2017-2018学年高中物理鲁科版2教学案：第四章第2节向心力与向心加速度含解析

第2节向心力与向心加速度
1．向心力是效果力，方向时刻指向圆心,改变线速度的方向
而不改变线速度的大小，可以由某一个力或某一个力的分力
或几个力的合力充当。

2．向心力的大小与物体的质量成正比,与半径成反比，与线
速度的二次方成正比，即F＝m错误!。

3．向心加速度描述圆周运动线速度方向改变的快慢，向心加
速度的方向与向心力的方向一致，大小为a＝错误!＝rω2＝
错误!。

4．匀速圆周运动向心力和向心加速度的大小恒定,方向时刻
在改变，因此匀速圆周运动是变加速运动.
一、向心力及其方向
1．向心力
做圆周运动的物体一定要受到一个始终指向圆心等效力的作用，这个力叫做向心力。

2．方向
始终指向圆心，总是与运动方向垂直。

3．作用效果
向心力只改变速度方向，不改变速度大小，因此向心力不做功。

4．来源
向心力是根据力的作用效果命名的。

它可能是重力、弹力、摩擦力或是它们的合力，也可以是某个力的分力。

二、向心力大小的探究
1．实验目的
探究影响向心力大小的因素.
2．实验方法
控制变量法。

3．探究过程
(1）m、r相同，改变角速度ω，则ω越大,向心力F就越大。

(2）m、ω相同，改变半径r，则r越大，向心力F就越大.
(3）ω、r相同，改变质量m，则m越大，向心力F就越大。

4．结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比，与半径成正比，与角速度的二次方成正比。

5．公式
F＝mrω2或F＝m错误!。

三、向心加速度
1．定义
做圆周运动的物体受到向心力的作用,那么它必然存在一个由向心力产生的加速度。

这个加速度叫做向心加速度。

2．物理意义
描述线速度方向改变的快慢。

3．大小
a＝ω2r＝错误!。

4．方向
总是指向圆心。

所以，不论a的大小是否变化,它都是一个变化的量.
1．自主思考——判一判
(1)做匀速圆周运动的物体所受到的向心力是恒力。

(×）
(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力。

(×）
(3)向心力可以由某种性质的力来充当,是效果力。

(√）
(4)匀速圆周运动是加速度不变的运动。

（×)
(5)向心加速度描述线速度大小变化的快慢。

（×）
（6）匀速圆周运动的物体所受合外力一定指向圆心。

（√)
2．合作探究——议一议
(1）做圆周运动的物体所受到的合外力一定沿半径指向圆心吗？
提示：物体做匀速圆周运动时,合外力提供向心力,沿半径指向圆心;做非匀速圆周运动的物体，合外力不只提供向心力，则合外力不
沿半径指向圆心。

（2)根据公式F＝m错误!和F＝mω2r，物体做匀速圆周运动时,当半径比较大的时候，向心力比较大还是比较小？
提示：依据以上公式分析向心力大小必须采用控制变量的方法,公式F＝m错误!中，若v一定时，r越大，F越小；公式F＝mω2r中，ω一定时，r越大，F越大。

(3）由向心加速度公式a＝错误!可知，a与运动半径r成反比;由公式a＝ω2r可知，a与运动半径r成正比，这两种说法是否矛盾？
提示：不矛盾。

当线速度v一定时，a与运动半径r成反比;当角速度ω一定时，a与运动半径r成正比。

向心力的理解及
来源的分析
向心力的来源
物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供.
几种常见的实例如下:
实例向心力示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时若线的拉力为零，球的重力提供向心力,F＝G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F＝T
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F＝F合
［特别提醒] 向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力,受力分析时不分析向心力.
［典例］如图4。

2.1所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动,某人站在距圆心为r处的P点不动，下列关于人的受力的说法中正确的是( )
图4.2.1
A．人在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．人随圆盘做匀速圆周运动,其重力和支持力充当向心力
C．人随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力D．若使圆盘以较小的转速转动时，人在P点受到的摩擦力不变
[思路点拨] 本题可按以下思路进行分析:
(1）对人进行受力分析；
（2)分析向心力由什么力提供;
(3)根据公式，明确向心力与转速的关系.
[解析] 由于人随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力,且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此该人会受到摩擦力的作用，且摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确;由于人随圆盘转动,半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m（2πn）2r可知,所需向心力变小，受到的摩擦力变小，选项D错误。

[答案] C
圆周运动向心力分析的“三点注意"
（1)向心力可能是物体受到的某一个力或某几个力的合力，也可能是某一个力的分力.
（2)物体做匀速圆周运动时,合外力一定是向心力，方向指向圆心,只改变速度的方向。

（3)物体做变速圆周运动时,合外力沿半径方向的分力充当向心力,改变速度的方向；合外力沿轨道切线方向的分力改变速度的大小。

1．关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生向心力
B．向心力不改变做圆周运动的物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力
解析:选B 力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是因为做圆周运动才产生向心力，故A项错误；向心力只改变物体速度的方向,不改变速度的大小，故B项正确；物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小不变，方向时刻改变，故C项错误；只有匀速圆周运动中合外力提供向心力,
而非匀速圆周运动中向心力并非物体所受的合外力，故D项错误。

2。

如图4。

2。

2所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一定角度后释放，让小球以O点为圆心做圆周运动,则运动中小球所需的向心力是（）
图4。

2.2
A．绳的拉力
B．重力和绳子拉力的合力
C．重力和绳子拉力的合力沿绳方向的分力
D．重力沿绳方向分力
解析:选C 如图所示,对小球进行受力分析,它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力。

因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，故C正确，A、B、D错误。

向心力
的计算
1．作用效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变速度的大小，只改变线速度的方向.
2．大小
F＝ma＝m错误!＝mω2r＝mωv.
3．方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。

[特别提醒] 公式F＝mω2r＝m错误!既适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动.
［典例］如图4。

2.3所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块A，其质量为m＝2 kg，A与圆盘间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0。

5)。

试求：
图4.2.3
(1）当圆盘转动的角速度ω1＝2 rad/s时，物块A与圆盘间的静
摩擦力为多大?方向如何？
（2）欲使物块A与圆盘间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大?（取g＝10 m/s2）
[思路点拨] 解此题注意两点：
(1）物块随圆盘一起绕轴转动所需的向心力由静摩擦力提供.
(2)当静摩擦力达到最大静摩擦力时，圆盘转动的角速度最大。

［解析］（1）根据牛顿第二定律可得物块受到的静摩擦力的大小为
f＝F向＝mω12r＝1。

6 N，方向沿半径指向圆心。

(2)欲使物块与圆盘间不发生相对滑动，物块做圆周运动所需的向心力不能大于最大静摩擦力，所以有
mω2r≤kmg
解得ω≤ 错误!＝5 rad/s
即圆盘转动的最大角速度为5 rad/s.
[答案] (1）1。

6 N，方向沿半径指向圆心(2）5 rad/s
计算向心力的基本思路
(1)明确研究对象，必要时要将它从转动系统中隔离出来。

（2）找出物体做圆周运动的轨道平面，找出圆心和半径。

（3)分析运动物体的受力情况，从中确定是哪些力提供向心力作用,千万不能臆想出一个向心力来.
(4）建立直角坐标系(以指向圆心方向为x轴的正向)，将力正交分解到坐标轴方向上。

（5)在x轴方向，选用向心力公式F＝mrω2＝m错误!＝m错误!2r＝m(2πf）2r列方程求解，必要时再在y轴方向按F合y＝0求解.
1．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适,有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱"，如图4­2。

4所示。

当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。

为达到上述目的，下列说法正确的是( ）
图4­2­4
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大,旋转舱的角速度就应越小
解析：选B 旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝错误!，即旋转舱的半径越大，角速度越小,而且与宇航员的质量无关,选项B正确。

2。

如图4。

2­5所示，旋转木马被水平钢杆拴住，绕转台的中心轴做匀速圆周运动。

若相对两个木马间的杆长为6 m，木马的质量为30 kg,骑木马的儿童质量为40 kg，当木马旋转的速度为6 m/s 时，试问：
图4。

2­5
(1）此时木马和儿童的向心力由哪个物体提供？
（2）此时儿童受到的向心力是多大？
解析：(1)木马受骑在木马上的儿童和钢杆对它的作用力做匀速圆周运动。

木马受到的向心力由钢杆提供；儿童受到木马对他的作用力和重力作用，向心力由木马提供。

（2）儿童所受向心力由木马提供且指向圆心，由
F＝m错误!得
F＝40×错误!N＝480 N。

答案：（1)钢杆木马（2)480 N
向心加速度的
理解及应用
1．对向心加速度的理解
(1）向心加速度是矢量,方向总指向圆心，始终与线速度方向垂直，故向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小.向心加速度的大小表示线速度方向改变的快慢.
(2)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算.要注意的是，变速圆周运动的线速度和角速度都是变化的，利用向心加速度公式只能求某一时刻的向心加速度,此时必须用该时刻的线速度或角速度代入进行计算.
（3)向心加速度公式中的物理量v和r，严格地说,v是相对于圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径。

2．向心加速度的大小
a＝错误!＝错误!＝ω2r＝错误!＝4π2f2r＝ωv。

3．向心加速度的方向
总是沿半径指向圆心，即方向总是与圆周运动速度的方向垂直，向心加速度的方向时刻改变.因此，圆周运动一定是变加速运动.
［典例] （多选）关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是（）
A．它们的方向都是沿半径指向地心
B．它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C．北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D．北京的向心加速度比广州的向心加速度小
［思路点拨］解答本题应把握以下两点：
(1)向心加速度的方向指向做圆周运动的圆心而不是地心。

(2）北京比广州做圆周运动的半径小，但二者角速度相等。

［解析］如图所示。

地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴，B正确，A错误;设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r＝R0cos φ,其向心加速度为a＝ω2r＝ω2R0cos φ.由于北京的地理纬度比广州的大,cos φ小,两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D正确，C错误。

［答案］BD
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系,必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。

在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行:
（1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。

(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比。

1。

图4。

2。

6为甲、乙两球做圆周运动时向心加速度的大小随半径变化的图像，其中甲的图线为双曲线，由图像可知,甲球运动时，线速度大小________，角速度________；乙球运动时，线速度的大小________,角速度________。

（填“变化”或“不变”）
图4.2。

6
解析：由题图可知，甲的向心加速度与半径成反比，根据公式a＝错误!可知，甲的线速度大小不变；由题图可知,乙的加速度与半径成正比，根据公式a＝ω2r可知，乙的角速度不变。

再由v＝ωr分别得出甲的角速度、乙的线速度的变化情况。

答案：不变变化变化不变
2．“神舟”五号飞船（图4。

2。

7）发射升空后,进入椭圆轨道，然后实施变轨进入距地球表面约343 km的圆形轨道。

已知飞船的质量为8 000 kg，飞船约90 min绕地球一圈,地球半径取6。

37×103 km,试求飞船在变轨成功后的向心加速度及其所受的向心力.
图4。

2.7
解析：由已知数据可算出飞船的角速度
ω＝错误!＝错误!rad/s＝1.16×10－3 rad/s
飞船的向心加速度
a＝ω2r＝(1.16×10－3)2×(6 370＋343)×103 m/s2
＝9.03 m/s2
飞船所受的向心力
F＝mω2r＝8 000×（1.16×10－3)2×(6 370＋343)×103N＝7.23×104 N。

答案：9.03 m/s27。

23×104 N
1．对做圆周运动的物体所受的向心力，说法正确的是( ）A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析:选B 做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心,是一个变力，A错；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B对;只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供,C错;向心力与向心加速度的方向总是指向圆心,是时刻变化的,D错。

2．下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是（）
A．向心加速度表示速率改变的快慢
B．向心加速度表示角速度变化的快慢
C．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D．匀速圆周运动的向心加速度不变
解析:选C 匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向,显然A错误；匀速圆周运动的角速度是不变的,所以B错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量,向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C正确；向心加速度的方向是变化的,所以D错误。

3.如图1所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是（）
图1
A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B．老鹰受重力和空气对它的作用力
C．老鹰受重力和向心力的作用
D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析：选B 老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。

但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。

选项B正确.
4．在水平冰面上,狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心，
能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是（）
解析:选C 由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心。

由此可知C正确。

5．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。

则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1B。

2∶1
C．4∶1D．8∶1
解析：选D 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝n A∶n B＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比a A：a B＝ωA2R A∶ωB2R B＝8∶1，D正确。

6．（多选)一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R,向心加速度为a，则( )
A．小球相对于圆心的位移不变
B．小球的线速度大小为错误!
C．小球在时间t内通过的路程s＝错误!
D．小球做圆周运动的周期T＝2π错误!
解析：选BD 小球做匀速圆周运动,各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变，A错；由a＝错误!得v＝错误!，B对；在时间t内通过的路程s＝vt＝t错误!，C错;做圆周运动的周期T＝错误!＝错误!＝2π错误!，D对.
7．(多选）关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是（)
A．由a＝错误!可知,a与r成反比
B．由a＝ω2r可知，a与r成正比
C．当v一定时,a与r成反比
D．由ω＝2πn可知，角速度ω与转速n成正比
解析：选CD 只有当线速度一定时，a与r成反比；只有当角速度一定时,a与r成正比，选项A、B错误，C正确。

公式ω＝2πn 中，2π为常数，所以角速度ω与转速n成正比，选项D正确.
8.如图2所示,在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B 一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω,已知木块A、B到圆盘中心O的距离为r A和r B,则两木块的向心力之比为（）
图2
A．r A∶r B B．r B∶r A
C．r A2∶r B2D．r B2∶r A2
解析：选A 木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F＝mrω2得F A＝mr Aω2，F B＝mr Bω2，解得F A∶F B＝r A∶r B.
9. (多选）如图3所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像,其中A为双曲线的一个分支，由图可知( ）
图3
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
解析：选AC 由a＝错误!知，做匀速圆周运动的物体线速度大
小不变时，加速度与半径成反比，故A正确,B错误;由a＝rω2知，角速度不变时，加速度与半径成正比，故C正确，D错误。

10。

（多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方错误!处钉有一颗钉子。

如图4所示,将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则（)
图4
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
解析：选AC 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝错误!知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。

11．一位链球运动员在水平面内旋转质量为4 kg的链球，链球每1 s转一圈，转动半径为1.5 m，求：
图5
（1)链球的线速度大小.
（2)链球做圆周运动需要的向心力大小。

解析:(1）链球的角速度ω＝错误!，故线速度v＝rω＝错误!＝3π m/s ＝9。

42 m/s。

（2）根据向心力公式F＝m错误!
可得F＝错误!N＝236.6 N。

答案:(1）9.42 m/s （2）236.6 N
12.如图6所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔,一端连接质量m＝1 kg的小球A，另一端连接质量M＝4 kg的重物B。

（取g＝10 m/s2）求：
(1)当A沿半径R＝0。

1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度ω＝10 rad/s时，B对地面的压力大小是多少？
(2)要使B对地面恰好无压力，A的角速度应为多大？
图6
解析：（1）对A来说，竖直方向上重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力,则
T＝mRω2＝1×0.1×102 N＝10 N，
对B来说，受到三个力的作用：重力Mg，绳子的拉力T，地面的支持力N,由力的平衡条件可得T＋N＝Mg，
所以N＝Mg－T＝（4×10－10）N＝30 N，由牛顿第三定律可知，B对地面的压力大小为30 N，方向竖直向下。

(2)当B对地面恰好无压力时,有Mg＝T′,
拉力T′提供小球A的向心力，则有T′＝mRω′2,
则ω′＝错误!＝错误!rad/s＝20 rad/s。

答案：（1)30 N (2)20 rad/s。