎛⎫+∞ ⎪+⎝⎭
上单调递减, 当1023x m <<+时,()'0h x >,()h x 在10,23m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
上单调递增. 故在123x m =+处()h x 取得最大值()11ln 1ln 2312323h n m n m m ⎛⎫=--=-+-- ⎪++⎝⎭
. 故()ln 2310m n -+--≤,化简得()()()2323ln 231m n m m +≥+-+-⎡⎤⎣⎦.
故()()(),23ln 231F m n m m =+-+-⎡⎤⎣⎦,令()23,0t m t =+>,可令()()ln 1k t t t =-+,
故()'ln 2k t t =--,当21t e >时, ()'0k t <,()k t 在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递减； 当210t e <<时, ()'0k t >,()k t 在210,e
⎛⎫ ⎪⎝⎭递增.
故在21t e =处()h t 取得极大值,为22221111ln 1=k e e e e
⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故(),F m n 的最大值为
21e
. 故选：C
【题目点拨】 本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解()23m n +的最大值.属于难题.
2、D
【解题分析】
根据3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)sin 70sin 65<1<<<-=>，利用排除法，即可求解．
【题目详解】
由3sin 40log 4,ln 0.40tan 226,cos(20)cos 20sin 70sin 65<1<<<-==>，
可排除A 、B 、C 选项，
又由551tan 410tan 501sin80log log 22=>>>
=>， 所以5tan 410sin 80log 2>>．
故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3、D 【解题分析】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x =+-，利用均值不等式得到答案. 【题目详解】
如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，
设(),P x y ，0x >，则()()22
222224||||44||1x y x x PM P P M x F x Q P x x -+-+====+≥-， 当4x x
=，即2x =时等号成立. 故选：D .
【题目点拨】
本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
4、B
【解题分析】
设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F 是1AC 的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线1AC 与CD 所成角判断④的正误．
【题目详解】
解：不妨设棱长为：2，对于①连结1AB ，则1122AB AC ==1190AC B ∴∠≠︒即1AC 与11B C 不垂直，又11//BC B C ，∴①不正确；
对于②，连结AD ，1DC ，在1ADC ∆中，15AD DC ==1DF AC ⊥，F ∴是1AC 的中点，所以1AF FC =，∴②正确；
对于③由②可知，在1ADC ∆中，3DF =连结CF ，易知2CF =而在Rt CBD ∆中，5CD =，222DF CF CD ∴+=， 即DF CF ⊥，又1DF AC ⊥，DF ⊥∴面11ACC A ，∴平面1DAC ⊥平面11ACC A ，∴③正确；
以1A 为坐标原点，平面111A B C 上过1A 点垂直于11A C 的直线为x 轴，11A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，
建立如图所示的直角坐标系；
()10,0,0A ， ()13,1,0B ，()10,2,0C ， ()0,0,2A ， ()0,2,2C ， ()
3,1,1D ； ()10,2,2AC =-， ()
3,1,1CD =--； 异面直线1AC 与CD 所成角为θ，11cos 0||||AC CD AC CD θ=
=，故90θ=︒．④不正确．
故选：B ． 【题目点拨】
本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
5、D
【解题分析】
a ，
b 可看成是y t =与()23=+x f x x 和()32x g x x =+交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.
【题目详解】
令()23=+x f x x ，()32x
g x x =+，
作出图象如图，
由()23=+x f x x ，()32x
g x x =+的图象可知， ()()001f g ==，()()115f g ==，②正确；
(,0)x ∈-∞，()()f x g x <，有0b a <<，①正确；
(0,1)x ∈，())(f x g x >，有01a b <<<，③正确；
(1,)x ∈+∞，()()f x g x <，有1b a <<，④正确.
故选：D.
【题目点拨】
本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.
6、A
【解题分析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值.
【题目详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =.
故选:A.
【题目点拨】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.
7、A
【解题分析】
由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ 的坐标，逆时针旋转
6π，得到向量OB 的坐标，则对应的复数可求. 【题目详解】
解：∵复数z =i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1），
∴OZ ＝(0，1)，将OZ 绕原点O 逆时针旋转
6π得到OB ， 设OB ＝(a ，b )，0,0a b <>，
则cos 6OZ OB b OZ OB π⋅===，
即b =， 又221a b +=，
解得：1,2a b =-=，
∴1,22OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
对应复数为122-
+. 故选：A.
【题目点拨】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.
8、C
【解题分析】
试题分析：将参数a 与变量x 分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论． 解：不等式x 2+ax+1≥0对一切x ∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x 对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
成立， ∵y=-x-1x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
上是增函数 ∴115222x x --≤--=-
∴a≥-5 2
∴a的最小值为-5
2
故答案为C．
考点：不等式的应用
点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题
9、D
【解题分析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【题目详解】
由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1(1 3.3%)44844500
÷+≈<.
故D项不正确.
故选：D.
【题目点拨】
本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
10、D
【解题分析】
根据面面平行的判定及性质求解即可．
【题目详解】
解：a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
由a∥b，不一定有α∥β，α与β可能相交；
反之，由α∥β，可得a∥b或a与b异面，
∴a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，
则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
【题目点拨】
本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．
11、B
【解题分析】
，
，
∴．
故选． 12、A 【解题分析】
若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出()g x 的最小值，分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，结合图象可得. 【题目详解】
解：()(1)(2)0x
f e e x m x x =--->-， ∴(1)(2)x m x x e e ->-+， 设()(2)x
y g x x e e ==-+， ∴()(1)x g x x e '=-，
当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≥=，
当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞，()f x e →， 函数(1)y m x =-恒过点()1,0，
分别画出()y g x =与(1)y m x =-的图象，如图所示，
，
若不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则(1)y m x =-的图象在()y g x =图象的上方只有一个正整数值， ∴3(31)(32)e m e -≤-+且(21)(22)x m e e ->-+，即32(3)m g e e ≤=+，且m e >
∴32
e e
e m +<≤，
故实数m 的最大值为32
e e
+，
故选：A 【题目点拨】
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、60 【解题分析】
根据题中给的信息与双曲线的定义可求得1123,2BF b F F c ==与232BF b a =-,再在12BF F △中,由余弦定理求解得
3
2
b a =,继而得到各边的长度,再根据22AOB
F OB
AOF B S S S
=+四边形计算求解即可.
【题目详解】
如图所示：设双曲线C 的半焦距为c .
因为|OA a =,1AF OA ⊥,1OF c =,所以由勾股定理,得221AF c a b =
-=.
所以1
cos b
AFO c
∠=. 因为A 是1BF 上一个靠近点1F 的三等分点,O 是12,F F 的中点,所以1123,2BF b F F c ==. 由双曲线的定义可知：122BF BF a -=,所以232BF b a =-. 在12BF F △中,由余弦定理可得2
222
1
94232cos BF b c b c AFO =+-⨯⨯⨯∠ 22229423243b b c b c c b c
=+-⨯⨯⨯=-,所以222(32)43b a c b -=-,整理可得3
2b a =.
所以23532321022BF b a a a a =-=⨯
-==,解得4a =.所以3
62
b a ==. 则2
2
46213c =+=.则163cos 21313b AFO c ∠===,得1
2sin 13
AFO ∠=. 则2F OB 的底边2OF 上的高为11
236
sin 181313
h BF AFO =∠=⨯=. 所以22AOB 211
||||22
F OB
AOF B S S
S
AB AO OF h =+=
+四边形 1136
124213602213
=⨯⨯+⨯⨯=.
故答案为：60 【题目点拨】
本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量,,a b c 的关系.属于难题. 14、1
1e a e << 【解题分析】
由x a x =知x ＞0，故ln ln ln 0ln x
x a x a x
⋅-=⇒=
.
令()()ln 0x f x x x =
>，则()21ln 'x f x x
-=. 当()0,x e ∈时，()'0f x >；当(),x e ∈+∞时，()'0f x <. 所以()f x 在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）上递减. 故()1
0ln a f e e
<<=
，即11e a e <<. 15、
71
3
- 【解题分析】
采用数形结合，计算1F E 以及1AF ，然后根据椭圆的定义可得2AF ，并使用余弦定理以及c
e a
=，可得结果. 【题目详解】 如图
由1260EF F ∠=，所以12cos60
c
F E c =
=
由112F E AF =，所以
111
2
AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =-
所以222
1212
12121
cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=
所以()()2
2
222cos12022c c a c c c
+--=
⋅ 化简可得：()2
27227c a c a c c =-⇒-=
则
71
71
c a -==
+ 71
-
【题目点拨】
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
16、34i + 5 【解题分析】
直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数z 的共轭复数和z 的模． 【题目详解】
()2
224434z i i i i =-=-+=-，则复数z 的共轭复数为34i +，且5z ==.
故答案为：34i +；5. 【题目点拨】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()(),04,-∞+∞（2）证明见解析
【解题分析】
（1）将不等式62f π⎛⎫
> ⎪⎝⎭
化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立. 【题目详解】 （1）∵62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为314
3a a a -+->⎧⎨≥⎩
，∴4a >
当13a <<时，不等式化为(3)(1)4
13
a a a -+->⎧⎨
<<⎩，此时a 无解
当1a ≤时，不等式化为(3)(1)4
1a a a -+->⎧⎨≤⎩
，∴0a <
综上，原不等式的解集为()
(),04,-∞+∞
（2）要证x R ∀∈，1
()|3|1f x a a
≥--
+恒成立 即证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥
又11|1|111a a a a -+
+≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1
|1|12a a
-+
+≥成立，∴原题得证 【题目点拨】
本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.
18、（1）310x y -+=；（2）当1a x a e -<<
-时，()h x 在1,a a e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是减函数；当1x a e >-时，
()h x 在1,a e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数；（3）证明见解析. 【解题分析】
（1）当1a =时，()(1)ln(1)x f x x x e x =++++，求得其导函数 ()f x ' ，(0)(0)f f '
，，可求得函数()f x 的图象在
0x =处的切线方程；
（2）由已知得()()()ln()()x
h x f x e x x a x a x a =--=++>-，得出导函数()ln()1h x x a '
=++，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；
（3）当0a =时，()ln h x x x =，()ln 1h x x =+'，由（2）得()h x 的单调区间，以当方程()h x m =有两个不相等的
实数根12,x x ，不妨设12x x <，且有1211
0,1x x e e <<<<，10m e -<<，构造函数()()21,0H x h x h x x e e ⎛⎫⎛⎫=--<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证. 【题目详解】
（1）当1a =时，()(1)ln(1)x
f x x x e x =++++，
所以 ()ln(1)11ln(1)2x
x
f x x e x e '
=++++=+++ ，(0)3,(0)1f f '
∴==， 所以函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=；
（2）由已知得()()()ln()()x h x f x e x x a x a x a =--=++>-，()ln()1h x x a '∴=++，令()0h x '=，得1
x a e
=-， 所以当1a x a e -<<
-时，()'0h x <，当1
x a e >-时，()0h x '>， 所以()h x 在1,a a e
⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
上是减函数，在1,a e ⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
上是增函数； （3）当0a =时，()ln h x x x =，()ln 1h x x =+'，由（2）得()h x 在10,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增， 所以11
()h x h e e
⎛⎫
≥=-
⎪⎝⎭
，且0x →时，()0h x →，当x →+∞时，()h x →+∞，(1)0h =， 所以当方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，且有1211
0,1x x e e <<<<，10m e
-<<，
构造函数()()2221=ln ln ,0H x h x h x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-----<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()22ln H x x x e ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭
， 当10x e <<时，2
2
2212x x e x x e e ⎛⎫
+- ⎪⎛⎫-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭，所以()0H x '<， ()H x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，且10H e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()100H x x e ⎛
⎫∴><< ⎪⎝⎭，
由110,x e <<
()()11120H x h x h x e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()()()121212121,,,h x h x h x x x h x e e e e ⎛⎫
∴=>->-> ⎪⎝⎭
在
1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， ()21121222
,,ln ln 21x x x x x x e e
∴>
-+>∴+>-. 所以12ln()ln 21x x +>-. 【题目点拨】
本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题. 19、（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（2）1λ≥. 【解题分析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案. （2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+---+< ⎪⎝⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【题目详解】
（1）由题可知2()(1)20x
x
f x x e ae
'=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x x a e
+=的两根， ∴1210x x -<<<，则1
12200x x x x λλ
+>⇔>-
>
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫
=+--
-+ ⎪⎝
⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥. 【题目点拨】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20、（1）详见解析；（2【解题分析】
（1）连接1AC ，1BC ，则1N AC ∈且N 为1AC 的中点， 又∵M 为AB 的中点，∴1MN
BC ，
又1BC ⊂平面11BB C C ，MN ⊄平面11BB C C ， 故MN ∥平面11BB C C ．
（2）由1A A ⊥平面ABC ，得1AC CC ⊥，1BC CC ⊥．
以C 为原点，分别以CB ，1CC ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设12(0)CC λλ=>，
则()101M ，，，()01N λ，，
，()1220B λ，，， ()101CM =，，，()10MN λ=-，，
，()121NB λ=-，，． 取平面CMN 的一个法向量为()m x y z =，，，
由0CM m ⋅=，0MN m ⋅=得：
0{0
x z x y λ+=-+=，令1y =，得()1m λλ=-，， 同理可得平面1B MN 的一个法向量为()13n λλ=，
， ∵平面CMN ⊥平面1B MN ，∴22130m n λλ⋅=+-= 解得2λ=，得232122n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，，，又()202AB =-，
，， 设直线AB 与平面1B MN 所成角为θ，则
6sin cos 6
n AB
n AB n AB θ⋅==
=，. 所以，直线AB 与平面1B MN 21、（1）3n n a =（2）证明见解析
【解题分析】 （1）根据公式1n n n a S S -=-得到()132n n a a n -=≥，计算得到答案.
（2）11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=，根据裂项求和法计算得到111112212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭
，得到证明. 【题目详解】
（1）由已知得()2n ≥时，()11233n n n n S S a a --=－－，故()132n n a a n -=≥.
故数列{}n a 为等比数列，且公比3q =. 又当1n =时，1
1233a a ，13a ∴=.3n n a ∴=. （2）()33211log l 112og 122n n n b n n a a n n +===⋅+⎛⎫- ⎪+⎝⎭
. 12n n T b b b ∴=+++1111111112324352n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎣=⎭⎦
11113122124
n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭. 【题目点拨】
本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
22、 (Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析.
【解题分析】
试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时的单调性证明，求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12
x x x +>+，下面证明：()()ln 12n T n n <++
解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，()()002ln100f =+⨯-=，切点为()0,0.
由()()2ln 111x f x x x +=++-+'，所以()()020ln 011101
f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -=
（Ⅱ）由()()2ln 11x f x x a x +=++
-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞， 则()()()22
110111x g x x x x =-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数. ①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[)0,+∞上为增函数，
所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；
②当2a >时，由于()020f a ='-<，()1110a a
f e e -=+>'，根据零点存在定理， 必存在()0,1a t e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在[
)0,+∞上为增函数， 故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，
所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(]
,2-∞ （III ）证明：由24,13,1331,.22,22,21
n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩ 由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12
x x x +>+， 故2
222ln 1212n n n
n ⋅
⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，故1122ln 11n n k k k k ==⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∑∑.下面证明：()()ln 12n T n n <++ 因为1222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231n
k k n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ()()()()1245612ln 3ln ln 12ln2234
12n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪-⎝⎭ 而，4222321311n T n =
+++⋅⋅⋅++++ 1
222222224111111213122131233n n n k T T k n n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑
所以，()()1
ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1ln 12ln23
n n n n T T ++>-+> 点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题．。