2023届高考数学二轮专题复习：等比数列 教学设计

等比数列 教学设计
教学目标
1、理解等比数列的概念 ，掌握等比数列的通项公式及公式的推导，会根据条件解决问题
2、从具体情境中抽象出等比数列的概念，从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来理解等比数列的概念。

类比等差数列通项公式的推导，导出等比数列的通项公式。

在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力。

3、通过对等比数列通项公式的推导，培养发现意识、创新意识；感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养对数学学习的积极情感。

教学重点等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用
教学难点
应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题
教学方法：启发探究，猜想归纳，讲练结合 教学准备：PPT 课件
教学过程
一、情境引入
1） 细胞的分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，8，16…
2） 庄子曰：一尺之锤，日取其半，万世不竭。

如果将“一尺之棰”视为单位“1”，
则每日剩下的长度构成数列：
8
1,41,21,
1 3） 出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，
每毛有九色，问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？（《孙子算经》）
堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：9，92，93，94，95，96，97
（通过生活情境中的实例激发学生的学习动机，培养学生思维的主动性，自然地引入课题。

）
二、探索研究
问题1：上面生活情境中的三个数列1），2），3），有什么共同特点？
1）1，2，4，8，16…
2）
8
1,41,21,
1 3）9，92
，93
，94
，95
，96
，97
学生活动：发现每一个数列从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

（让学生对等比数列对数的特点有初步印象，从而形成概念） 老师归纳：我们把拥有这种特点的数列叫做等比数列。

引出课题
等比数列的概念：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q 表示（q ≠0），
数学表达式：)2(1
≥=-n q a
a
n n
或
)1(1
≥=+n q a a n
n 概念应用：判断下列数列是否是等比数列？
①0，3，9，27，81，243… 否 ②4，-4，4，-4，4，-4 … 是 ③-5，-5，-5，-5，-5，-5…是
④1, a, a 2, a 3, a 4 , a 5
…否 （a ≠0）是 进一步理解概念：
1.a n ≠0 (即等比数列的每一项都不为0)
2.q ≠0 （公比是非零常数）
3、q=1时，等比数列是常数列，
4、非零常数列，既是等比数列，又是等差数列。

问题2：类比等差中项的定义你能给出等比中项的定义吗？
等比中项：如果三个数a 、G 、b 成等比数列，这时G 叫做a 与b 的等差中项。

问题3：继续类比等差中项A 与a,b 之间的关系，你能用a 与b 表示G 吗？同时a 与b 的符号有什么特点？
b a b G a •=⇔2
G ,,成等比数列（a,b 符号相同） 问题4：你能写出上面生活情境中的四个等比数列的第n 项 n
a 吗？
1) 1, 2, 4, 8 , 16‥‥‥ 2）
8
1,41,21,
1 3）3，3×20，3×202
，3×203
…
4）5，5×9，5×92，5×93，5×94，5×95，5×96
，…
学生活动：通过观察归纳，讨论知1)1
2-=n n
a ，2）1
)
2
1
(-=n n
a
3）
1
20
3-•=n n
a 4）
1
9
5-•=n n
a
（让学生初步感受等比数列的通项公式） 问题5：类比上面的过程，如果一个等比数列的首项为1
a ，公比为q, 你能猜想出它的第n
项
n
a
=？
学生活动：通过归纳，猜想得出)0,(11
1均不为q a q a a n n -⋅=
老师活动：上面的归纳猜想过程实际上是一个不完全归纳法的过程。

观察法：由等比数列的定义，有：q a a 12=；
21123)(q a q q a q a a ===； 312134)(q a q q a q a a ===；… … … … … … … )0(1111≠⋅==--q a q a q a a n n n ，．
（培养学生观察类比猜想的能力）
问题6：想一想，类比等差数列通项公式的证明过程，如何对其加以严格证明呢？ 学生活动：（思考、类比后，师生互动得出结论） 迭乘法：由等比数列的定义，有：
q a a =12；q a a =23；q a a =34；…；q a a
n n =-1
所以
11
342312--=⋅⋅n n n q a a
a a a a a a ，即)0(111≠⋅=-q a q a a n n ， 等比数列的通项公式：)0(11
1
≠⋅=-q a q a a n n ， （类比等差数列求通项公式的方法推导出等比数列的通项公式）
三、例题讲解 例1． 已知{}n
a 是等比数列，在下表中填入适当的数。

1
a
q
n
a
n
1
16
5 8
9
32
3
1
练习1：（1）
,8
3,21,32 ， ，… （让学生明白对于通项公式：1
1
-⋅=n n
q
a a 来说，有四个量
n a q a n
,,,1
，四
个量，可以知三求一。

） 例2．在等比数列
{}n
a 中 ，若18,124
3
==a a ，求1
a 与q ；
练习2：若
6,152
4
1
5
==-=-a a a a ，求3
a
.
(让学生领会方程的思想在数列中的应用) 四、课堂小结：
本节课的知识点:1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式．要注意:等比数列通项公式的证明方法. 本节课体现的数学方法与思想：类比、猜想、归纳,方程与函数的思想.
五、布置作业 1.课本53页第一题;。