第二章 正投影法基础2(2-4)

一、点的投影
3. 两点的相对坐标与无轴投影图
§2-4 立体的投影分析
不画投影轴的投影图，称为无轴投影图。
无轴投影图是根据相对坐标来 绘制的，其投影图仍符合点的投影 规律。
“长对正、高平齐、宽相等” 投影规律，实质上就是无轴投影图
中所反映的两点相对坐标△x、△y、 △z。
由此可知，三视图之间的投影 规律中所指的“长”、“宽”、 “高 ”三个尺寸的度量方向，就是
三根投影轴OX 、OY 、OZ 的方向。
思考题：已知点A、点B的两面投影，求第三面投影，再以点A为
基准点，标出两点的相对位置,并画出它们的直观图。
习题第9页
一、点的投影
3. 两点的相对坐标与无轴投影图
§2-4 立体的投影分析
习题第9页
二、直线的投影
§2-4 立体的投影分析
直线的投影一般仍为直线。画直线段的投影时，一般先画出两个 端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成直线。
［例题2.27］如图2.60a所示，已知直线AB、△CDE、点P的两 面投影，检验直线AB是否平行于△CDE，并过点P作平行于
△CDE的平面。 ［解］① ②检 过过P验cp作作A平Bcpf是q面∥∥否平acb平d行，，行△由p△′Cfq引DC′∥DE投cE′影d′连；线过，p′作与pdr′e∥′交ce得，f′p，′r连′∥cc′与′e′f，′。那因么两
(3) 一般位置平面 对三个投影面都是倾斜的平面称为一般位置平面。
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
(3) 一般位置平面 对三个投影面都是倾斜的平面称为一般位置平面。
一般位置平面的投影特性是：三个投影都是小于实形的类似形。
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
3. 平面内的直线和点
正垂线 正平线
NEW
铅垂线
DE、AB、CD直线的第三投影
NEW
习题第10页2-11
正平 平行 倾斜
侧垂 倾斜
平行 平行 垂直
习题第10页2-11
习题第9页2-8
习题第9页2-8
二、直线的投影
2. 直线上点的投影
§2-4 立体的投影分析
直线上点的投影特性： 直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。（从属性） 同一直线上两线段实长之比等于其投影长度之比。（定比性）
正平面的投影特点: 正面投影 p '反映平面P 的实形； 水平投影 p 平行于OX 轴，且具有积聚性； 侧面投影 p "平行于OZ 轴，且具有积聚性。
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
(2) 投影面平行面
§2-4 立体的投影分析
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线 水平线 ——平行于水平投影面的直线称为水平线。 正平线——平行于正面投影面的直线称为正平线 。 侧平线 ——平行于侧面投影面的直线称为侧平线。
§2-4 立体的投影分析
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线 水平线 ——平行于水平投影面的直线称为水平线。 正平线——平行于正面投影面的直线称为正平线 。 侧平线 ——平行于侧面投影面的直线称为侧平线。
正垂线的投影特点: 正面投影 a' b' 成为一个点，有积聚性； 水平投影 ab垂直于 OX 轴，且反映实长； 侧面投影 a" b" 垂直于 OZ 轴，也反映实长。
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线
§2-4 立体的投影分析
§2-4 立体的投影分析
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线 铅垂线 ——垂直于水平投影面的直线称为铅垂线。 正垂线——垂直于正面投影面的直线称为正垂线 。 侧垂线 ——垂直于侧面投影面称为侧垂线。
§2-4 立体的投影分析
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(2) 投影面垂直线 铅垂线 ——垂直于水平投影面的直线称为铅垂线。 正垂线——垂直于正面投影面称为正垂线 。 侧垂线 ——垂直于侧面投影面称为侧垂线。
三、平面的投影
1. 平面的表示法
§2-4 立体的投影分析
平面的空间位置可用下列几种方法确定：
不在一直线 上的三点
一直线和直 线外的一点
相交两直线
平行两直线
任意平面图形
这几种确定平面的方法是可以互相转化的。在投影图上，则用这些 几何元素的投影来表示平面。
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
由直线上点的投影特性可知：如果点在已知直线上，则可根据该点的 一个投影(投影面垂直线积聚的投影除外)，求出它的另外两个投影。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上 解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律，故 Ｍ点不在直线ＣＤ上。
二、直线的投影
3. 两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种：
§2-4 立体的投影分析
一、点的投影
1. 点的投影规律
§2-4 立体的投影分析
点投影的空间方位
上
上
左右
后前
下
下
后 左右
前 投影轴
投影面
OX 轴—反映左、右方位
OY 轴—反映前、后方位 OZ 轴—反映上、下方位 H 面—同时反映左右、前后方位
V 面—同时反映左右、上下方位 W 面—同时反映上下、前后方位
一、点的投影
2. 根据点的两个投影求第三投影
平行 相交
同面直线
交叉 ——异面直线
二、直线的投影
3. 两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种：
§2-4 立体的投影分析
平行 相交
同面直线
交叉 ——异面直线
二、直线的投影
3. 两直线的相对位置
(1) 两直线平行
§2-4 立体的投影分析
平行两直线的投影特性： 平行两直线的所有同面投影一般互相平行 。（平行性） 特殊情况下重合为一条直线或成为两个点。
§2-4 立体的投影分析
由于点的两个投影反映了该点的三个坐标，就能确定该点的空间位 置，因而应用点的投影规律，可以根据点的任意两个投影求出第三投影。
一、点的投影
3. 两点的相对坐标与无轴投影图
§2-4 立体的投影分析
点的投影既然能反映点的坐标，也能反映出两点的坐标差，即反映 两点的相对坐标。
图中的△x、△y、△z 就是 A、B 两点之间的相对坐标。
直线与平面、平面与平面的相对位置有两种:
平行
直线与平面平行 平面与平面平行
相交
直线与平面相交 平面与平面相交
§2-4 立体的投影分析
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
1. 关于平行问题 直线和平面平行的条件：如果平面外的一条直线和平面内的一条直
线平行，那么这条直线和这个平面平行。
平面和平面平行的条件：如果一个平面内有两条相交直线和另一个 平面平行，那么这两个平面平行。
(3) 一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
§2-4 立体的投影分析
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(3) 一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
一般位置直线的投影特性是：三个投影都是倾斜线段，且都小于实长。
例：找出AB、DE、CD直线的第三投影，判断空间位置。
在三投影面体系中，直线有三种位置： 投影面平行线 ——只平行于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的直线。 投影面垂直线 ——垂直于某一个投影面的直线。(对另外两个投影面平行) 一般位置直线 ——对三个投影面都是倾斜的直线。
各种位置直线的投影，都应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
3. 平面内的直线和点
(2) 平面内取点 点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。 由此可见，在一般情况下，要在平面内取点必须先在平面内BC给定一平面,试判断点S是否属于该平面。 不属于
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
3. 平面内的直线和点
(2) 平面内取点 点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。 由此可见，在一般情况下，要在平面内取点必须先在平面内取直 线，然后再在此直线上取点。
已知ABC平面，试过点A作属于该平面的水平线,
过点C作属于该平面的正平线。
水平线 正平线
§2-4 立体的投影分析
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
(1) 平面内取直线 直线在平面内的条件： ⑴ 通过平面内的两点; ⑵ 通过平面内一点并平行于平面内的另一直线。
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
3. 平面内的直线和点
(1) 平面内取直线 直线在平面内的条件： ⑴ 通过平面内的两点; ⑵ 通过平面内一点并平行于平面内的另一直线。
§2-4 立体的投影分析
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
(1) 投影面垂直面（正垂面、铅垂面、侧垂面）
正垂面
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
(2) 投影面平行面 正平面 ——平行于正面投影面的平面称为正平面。 水平面 ——平行于水平投影面的平面称为水平面。 侧平面 ——平行于侧面投影面的平面称为侧平面。
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线 AB和CDA的B 和三C面D 的投三影面。投影。
题解： c′
c
a′
c″
a″
d″
d′ b′
b″
db
a
习题第13页2-25
习题第13页2-25
1
3
2
二、直线的投影
3. 两直线的相对位置
(2) 两直线相交
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
(1) 投影面垂直面 正垂面 ——垂直于正面投影面的平面称为正垂面。 铅垂面 ——垂直于水平投影面的平面称为铅垂面。 侧垂面 ——垂直于侧面投影面的平面称为侧垂面。
铅垂面的投影特点: 水平投影 p 为一倾斜线段，有积聚性； 正面投影 p ' 是类似形，且小于实形 ； 侧面投影 p " 是类似形，且小于实形。
平面的投影也应符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。
§2-4 立体的投影分析
三、平面的投影
2. 各种位置平面及其投影特性
(1) 投影面垂直面 正垂面 ——垂直于正面投影面的平面称为正垂面。 铅垂面 ——垂直于水平投影面的平面称为铅垂面。 侧垂面 ——垂直于侧面投影面的平面称为侧垂面。
§2-4 立体的投影分析
§2-4 立体的投影分析
在三投影面体系中，平面有三种位置：
投影面垂直面 ：只垂直于某一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面 。
投影面平行面 ：平行于某一个投影面的平面 。
一般位置平面 ：对三个投影面都倾斜的平面。
投影面垂直面和投影面平行面统称特殊位置平面。
平面图形的投影一般为类似的图形。画平面多边形的投影时，一般先求 出各顶点的投影，然后将它们的同面投影依次连接成多边形。
1. 关于平行问题
(1) 直线与垂直于投影面的平面平行
正平线的投影特点: 正面投影 a＇b＇为倾斜线段，且反映实长； 水平投影 ab平行于 OX 轴，小于实长； 侧面投影 a〞b〞平行于 OZ 轴，小于实长。
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
(1) 投影面平行线
§2-4 立体的投影分析
§2-4 立体的投影分析
二、直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性
c相′f交′ ∥直a线′b′P，Q则、CPFR∥所A确B定，的所平以面AB，∥就△是C所DE求。作的过点P且平行于 △CDE的平面。
(a)已知条件
(b)检验、作图过程和作图结果
图2.60 检验AB是否平行△CDE，过P作平面平行△CDE
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§2-4 立体的投影分析
四、直线与平面、平面与平面的相对位置
相交两直线的投影特性： 相交两直线的所有同面投影一般相交，各同面 投影的交点之间的关系应符合点的投影规律， 因为它们都是两直线的交点的投影。
特殊情况下相交两直线的投影为一条直线。
二、直线的投影
3. 两直线的相对位置
(3) 两直线交叉
§2-4 立体的投影分析
交叉两直线的投影特性： 交叉两直线的所有同面投影一般都相交，但各 同面投影交点之间的关系不符合点的投影规律。
特殊情况下可能有一个或两个同面投影平行， 也可能投影为一点和一直线。
§2-4 立体的投影分析
二、直线的投影
3. 两直线的相对位置
(3) 两直线交叉 当交叉两直线的投影相交时，其交点是由于分别在空间两直线上的
两个点在同一条投射线上，以致它们的投影相重合而形成的，这两点称 为重影点。
当两点重影时，其投影要表示可见性，至相应投影面较远的一点为 可见；另一点为不可见，可在该点的投影符号外加圆括号表示。可见性 可根据另外两个投影来判别。