一、高斯 ( Gauss ) 公式

斯托克斯( Stokes ) 公式
(斯托克斯公式)
n
Pd x Qd y Rd z

z
o x

Dx y

y C
引进一个向量
记作
rot A（旋度） .
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
例：设向量场 A ( y, z, x) 求其通过曲线的环流量
曲线
解：
从Z轴正向俯看为逆时针方向
dydz x y dzdx y z dxdy z x
ydx zdy xdz

dydz dzdx dxdy

①曲面∑1
z x 2 y 2 ,0 z 1)
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量.
Stokes公式的物理解释： 向量场A 沿有向闭曲线 的环流量等于其旋度 场通过边界曲线所张曲面的通量（侧与 的正向符合右手法则） 问题： 公式中，闭曲线 能张无数个曲面，那么 旋度场通过曲面的通量会改变吗？ 不变，stokes公式揭示了旋度场通过曲面 的通量与边界曲线所张曲面形状无关。
z
B
A x
y
（2）什么条件下应用stokes公式能简化运算？
而且我们发现只要向量场 A 满足在在域G内有二 阶连续偏导数，则
divrotA
由上面定理可知，沿有向闭曲线 的环流量可 以选择任一与曲线正向符合右手法则的曲面进 行计算
n


思考
（1）积分曲线不封闭时，该怎么办？ 例如： ， 其中L是从点A(a,0,0)到点B（a,0,H)的螺旋线 x a cos , y a sin , z ( H / 2 )
斯托克斯公式
回顾：已知向量场通过有向 0 ( x y 1) ⑴平面 ⑵上半球面 : z 1 x y ⑶旋转抛物面 3: z 1 x 2 y 2 , z 0 曲面都取上侧。
1
A ( x, y, z ) 求其通过曲面 的通量 ，
与所取曲面无关而只取决于的边界曲线 P Q R 而引例中， div A 30 x y z 所以尽管边界曲线相同，它在两个曲面上的通量不相等。 P Q R di vrotA 0 但是，上例 x y z
于是通过相同边界曲线不同曲面的通量相等。
2 2
A n d S
2
解：①
z

3
2
o
1
1
y
② ③
A n d S xdydz ydzdx zdxdy 0 1 1 A n d S 2 （借助Gauss公式） 2 A nd S 3 2
x
可见通量与曲面 有关。
定理. 设 是分段光滑空间有向闭曲线， 是以为边 界的分片光滑有向曲面 ， 的 侧与 的正向符合右手法则, 函数 在曲面（连同边界）上具有一阶连续 偏导数,则有
取上侧，
2 2 z 1 , ( x y 1) 取上侧 ②曲面∑2
积分 dydz dzdx dxdy dxdy
1 2
设向量场 A ( P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 若G 内任意点处的散度
P Q R div A 0 通过有向曲面 的通量 x y z