2024届河北省“名校联盟”数学高一下期末统考模拟试题含解析

2024届河北省“名校联盟”数学高一下期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．直线122x t y t
=+⎧⎨
=+⎩（t 是参数）被圆22
9x y +=截得的弦长等于（ ）
A ．
125
B ．
910
5
C ．
92
5
D ．
125
5
2．向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ） A ．//a b
B ．a b ⊥
C ．a 与b 的夹角为60°
D ．a 与b 的夹角为30° 3．若实数满足
，则的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2
cos 22A b c
c
+=，则ABC ∆的形状为
A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
5．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：
AQI 指数值
0～50
51～100
101～
150 151～
200 201～
300 300>
空气质量
优
良
轻度污
染
中度污
染
重度污
染
严重污
染
如图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势：
下列叙述错误的是（ ）
A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100
B ．这20天中的中度污染及以上的天数占
14
C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 6．圆()2
221x y -+=与直线3
y x =的位置关系是（ ） A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．直线过圆心
7．已知三个互不相等的负数a ，b ，
c 满足2b a c =+，设11M a c =+，2
N b
=，则( ) A ．M N >
B ．M N ≥
C ．M N <
D ．M N ≤
8．已知向量m ，n ，若1m =，22m n -=，则m n n -+的最大值为( ) A ．5B 10
C ．4
D ．5
9．已知x y 与之间的几组数据如下表：
x
1
2 3 4 5 6 y
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为,y b x a ''+'=则以下结论正确的是（ ） A ．,b b a a '>'>
B ．,b b a a '>'<
C ．,b b a a ''
D ．,b b a a '<'<
10．已知变量x ，y 的取值如下表： x
1
2
3
4
5
由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归直线的方程为3y bx =-，据此可预测：当8x =时，y 的值约为（ ） A ．63
B ．74
C ．85
D ．96
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．在ABC ∆中，给出如下命题:
①O 是ABC ∆所在平面内一定点，且满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 是
ABC ∆的垂心；
②O 是ABC ∆所在平面内一定点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，
,[)0λ∈+∞，则动点P 一定过ABC ∆的重心；
③O 是ABC ∆内一定点，且0OA OB OC ++=，则
2
3
AOC ABC S S ∆∆=； ④若(
)0AB AC BC AB
AC
+
⋅=且
1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
，则ABC ∆为等边三角形， 其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上） 12．已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，则a c +=________.
13．一组数据2，4，5，x ，7，9的众数是2，则这组数据的中位数是_________.
14．在等比数列{}n a 中，33813
1024a a a =，29
10
a a 的值为______.
15．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______． 16．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则b =__________． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数log (5)log (5(())01)a a f x x x a a =+-->≠，的图象过点()3,2. （1）求a 的值；
（2）判断()f x 的奇偶性并证明.
18．如图，矩形ABCD 所在平面与以BC 为直径的圆所在平面垂直，O 为BC 中点，M 是圆周上一点，且30CBM ∠=，1AB =，2BC =．
（1）求异面直线AO 与CM 所成角的余弦值；
（2）设点P 是线段AM 上的点，且满足AP PM λ=，若直线//CM 平面BPD ，求实数λ的值．
19．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，且满足n mS n =，
,()m nS m m n =≠.
（1）证明4m n S +>； （2）若
()222222333312sin cos cos cos sin sin sin 0p p p p p p p p a a a a a a a a ++++++-+-=+≠，()0,1d ∈，当且仅当9n =时，n S 取得最小值，求首项a 的取值范围.
20．已知三角形的三个顶点(5,0),A -(3,3),B -(0,2)C . （1）求BC 边所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线方程.
21．已知三角形的三个顶点(2,0)A -，(4,4)B -，(0,2)C . （1）求线段BC 的中线所在直线方程； （2）求AB 边上的高所在的直线方程.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
先消参数得直线普通方程，再根据垂径定理得弦长. 【题目详解】
直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩
（t 是参数），消去参数化为普通方程：230x y -+=．
圆心()0,0O 到直线的距离3
5
d =
， ∴直线被圆2
2
9x y +=截得的弦长2
2
2
3125
22955r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭
.
故选D ． 【题目点拨】
本题考查参数方程化普通方程以及垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 2、B 【解题分析】
试题分析：由()()1,2,2,1a b =-=，可得()()1,22,112210a b ⋅=-⋅=⨯-⨯=，所以
a b ⊥，故选B ．
考点：向量的运算． 3、A 【解题分析】 利用基本不等式得，然后解不等式可得，同时注意
．
【题目详解】 ∵
，∴
（时取等号），，∴
，又
，∴
，
∴．
故选A ． 【题目点拨】
本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用：．
4、A 【解题分析】
先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.
因为2
cos
22A b c c
+=，所以1cosA 22b c
c
++=,()
ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2
π
==
，,选A.
【题目点拨】
本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题. 5、C 【解题分析】
根据所给图象，结合中位数的定义、AQI 指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可. 【题目详解】
对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确； 对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占
1
4
，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；
对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，所以正确，故选C. 【题目点拨】
与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 6、B 【解题分析】
求出圆心到直线的距离与半径比较． 【题目详解】
圆()2
221x y -+=的圆心是(2,0)C ，半径为1，
圆心到直线y x =
即0x -=
的距离为1d r ===，直线与圆相切．
故选：B ．
本题考查直线与圆人位置关系，判断方法是：利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． 7、C 【解题分析】
作差后利用已知条件变形为
()2
2a c abc
-，可知为负数，由此可得答案.
【题目详解】 由题知1122
a c M N a c
b a
c b
+-=
+-=- 22
b a
c b
=
- ()22b ac abc
-=
()()2
2242a c a c ac abc abc ⎡⎤+-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
.
因为a ，b ，c 都是负数且互不相等，所以0M N -<，即M N <. 故选：C 【题目点拨】
本题考查了作差比较大小，属于基础题. 8、A 【解题分析】
设(1,0),(,)m n x y ==，由22m n -=可得点(,)x y 的轨迹方程，再对m n n -+两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案. 【题目详解】
设(1,0),(,)m n x y ==，2(12,2)m n x y -=--，
∵22m n -=
2=⇒22(12)(2)4x y -+-=， 整理得：22
1
()12
x y -+=.
∵(1)m n n x -+=
-=
∴2735()442m n n x x -+=
-+++=+
当12
x =
时，2
()m n n -+的最大值为5， ∴m n n -
+的最大值为故选：A. 【题目点拨】
本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用. 9、C 【解题分析】
b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ＝
6
1
6
2
1
()()
()i
i
i i i x x y y x x ==---∑∑求得．
b ＝
57，a ＝x －b x ＝136－57×7
2＝－13
，∴b <b ′，a >a ′ 10、C 【解题分析】
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆb
，取8x =求得y 值即可． 【题目详解】 由题得1234535
x ++++=
=，1015304550
305y ++++=
=． 故样本点的中心的坐标为(3,30)， 代入ˆˆ3y
bx =-，得303ˆ113
b +==． ∴ˆ113y
x =-，取8x =，得ˆ118385y =⨯-=． 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、①②④． 【解题分析】
①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到0OB CA ⋅=，进而得到OB CA ⊥，再次运用等式同样可以得到OC AB ⊥,OA CB ⊥，这样可以证明出O 是ABC ∆的垂心；
②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；
③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；
④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的. 【题目详解】
①: ()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=⇒⊥，同理可得：OC AB ⊥,OA CB ⊥，所以本命题是真命题；
②: ()()()OP OA AB AC OP OA AB AC AP AB AC λλλ=+⇒=⇒+-+=+，设
BC 的中点为D ，所以有2AP AD λ⋅=，因此动点P 一定过ABC ∆的重心，故本命题
是真命题；
③: 由0OA OB OC ++=，可得设BC 的中点为D ，2OA OD =,
211
323
S AOC S AOC S ADC S ABC S ADC S ABC ∆∆∆=⨯=⨯=∆∆∆,故本命题是假命题；
④: 由()0AB AC BC AB
AC
+
⋅=可知角BAC ∠的平分线垂直于底边，故ABC ∆是等腰三
角形， 由
1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
可知：60BAC ︒∠=，所以ABC ∆是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④. 【题目点拨】
本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想. 12、-7 【解题分析】
结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得,a c 的值，即可得到答案.
【题目详解】
由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，可得052323a a c a ⎧
⎪<⎪
⎪
+=-⎨⎪
⎪⨯=⎪⎩
，解得1,6a c =-=-，
所以167a c +=--=-. 故答案为：7-. 【题目点拨】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13、4.5 【解题分析】
根据众数的定义求出x 的值，再根据中位数的定义进行求解即可. 【题目详解】
因为一组数据2，4，5，x ，7，9的众数是2，所以2x =，这一组数据从小到大排列为：
2，2，4，5， 7，9，因此这一组数据的中位数为：45
4.52
+=. 故答案为：4.5 【题目点拨】
本题考查了众数和中位数的定义，属于基础题. 14、4 【解题分析】
由等比中项，结合33813
1024a a a =得84a =，化简29
810
a a a =即可. 【题目详解】
由等比中项得3510
3813810242a a a a ===，得84a =，设等比数列{}n a 的公比为q ，
化简22982102884q a a a a a q
===. 故答案为：4 【题目点拨】
本题考查了等比中项的性质，通项公式的应用，属于基础题. 15、3π 【解题分析】
根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果． 【题目详解】
∵圆锥的轴截面是正三角形ABC ，边长等于2 ∴圆锥的高3
232
AO =⨯=， 底面半径1
212
r =
⨯=. ∴这个圆锥的表面积：
221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=.
故答案为3π．
【题目点拨】
本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16、32 【解题分析】 试题分析：
的夹角
，
，
，
，
.
考点：向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2a =，（2）奇函数，证明见解析 【解题分析】
（1）将3x =代入解析式log 8log 2log (43)2a a a f =-==，解方程即可. 【题目详解】
（1）由题知：log 8log 2log (43)2a a a f =-==，解得2a =. （2）5log (5)log ()(5)log 5a a a
x
f x x x x
+-==+--. 50
5550x x x +>⎧⇔-<<⎨
->⎩
，定义域为：(5,5)-. 5log ()5a
x
f x
x -=+-， 5555log log log ()log 10()5555()a a a a x f x x x x x
f x x x x -+-++=⨯==+-+--+=.
所以()()f x f x -=-， 所以()f x 为奇函数. 【题目点拨】
本题第一问考查对数的运算，第二问考查函数奇偶的判断，属于中档题. 18、（12
（2）1 【解题分析】
（1）取AD 中点N ，连接CN ，即NCM ∠为所求角。

在MCN ∆中，易得MC ，NC 的长，MN 可在直角三角形MON ∆中求得。

再用余弦定理易求得夹角。

（2）连接
,PB PD ，连接BD 和AC 交于点Q ，连接PQ
，易得//CM PQ ，所以PQ 为AMC ∆的中位线，所以P 为AM 中点，所以λ的值为1。

【题目详解】
（1）取AD 中点N ，连接,,,CN MN OM ON
因为ABCD 为矩形，,O N 分别为,BC AD 中点，所以//AO CN 所以异面直线AO 与CM 所成角就是CN 与CM 所成的锐角或直角 因为平面ABCD ⊥平面BCM ，平面ABCD
平面BCM BC =
矩形ABCD 中，NO BC ⊥，NO ⊂平面ABCD 所以NO ⊥平面BCM
又OM ⊂平面BCM ，所以NO OM ⊥
MON ∆中，90,1MON OM NO ∠===，所以MN =又M 是圆周上点，且30CBM ∠=，所以1CM =
MCN ∆中，CN =cos
4MCN ∠=
=
所以异面直线AO 与CM 所成角的余弦值为
4
（2）连接,PB PD ，连接BD 和AC 交于点Q ，连接PQ 因为直线//CM 平面BPD ，直线CM ⊂平面ACM ，平面BPD 平面ACM PQ =
所以//CM PQ
矩形ABCD 的对角线交点Q 为AC 中点 所以PQ 为AMC ∆的中位线，所以P 为AM 中点 又AP PM λ=，所以λ的值为1 【题目点拨】
（1）异面直线所成夹角一般是要平移到一个平面。

（2）通过几何关系确定未知点的位置，再求解线段长即可。

19、（1）证明见解析；（2）34,2
3π
π⎛⎫--
⎪⎝⎭
【解题分析】
（1）根据等差数列的前n 项和公式,变形可证明n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为等差数列.结合条件
n mS n =,,()m nS m m n =≠,可得
11n m S S n m m n
-=-,进而表示出2d mn =.由n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等
差数列,表示出
m n
S m n
++,化简变形后结合不等式性质即可证明4m n S +>. （2）将三角函数式分组,提公因式后结合同角三角函数关系式化简.再由平方差公式及正弦的和角与差角公式合并.根据条件等式,结合等差数列性质,即可求得
()3sin sin31p p a a d +-==.由()0,1d ∈,即可确定6
d π
=
.当且仅当9n =时，n S 取得
最小值,可得不等式组,即可得首项a 的取值范围. 【题目详解】
（1）证明:等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 则1(1)
2
n n n S na d -=+ 所以
122n S d d n a n =+-,112
n n S S d n n -==-, 故n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列, 因为n mS n =,,()m nS m m n =≠,所以
11
,n m S S n m m n
== ()112n m S S n m d n m m n --==-,解得2d mn
=, 因为
()2
m n n S S m n n d
m n n ++-=++, 得
()11
2m n n S S m n n d m n n m n
++-=+=++ 故2
()4,()m n
m n S m n mn
++=>≠,从而4m n S +>.
（2）而2
2
2
2
2
2
3333sin cos cos cos sin sin p p p p p p a a a a a a ++++-+-
()()222233sin 1sin cos 1cos p p p p a a a a ++=---
222233sin cos cos sin p p p p a a a a ++=-
()()3333sin cos cos sin sin cos cos sin p p p p p p p p a a a a a a a a ++++=+- ()()33sin sin p p p p a a a a ++=+-.
由条件
()222222333312sin cos cos cos sin sin sin 0p p p p p p p p a a a a a a a a ++++++-+-=+≠
又由等差数列性质知：()()
312sin sin 0p p p p a a a a ++++=+≠ 所以()
3sin sin31p p a a d +-==, 因为(0,1)d ∈,所以3(0,3)d ∈,那么6
d π
=
.
等差数列06
d π
=
>,当且仅当9n =时,n S 取得最小值.
9111011
4803
3902a a d a a a d a ππ⎧
=+=+<⎪⎪⎨
⎪=+=+>⎪⎩
, 所以134,2
3a ππ
⎛⎫∈-
- ⎪⎝⎭
. 【题目点拨】
本题考查了等差数列前n 项和公式的应用,等差数列通项公式定义及变形式应用.三角函数式变形,正弦和角与差角公式的应用,不等式组的解法,综合性强,属于难题. 20、（1）5360x y +-=（2）35150x y -+= 【解题分析】
（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；
（2）先求出直线BC 的斜率，再求出BC 边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可. 【题目详解】
解：（1）(3,3)B -，(0,2)C ，∴直线BC 的方程为
33
2303
y x +-=+-，即5360x y +-=. （2）
5
3
BC k =-，
∴直线BC 边上的高所在的直线的斜率为3
5
，
又(5,0)A -，
∴直线BC 边上的高的方程为: 3
0(5)5
y x -=+，
即BC 边上的高所在直线方程为35150x y -+=. 【题目点拨】
本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.
21、（1）420x y ++=（2）3240x y -+=. 【解题分析】
（1）先求出BC 中点的坐标，再求BC 的中线所在直线的方程；（2）先求出AB 的斜率，再求出AB 边上的高所在的直线方程. 【题目详解】
（1）由题得BC 的中点D 的坐标为（2，-1）, 所以11
224
AD k =
=---,
所以线段BC 的中线AD 所在直线方程为1
0(2),4
y x -=-+ 即420x y ++=. （2）由题得42
243
AB k =
=---,
所以AB 边上的高所在直线方程为3
22
y x =+， 即3240x y -+=. 【题目点拨】
本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.。