【高考数学尖子生辅导专题】专题02 函数零点问题

t
t
y
t
有两个交点．因为
t
1
t
ln
2
t
，由
t
0
可得
0
t
e
，由
t
0
可得
t
e
，
所以 t 在 0,e 上递增，在 e, 上递减， e 1 ，当 x 时， t 0 ． y k t
e
3
专题二 函数零点问题
是斜率为 a ，过定点 A1, 2 的直线．
a
a
,
ln
1 a
上递减，在
ln
1 a
,
上递增．
（2）法 1：①当 a 0 时，由（1）可知， f x 在 R 上递减，不可能有两个零点．
②当 a
0 时，
f
xmin
f
ln
1 a
1
1 a
ln a
，令
ga
f
x min ，则
ga
1 a2
1 a
0
，所以
ga
在 0, 上递增，而
g 1
模块 1 整理方法 提升能力
对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点． 对于两个函数的选择，有 3 种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其 中以一平一曲的情况最为常见． 分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直
接考虑函数 f x 的图象与 x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用
ln
t
，令
H
t
t
1
ln t
，则
H
t
1
1 t
0
，
所以 H t 在 0, 上递增，而 H 1 0 ，所以当 0 t 1 时，
H t 0 ， Gt 0 ，当 t 1时， H t 0 ， Gt 0 ，所以
G t 在 0,1 上递增，在 1, 上递减．G 1 1 ，当 t 0 时，G t ，当 t 时，
零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．
函数的凸性
1．下凸函数定义
设函数 f x 为定义在区间 a,b 上的函数，若对 a,b 上任意两点 x1 ， x2 ，总有
f
x1
2
x2
f
x1
2
f
x2
，当且仅当 x1 x2 时取等号，则称
f
x 为 a,b 上的下凸函数．
G t 0 ．若 f x 有两个零点，则 y a 与 G t 有两个交点，所以 a 的取值范围是 0,1 ．
法 4：设 t ex 0 ，则 x ln t ，于是 ae2x a 2ex x 0 at 2 at 2t ln t 0
a t 1 2 ln t ．令 k t a t 1 2 ， t ln t ，则 f x 有两个零点等价于 y k t 与
法 3：设 t ex 0 ，则 x ln t ，于是 ae2x a 2ex x 0 at 2 at 2t ln t
ห้องสมุดไป่ตู้
a
2t ln t t2 t
，令
G
t
2t ln t2 t
t
，则
Gt
2
1 t
t2 t 2t ln t 2t 1
t2 t 2
2t
1t 1
t2 t 2
1
0
，且
ln
3 a
1
ln
1 a
，所以
f
x
在
ln
1 a
,
上有 1 个零点．
2
专题二 函数零点问题
综上所述， a 的取值范围为 0,1 ．
法 2： ae2x
a 2ex
x
0 ae2x
aex
2ex
x
a
2ex x e2x ex
．令 g x
2ex x e2x ex
，
则 gx
于是当 x 0 时， g x 0 ，当 x 0 时， g x 0 ，所以 g x
在 ,0 上递增，在 0, 上递减． g 0 1 ，当 x 时，
g x ，当 x 时， g x 0 ．若 f x 有两个零点，则 y a 与 g x 有两个交点，
所以 a 的取值范围是 0,1 ．
高考数学尖数零子点生问辅题 导专题
专题二 函数零点问题
函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点，充分体现了函数与方程的联系，蕴含了丰 富的数形结合思想．诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数 零点问题进行处理，因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点，且形式逐渐 多样化，备受青睐．
0
，所以当
a
1 时，
g a f x min 0 ，从而 f x 没有两个零点．
当0
a
1 时， f
ln
1 a
0
，f
1
a e2
a e
1
2 e
0
，于是
f
x
在
1,
ln
1 a
上有 1 个
零点；因为
f
ln
3 a
1
a
3 a
1 2
a
2
3 a
1
ln
3 a
1
3 a
1
ln
3 a
2ex 1
e2x ex 2ex x e2x ex 2
2e2x ex
ex 2ex 1 ex x 1
e2x ex 2
，令
h x ex x 1 ，则 h x ex 1 0 ，所以 h x 在 R 上递增，
而 h0 0 ，所以当 x 0 时， h x 0 ，当 x 0 时， h x 0 ，
2．上凸函数定义
设函数 f x 为定义在区间 a,b 上的函数，若对 a,b 上任意两点 x1 ， x2 ，总有
f
x1
2
x2
f
x1
2
f
x2
，当且仅当 x1 x2 时取等号，则称
f
x 为 a,b 上的上凸函数．
3．下凸函数相关定理
1
专题二 函数零点问题
定理：设函数 f x 为区间 a,b 上的可导函数，则 f x 为 a,b 上的下凸函数 f x 为 a,b 上的递增函数 f x 0 且不在 a,b 的任一子区间上恒为零．
（2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围．
【解析】（1） f x 2ae2x a 2ex 1 2ex 1 aex 1 ， 2ex 1 0 ．
①当 a 0 时， aex 1 0 ，所以 f x 0 ，所以 f x 在 R 上递减．
②当 a 0 时，由 f x 0 可得 x ln 1 ，由 f x 0 可得 x ln 1 ，所以 f x 在
4．上凸函数相关定理
定理：设函数 f x 为区间 a,b 上的可导函数，则 f x 为 a,b 上的上凸函数 f x 为 a,b 上的递减函数 f x 0 且不在 a,b 的任一子区间上恒为零．
例1
已知函数 f x ae2x a 2ex x ．
（1）讨论 f x 的单调性；