平面向量四心问题(最全)

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述：
一、重心问题
三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重
心”就在中线上.
例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上
不共线的三个点，动点P 满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC
的（
）
Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心
解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为，
所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C.
点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合.
二、垂心问题
三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.
例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC
的（）.
A．外心 B．内心 C．重
心 D．垂心
解析:由.
即.
则，
所以P为的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合.
三、内心问题
三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上.
例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
，则动点P一定过△ABC的〔〕.
A、重心
B、垂心
C、外
心 D、内心
解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质
知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先是什么？想想一个非零向
量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了.
四、 外心问题
三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上.
例4 已知O 是△ABC 内的一点，若，则
O 是△ABC 的〔
〕.
A ．重心 B.垂心 C.外心
D.内心
解析：，由向量模的
定义知
到
的三顶点距离相等.故
是
的外心 ，选C.
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合
三角形的“四心”与平面向量
向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。

三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。

在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。

这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： ① 设()+∞∈,0λ，则向量+
λ必平分∠BAC ，该向量必通过△ABC 的内心;
② 设()+∞∈,0λ，则向量λ必平分∠BAC 的邻补角
③ 设()+∞∈,0λ，
则向量+
λ必垂直于边BC ，该向量必通过△ABC
的垂心
④ △ABC 中+一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心 ⑤ 点O 是△ABC 的外心 2
2
2
==⇔ ⑥ 点O 是△ABC 的重心 0=++⇔OC OB OA
⑦ 点O 是△ABC 的垂心 ⇔ OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅
⑧ 点O 是△ABC 的内心 =⋅+⋅+⋅⇔
c b a (其中a 、b 、c 为△ABC 三边)
⑨ △ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即∥OH
⑩ 设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，，I 为△ABC 的内心， 则有)(3
1
++=
c b a OC c OB b OA a ++++=
并且重心G （X A +X B +X C 3 ，Y A +Y B +Y C 3 ） 内心I （aX A + bX B + cX C a+b+c ，ay A + by B + cy C
a+b+c ）
例1：（2003年全国高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P
满足+
+=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
事实上如图设AE
=
AF =
都是单位向量
易知四边形AETF 是菱形 故选答案B
例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）O 为△ABC 所在平面内一点，如果
OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 必为△ABC 的（ ）
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
事实上⇒=⋅⇒=⋅-⇒⋅=⋅00)(OB ⊥CA 故选答案D
例3：已知O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足
=+=，则点O 是三角形ABC 的（ ）
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
事实上由条件可推出⋅=⋅=⋅ 故选答案D
例4：设O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点， 动点P
满足OA OP +
+=λ，()+∞∈,0λ，则动点P 的轨迹一定通
过△ABC 的（ ）
（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心
事实上0)(=+⋅=∙+
λλ 故选答案D
例
5、已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230
O P O P O P ++=，123||||||1OP OP OP ===，求证：
123PP P △是正三角形． 分析 对于本题中的条件123||||||1OP OP OP ===，
容易想到，点O 是123PP P △的外心，而另一个条件1230OP OP OP ++=表明，点O 是
123PP P △的重心． 故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．
显然，本题中的条件123||||||1OP OP OP ===可改为123||||||OP OP OP ==．
高考原题
例6、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ()[0,).||||
AB AC
OP OA AB AC λλ=++⋅∈+∞则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
．
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
分析 已知等式即(
)||||AB AC AP AB AC λ=+，设,||||
AB AC
AE AF AB AC ==
，显然,AE AF 都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP 为
ABC ∠的平分线，选B ．
例7、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，
()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．
分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AH BC =，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有()()0OH OA OC OB --=，将已知代
入
，有[()]()0m OA OB OC OA OC OB ++--=，即
2
2
()(1)0m OC OB m OA BC -+-=，
由O 是外心，得(1)0m OA BC -=，由于ABC ∆是任意三角形，则OA BC 不恒为０，故只有1m =恒成立．
或者，过点O 作OM BC ⊥与M ，则M 是BC 的中点，有1
()2
OM OB OC =+；
H 是垂心，则AH BC ⊥，故AH 与OM 共线，设AH kOM =，则()2k
OH OA AH OA OB OC =+=++，又()OH m OA OB OC =++，故可得
(1)()()022k k m OA m OB m OC -+-+-=，有102
k
m m -=-=，得1m =．
根据已知式子()OH m OA OB OC =++中的OA OB OC ++部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G ，O 是平面内
任一点，均有3
OA OB OC
OG ++=
，由题意，题目显然叙
述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到2HG GO =，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，,BF OT 均与三角形的边AC 垂直，则//BF OT ；其二，点G 是三角形的中线BT 的三等分点．此时，会先猜想BHG TOG △∽△，但现在缺少一个
B
C
关键的条件，即2BH OT =，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．
本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心，则O 、G 、H 三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是3OH OG =．
例8、点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ==，则点O 是ABC ∆的（ ）．
A ．三个内角的角平分线的交点
B ．三条边的垂直平分线的
交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点 分
析
移
项
后
不难
得
出
，
0OB CA OC AB OA CB ===，点O 是ABC ∆的垂心，选
D ．
3 推广应用题
例9 在△ABC 内求一点P ，使2
2
2
AP BP CP ++最小．
分析 如图２，构造向量解决．取,CA a CB b ==为基向量，设CP x =，有
,AP x a BP x b =-=-．
于
是，
222
2
2
2
2
2
211()()3[()]()33
AP BP CP x a x b x x a b a b a b ++=-+-+=-+++-+．
当1()3x a b =+时，222AP BP CP ++最小，此时，即1
()3
OP OA OB OC =++，
则点P 为△ABC 的重心．
例
10
已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足
222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为△ABC 的 心．
分析 将22
22||()2BC OC OB OC OB OC OB =-=+-，22||,||CA AB 也类似展
图２
A
B
开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，O 为垂心．
例
11
已
知
O 为△ABC 的外心，求证：
sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ++=．
分析 构造坐标系证明．如图３，以A 为坐标原点，B 在x 轴的正半轴，C 在x 轴的上方．201
2
AOB S x y =
△，直线BC 的方程是32
32
3(
)0y x x x y x y +-
-=，
由于点A 与点O 必在直线BC 的同侧，且230x y -<，因此有
03
30
2020x y x y x y x y -+-<，得
302303201
()2
BOC S x y x y x y x y =+--△．
直线AC 的方程是330y x x y -=，由于点(1,0)与点O 必在直线AC 的同侧，且
33100y x ⨯-⨯>，因此有03300x y x y ->，得03301
()2
AOC S x y x y =
-△． 于是，容易验证，0BOC AOC AOB OA S OB S OC S ⨯+⨯+⨯=△△△，又
1||||s i n 2B
O C S O B O C B O C =△， 1||||sin 2BOA S OB OA AOB =△，1
||||sin 2AOC S OA OC AOC =△，
又||||||O A O B O C ==，
则所证成立．
总结：知识综述
（一）三角形各心的概念介绍
1、重心——三角形的三条中线的交点；
2、垂心——三角形的三条垂线的交点；
3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；
4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． （二）三角形各心的向量表示
1、 O 是ABC ∆的重心0=++⇔OC OB OA ；
2、 O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔；
3、 O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或2
22==)； 4、 O
是
ABC
∆的内心
-
⋅=-⋅=⋅⇔|
|(
|
||
|(
|
||
|CA OC BC BA OB AC AB OA )|
|CB 0=；
注意：向量）
0≠+
λλ
所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)。