27、2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：第三部分 第1讲 数学思想 Word版含答案

第1讲数学思想
数学思想是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法和数学发现等的本质认识．在解题中主要运用的数学思想有函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想等．
数学思想的学习与应用主要有以下两个难点：一是不会从数学思想的角度去分析问题，二是虽然有时运用有关数学思想去解决问题，但方法欠恰当，想法欠成熟．
一函数与方程思想
函数与方程思想在高考试题中六个方面的思考点和切入点
(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质可以解决；(3)数列的通项或前n 项和是自变量为正整数n的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax ＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，且均涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
已知椭圆C 1：x 29＋y 2
4
＝1和圆C 2：x 2＋(y
＋1)2＝r 2(r >0)，若两条曲线没有公共点，求r 的取值范围．
【解】 思路一：用函数思想来思考．
从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－5
4y 2＋2y ＋10
－r 2＝0，①
由方程①变形为r 2＝－5
4y 2＋2y ＋10．
把r 2＝－5
4
y 2＋2y ＋10看作y 的函数．
由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－5
4
y 2＋2y ＋10的值域．
由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝⎛⎭⎫45＝545，可得f (y )的值域是r 2∈⎣⎡⎦⎤1，545，即r ∈⎣⎡⎦
⎤
1，
545，它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此， 两条曲线没有公共点的r 的取值范围是0<r <1或r >330
5
．
思路二：用方程思想来思考．
从C 1和C 2的方程中消去一个未知数，比如消去x ，得到一个关于y 的方程－5
4y 2＋2y ＋10
－r 2＝0，
两条曲线没有公共点，等价于方程－5
4
y 2＋2y ＋10－r 2＝0或者没有实数根，或者两个根y 1，
y 2∉[－2，2]．
若没有实数根，则Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫－5
4(10－r 2)<0, 解得r >
54
5
或r <－54
5
(由r >0，知r <－54
5
应舍去)． 若两个根y 1，y 2∉[－2，2]， 设φ(y )＝－5
4
y 2＋2y ＋10－r 2，则
⎩
⎪⎨
⎪⎧φ（2）＝9－r 2>0，
φ（－2）＝1－r 2>0．解得0<r <1． 因此， 两条曲线没有公共点的r 的取值范围是0<r <1或r >330
5
．
[名师点评] 本题难在由两个曲线方程联立消去一个未知数得到等式后不会处理，或处理方式不当，导致解法出错．对于一个含变量限制条件问题的处理，转化为函数问题研究比研究方程的根会更好．
(2019·南通模拟)已知集合M ＝{(x ，y )|(x
＋x 2＋1)(y ＋y 2＋1)＝1}，则集合M 表示的图形是________．
【解析】 思路一：把式子中的字母x ，y 看作变量，把等式中出现的代数式看作函数． 等式化为x ＋
x 2＋1＝
1y ＋
y 2
＋1
＝－y ＋
y 2＋1．
构造函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )，
则上式就是f (x )＝f (－y )， 由于，函数f (x )＝x ＋x 2＋1(x ∈R )为R 上的增函数，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0．所以，集
合M 表示的图形是直线．
思路二：构造一个常见的函数g (x )＝lg(x ＋x 2＋1)(x ∈R )，则g (x )为R 上的增函数，且为奇函数．又已知等式可化为g (x )＋g (y )＝lg(x ＋
x 2＋1)＋lg(y ＋
y 2＋1)＝lg 1＝0．
于是有g (x )＝－g (y )＝g (－y )，因此x ＝－y ，即x ＋y ＝0．所以，集合M 表示的图形是直线．
思路三：以方程的知识为切入点， 设s ＝x ＋
x 2＋1，t ＝y ＋
y 2＋1，于是，s ，t 分别是方程s 2－2xs －1＝0，t 2－2yt －1＝0
的正根．由此可得s －2x －1s ＝0，t －2y －1
t
＝0，相加得，
s ＋t －2(x ＋y )－s ＋t
st ＝0，又st ＝1，所以x ＋y ＝0．所以，集合M 表示的图形是直线．
【答案】 直线
[名师点评] 本题难在对所给的式子不会化简，导致半途而废．因为所给式子中有两个变量x ，y ，如果把所给等式进行整理x ＋
x 2＋1＝
1y ＋
y 2
＋1
＝－y ＋ y 2＋1，不难发现能构
造函数f (x )＝x ＋ x 2＋1(x ∈R )来解决．高考中的压轴题往往需要站在数学思想的角度来研
究，蛮干是不行的． 本题思路三对于学生来说要求比较高，仅供同学们赏析．
已知m ，n 是正整数，且1＜m ＜n ． 证
明：(1＋m )n ＞(1＋n )m ．
【证明】 (1＋m )n
>(1＋n )m
⇔n ln(1＋m )>m ln(1＋n )⇔ln （1＋m ）m >ln （1＋n ）
n
．
因此，可以构造函数g (x )＝
ln （1＋x ）
x
(x ≥2)．只要证明 g (x )＝ln （1＋x ）x
为减函数即可．
由g ′(x )＝x [1－ln （1＋x ）]－ln （1＋x ）
x 2（1＋x ）
<0，
则g (x )＝ln （1＋x ）
x 为减函数，由2≤m <n 可得g (m )>g (n )，
因而ln （1＋m ）m >ln （1＋n ）n
， 于是，(1＋m )n ＞(1＋n )m 成立．
[名师点评] 本题难在对要证明的结论与条件不会正确沟通，无法找到联系，导致找不到解法．有些看起来不像函数问题，如果通过恰当变形，构造函数，往往会得到妙解．
已知α，β，γ都是锐角，且满足cos 2α＋
cos 2β＋cos 2γ＋2cos αcos βcos γ＝1．求α＋β＋γ的值．
【解】 由cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＋2cos αcos βcos γ＝1可得
cos 2α＋(2cos βcos γ)cos α＋(cos 2β＋cos 2γ－1)＝0，看作关于cos α的一元二次方程，
Δ＝4cos 2βcos 2γ－4(cos 2β＋cos 2γ－1)＝4sin 2βsin 2γ，
所以，cos α＝
－2cos βcos γ±
4sin 2βsin 2γ
2
＝－cos(β±γ)．
因为α，β，γ都是锐角，所以cos α＝－cos(β－γ)应舍去． 因此，cos α＝－cos(β＋γ) ，又因为0<α<π
2，0<β＋γ<π，所以，
α＝π－(β＋γ)，即α＋β＋γ＝π．
[名师点评] 本题难在不会用方程思想看待这个等式，导致胡乱化简，得不出结果．数学中的一些具体方法都是在数学思想的指导下产生的，我们在解题的时候，如果能够站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就会使解题更加科学与合理，就会使解题从被动变为主动，就会形成较为完善的解题系统．
(2019·淮安质检)已知f (x )＝4x ＋ax 2－
2
3
x 3(x ∈R )在区间[－1，1]上是增函数．
(1) 求实数a 的值组成的集合A ；
(2) 设关于x 的方程f (x )＝2x ＋1
3x 3的两个非零实数根为x 1，x 2．试问：是否存在实数m ，
使得不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围； 若不存在，请说明理由．
【解】 (1)f ′(x )＝4＋2ax －2x 2，由已知，f (x )在区间[－1，1]上是增函数，等价于f ′(x )≥0对x ∈[－1，1]恒成立．即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立．
记φ(x )＝x 2－ax －2．
法一：要使φ(x )≤0对x ∈[－1，1]恒成立，只要φmax (x )≤0． 由于x ≤a 2时，φ(x )为减函数，x ≥a
2
时，φ(x )为增函数，因此，
当x ＝a
2≤0时，由φ(x )的图象(图1)可以看出，φ(1)最大． 解不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤0，φ（1）＝1－a －2≤0，
得－1≤a ≤0， 当x ＝a
2>0时，由φ(x )的图象(图2)可以看出，φ(－1)最大． 解不等式组
⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，φ（－1）＝1＋a －2≤0，
得0<a ≤1． 综合以上得－1≤a ≤1．即A ＝{a |－1≤a ≤1}．
法二：由⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＝1－a －2≤0，
φ（－1）＝1＋a －2≤0，
可得A ＝{a |－1≤a ≤1}．
(2)由f (x )＝2x ＋13x 3得，4x ＋ax 2－23x 3＝2x ＋1
3x 3．
解得x ＝0和x 2－ax －2＝0．
由于Δ＝a 2＋8>0，所以方程x 2－ax －2＝0有两个非零实根x 1、x 2． 由x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2得 |x 1－x 2|＝
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝
a 2＋8．
本题等价于是否存在m ，使不等式m 2＋tm ＋1≥
a 2＋8，①
对a ∈A ，t ∈[－1，1]恒成立． 把
a 2＋8看作关于a 的函数T (a )＝
a 2＋8，则①式等价于m 2＋tm ＋1≥T (a )max ，②
由于a ∈A ，则T (a )＝a 2＋8≤
1＋8＝3，从而②式转化为m 2＋tm ＋1≥3，
即m 2＋tm －2≥0，③对t ∈[－1，1]恒成立．
又可以把③式的左边看作t 的函数．记g (t )＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2．④ 对m ＝0或m ≠0分类研究．
若m ＝0，④式化为g (t )＝－2≥0，显然不成立；
若m ≠0，g (t )是关于t 的一次函数，这样，要使g (t )≥0对t ∈[－1，1]恒成立，只要g (－1)≥0及g (1)≥0同时成立即可(图3，4)．
解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m 2＋m －2≥0，
g （－1）＝m 2
－m －2≥0．
得m ≤－2或m ≥2．
所以存在实数m ，使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A ，t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≤－2或m ≥2}．
[名师点评] 本题难点有三：①对题意理解不清；②对所求问题不会恰当转化为函数问题；③计算分类不准确．
二 分类讨论思想
(2019·徐州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，
a 2＝2，a n ＝1
3(a n －1＋2a n －2)(n ＝3，4，…)．数列{b n }满足b 1＝1，b n (n ＝2，3，…)是非零整数，
且对任意的正整数m 和自然数k ，都有－1≤b m ＋b m ＋1＋…＋b m ＋k ≤1．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)记c n ＝na n b n (n ＝1，2，…)，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【解】 (1)由a n ＝1
3(a n －1＋2a n －2)得
a n －a n －1
＝－2
3
(a n －1－a n －2)(n ≥3) ，
又a 2－a 1＝1≠0，
所以数列{a n ＋1－a n }是首项为1，公比为－2
3的等比数列，
a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭
⎫－23n －1
，
a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋1＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－232
＋…＋⎝⎛⎭
⎫－23n －2
＝1＋
1－⎝⎛⎭⎫－23n －1
1＋23
＝85－35
⎝⎛⎭⎫－23n －1
， 由⎩⎪⎨⎪
⎧－1≤b 1＋b 2
≤1－1≤b 2
≤1b 2
∈Z ，b 2≠0，得b 2
＝－1， 由⎩⎪⎨⎪
⎧－1≤b 2＋b 3
≤1－1≤b 3
≤1b 3
∈Z ，b 3
≠0
，得b 3
＝1，… 同理可得当n 为偶数时，b n ＝－1；当n 为奇数时，b n ＝1；因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 当n 为奇数时，－1 当n 为偶数时．
(2)c n ＝na n b n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧85n －35
n ⎝⎛⎭⎫23n －1
当n 为奇数时，－85n －35n ⎝⎛⎭
⎫23n －1
当n 为偶数时．
S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n ， 当n 为奇数时，
S n ＝⎝⎛⎭⎫85－2×85＋3×85－4×85＋…＋8
5n － 35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭⎫233＋
⎦
⎥⎤…＋n ⎝⎛⎭
⎫23n －1
＝4（n ＋1）5－35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232
＋4
⎦
⎥⎤×⎝⎛⎭⎫233
＋…＋n ⎝⎛⎭
⎫23n －1
．
当n 为偶数时，
S n ＝⎝⎛⎭⎫85－2×85＋3×85－4×85＋…－85n －35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230
＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭⎫232＋4×⎝⎛⎭
⎫233＋
⎦
⎥⎤…＋n ⎝⎛⎭
⎫23n －1
＝－4n 5－35⎣⎡1×⎝⎛⎭⎫230
＋2×⎝⎛⎭⎫231＋3×⎝⎛⎭
⎫232＋4×
⎦
⎥⎤⎝⎛⎭⎫233＋…＋n ⎝⎛⎭
⎫23n －1
，
令T n ＝1×⎝⎛⎭⎫230
＋2×⎝⎛⎭⎫231
＋3×⎝⎛⎭⎫232
＋4×⎝⎛⎭⎫233
＋…＋n ⎝⎛⎭
⎫23n －1
，①
①×23得：23T n ＝1×⎝⎛⎭⎫231＋2×⎝⎛⎭⎫232＋3×⎝⎛⎭⎫233＋4×⎝⎛⎭⎫234＋…＋n ⎝⎛⎭⎫23n ，②
①－②得：13T n ＝1＋⎝⎛⎭⎫231＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫234＋…＋⎝⎛⎭⎫23n －1－n ⎝⎛⎭⎫23n
＝
1－⎝⎛⎭⎫23n
1－
2
3
－n ⎝⎛⎭⎫23n
＝3－(3＋n )⎝⎛⎭⎫23n
， 所以T n ＝9－(9＋3n )⎝⎛⎭⎫
23n
因此S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －235＋9（n ＋3）5
⎝⎛⎭⎫23n
，当n 为奇数时，－4n ＋275＋9（n ＋3）5⎝⎛⎭⎫23n
，当n 为偶数时．
[名师点评] 对于(2)中的求解难点有二：一是数列{c n }的通项公式是分段函数，求其前n 项和，对n 分奇数或偶数的含义是什么要清楚， 当n 为奇数时，表示S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 最后一项是奇数项，而不是指S n ＝c 1＋c 3＋…＋c n ．同样当n 为偶数时表示S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 最后一项是偶数项，而不是指S n ＝c 2＋c 4＋…＋c n ．二是n 分奇数或偶数后对括号中数据的观察处理要类比．不然项数和符号都会出错．
设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足
1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．
【解】 当a >0时，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2
＋2－1a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ≤1，
f （1）＝a －2＋2≥0
或
⎩⎨⎧
1<1
a
<4，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝2－1a >0
或 ⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f （4）＝16a －8＋2≥0． 所以a ≥1或12<a <1或∅，即a >12
；
当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －2＋2≥0
f （4）＝16a －8＋2≥0
，解得∅；
当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2, f (1)＝0，f (4)＝－6, 所以不符合题意，
由以上得，实数a 的取值范围是a >1
2
．
[名师点评] 本题先对决定开口方向的二次项系数a 分a >0、a <0、a ＝0三种情况，再对
每种情况结合二次函数的图象进行分析，在a>0时将对称轴与开区间的关系分三种进行讨论，即在开区间的左边、右边、中间．本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图象，也可以看成是“数形结合法”的运用．
三数形结合思想
设M＝{(x，y)|y＝2a2－x2，a>0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．【解】如图，集合M表示以O(0，0)为圆心，半径r1＝2a的上半圆，集合N表示以O′(1，3)为圆心，半径r2＝a的圆．因为M∩N≠∅，所以半圆O和圆O′有公共点．
当半圆O和圆O′外切时，a最小；内切时，a最大．
因为|OO′|＝2，
＝22－2．
所以外切时，2a＋a＝2，a＝2
2＋1
内切时2a－a＝2，a＝22＋2．
所以a的最大值为22＋2，a的最小值为22－2．
[名师点评]本题巧妙地转化为圆与圆的位置关系问题，可谓是极具创新性的解题，既避免常规方法中的繁杂与高难度，又能通过图形非常直观地加以处理方程的问题，真正达到数形结合的最佳效果．
(2019·泰州摸底)满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
【解析】以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点O，建立平面直角坐标系，设C(x，y)，则由AC＝2BC，得（x＋1）2＋y2＝2·（x－1）2＋y2，
所以(x－3)2＋y2＝8．点C的轨迹为圆(除去与x轴的交点)，其半径为22．则△ABC的
面积的最大值等于1
2×2×22＝22．
【答案】2 2
[名师点评]从解题的简捷性原则考虑，例1中将“数”的问题有机地结合在“形”中解决，使解答更便捷，而本例恰好相反，直接用“形”有一定的难度，若利用“数”运算，建
立直角坐标系求解，则问题利于解决．这进一步验证了华罗庚教授的“数缺形时少直观，形少数时难入微”的数学思维典语．
若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根
中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．
【解】 设函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，结合草图可知，函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0，1)，x 2∈(1，2)，
那么⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0f （1）<0f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪
⎧2k －1>01＋（k －2）＋2k －1<04＋2（k －2）＋2k －1>0
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k >1
2
k <23k >14
，即12<k <23，
所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫
12，23．
[名师点评] 利用函数f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象来研究相应的方程与不等式的问题，可以化代数问题为几何问题，通过图形非常直观地处理相应的问题．思路清晰，简单易懂．
四 转化与化归思想
(2019·无锡模拟)已知a 1，a 2，a 3成等差数
列(a 3≠0)，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数也成等差数列，问a 1，a 3，a 5之间有什么关系？
【解】 由题设，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋a 32
，
a 23
＝a 2a 4
，2a 4
＝1a 3
＋1a 5
．
为消去a 2
，a 4
，可从方程组中解出a 2
＝a 1
＋a 3
2和a 4
＝2a 3a
5a 3
＋a
5
，代入a 23＝a 2a 4得a 23
＝a 1＋a 32·2a 3a 5a 3＋a 5
， 因为a 3≠0，则a 3＝（a 1＋a 3）a 5
a 3＋a 5
，
整理得a 23＝a 1a 5．因此，a 1，a 3，a 5 成等比数列．
[名师点评] 一个题目含有较多的元素，它们之间有一定的联系，我们在解题时，总是希望通过一定的变形、转化来减少题目中的元素，从而变成一个较容易的题目，这是一种从多元向少元的化归，实现这一化归的主要方法是消元法．例如，解二元一次方程组时，遇到两个未知数，我们用消元法变成一个一元一次方程就是一种典型的从多元向少元的化归．
设对所有实数x ，不等式x 2log 2
4（a ＋1）
a
＋2x log 22a
a ＋1
＋log 2（a ＋1）24a 2>0恒成立，求a 的取值范围．
【解】 设log 22a
a ＋1
＝t,
则log 24（a ＋1）a ＝log 28（a ＋1）2a ＝3－t ，log 2（a ＋1）2
4a 2＝－2t ．
于是，已知的不等式化为(3－t )x 2＋2tx －2t >0． 该不等式对所有实数x 恒成立的充要条件是
⎩
⎪⎨
⎪⎧3－t >0，
Δ＝4t 2
＋8t （3－t ）<0． 解得t <0．
即log 22a a ＋1
<0，进一步解得0<a <1．
[名师点评] 换元是一种常见的转化方法，往往能把很复杂，很陌生的问题，化归为我们熟悉的简单的问题．这种转化方法在研究函数、不等式、三角问题时应用很广．
试求常数m 的范围，使曲线y ＝x 2的所有
弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分．
【解】 若抛物线上两点(x 1，x 21)，(x 2，x 22)关于直线y ＝m (x －3)对称，则满足
⎩⎨⎧x 21＋x 222＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3，x 21－x 22
x 1－x 2＝－1m ，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋x 22＝m （x 1＋x 2－6），x 1＋x 2＝－1m ．
消去x 2得2x 21＋2m x 1＋1m 2
＋6m ＋1＝0． 因为x 1∈R ，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫2m 2
－8⎝⎛⎭
⎫1
m 2＋6m ＋1>0， 所以(2m ＋1)(6m 2－2m ＋1)<0，所以m <－12
． 即当m <－12
时，抛物线上存在两点关于直线y ＝m (x －3)对称． 而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范围为m ≥－12
． [名师点评] (1)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的反面是什么，这里所有的弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y ＝m (x －3)垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y ＝m (x －3)垂直平分”．(2)在探讨某一问题的解决办法
时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探求．。