五种插值法的对比研究毕业论文

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五种插值法的对比研究

学号：2013大学毕业论文五种插值法的对比研究A Comparative Study of Five Interpolation Methods学院: 理学院教学系：数学系专业班级: 信息与计算科学专业1301学生:指导教师: 讲师2017年6月7日目录容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 1 导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.1 选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11.2 研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 22 五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2.1 拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.2 牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2.3 分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.4 分段三次Hermite插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 52.5 样条插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 53 五种插值法的对比研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.1 五种插值法的解题分析比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 63.2 五种插值法的实际应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．154 结语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21 致．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22容摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。

几种插值法的对比研究1

几种插值法的对比研究1插值法是一种常用的数据处理方法，特别在数字信号处理和数值计算中广泛应用。

在实际应用中，选择合适的插值方法对数据的良好处理有着重要的作用。

本文将对几种常用的插值方法进行对比研究。

1. 线性插值法线性插值法是最简单也是最常用的插值方法。

它假设函数在两个已知点之间是一条直线，根据该直线与自变量的位置，即可得到插值的函数值。

线性插值法的计算简便，适用于各种连续变化的函数，但是对曲率较大的函数，有时可能会出现较大的误差。

2. 多项式插值法多项式插值法是一种高效的插值方法。

它通过已知的数据点和插值点，构造一个多项式函数。

这个多项式函数与所需求函数一样，在插值点处取相同的函数值。

多项式插值法插值精度较高，但对于高次多项式的构造和计算，不仅容易出现数值不稳定的问题，而且计算量也比较大，往往在实际应用中给计算机带来较大的负担。

样条插值法是一种优秀的插值方法。

样条插值法将整个插值区间划分为若干小区间，每个小区间内部通过一个样条函数连接在一起。

样条函数既可以满足插值的要求，又可以保持函数在区间内的连续性。

这样可以产生较好的插值效果。

相对于线性插值和多项式插值，样条插值法的误差一般较小，满足一定的平滑性要求，而且计算相对简单。

在实际应用中广泛使用。

4. 径向基函数插值法径向基函数插值法是一种数值稳定性较高的方法。

它利用径向基函数的性质，即可以逼近各种连续的函数，将一个函数表示为各个径向基函数的线性组合，建立待插值函数与径向基函数之间的关系。

当插值点趋近于数据点时，径向基函数插值法可以达到较高的精度。

径向基函数插值法的计算方法较为复杂，需要选取合适的径向基函数和其它参数，定位问题更加困难，但是计算结果却更为准确。

综合各种插值方法的优缺点，我们可以根据不同的实际需求选择不同的插值方法。

在插值研究中，需要注意插值方法的数值稳定性、计算效率、精度和平滑性等各个方面的综合考虑，以达到最优的插值效果。

各种插值法的对比研究

各种插值法的对比研究插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。

在实际生活和科学研究中，经常会遇到需要插值的情况，例如气象预测、金融分析、图像处理等。

本文将对比介绍几种常见的插值方法，包括线性插值、多项式插值、样条插值和逆距离加权插值。

1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法，假设两个数据点之间的值变化是线性的。

根据已知数据点的坐标和对应的值，通过线性方程推断两个数据点之间的值。

优点是计算简单快速，但缺点是对数据变化较快的情况下估计效果较差。

2.多项式插值：多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项式函数。

通过已知数据点的坐标和对应的值，使用多项式拟合方法求解多项式函数的系数，再根据该多项式求解两个数据点之间的值。

多项式插值可以准确拟合已知数据点，但在插值点较多时容易出现振荡现象，且对数据点分布敏感。

3.样条插值：样条插值是一种平滑的插值方法，通过构建分段连续的多项式函数来逼近整个数据集。

根据已知数据点的坐标和对应的值，通过求解一组多项式函数的系数，使得在相邻区间之间函数值连续，导数连续。

样条插值可以减少振荡现象，对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。

4.逆距离加权插值：逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法，根据已知数据点与插值点之间的距离，对每个已知数据点进行加权平均得到插值点的值。

该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。

逆距离加权插值简单易用，对数据点的分布不敏感，但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。

在实际应用中，选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。

若数据变化较简单、平滑，可以选择线性插值或多项式插值；若数据变化复杂，存在振荡现象，可以选择样条插值；若数据点分布较稀疏，可以选择逆距离加权插值。

此外，还有一些其他的插值方法，如Kriging插值、径向基函数插值等，它们根据不同的假设和模型进行插值，具有一定的特点和适用范围。

综上所述，对于选择合适的插值方法，需要根据具体问题和数据特点来综合考虑，结合不同方法的优缺点进行比较研究，以得到更准确和可靠的插值结果。

插值方法比较范文

插值方法比较范文插值方法是数值计算中常用的一种数值逼近技术，用于通过已知数据点之间的关系来估计未知数据点的值。

在插值过程中，根据不同的插值方法，可以得到不同的近似函数，从而得到不同的结果。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值和样条插值等。

下面将对这些插值方法进行比较，包括优缺点。

首先是拉格朗日插值法，它是通过使用已知数据点的函数值来构建一个多项式，再利用这个多项式来估算未知数据点的函数值。

拉格朗日插值法的优点是简单易懂、计算简便，而且在已知数据点分布较为均匀的情况下效果较好。

然而，拉格朗日插值法的缺点是对于较多数据点的情况，构建的多项式会非常复杂，容易导致插值结果的振荡。

此外，拉格朗日插值法对于增加或减少一个数据点都需要重新计算，不够灵活。

其次是牛顿插值法，它也是通过已知数据点的函数值来构建一个多项式，但是与拉格朗日插值法不同，牛顿插值法利用差商的概念来简化多项式的计算。

牛顿插值法的优点是可以递推计算差商，避免了重复计算，因此对于增加或减少一个数据点时比较方便。

此外，牛顿插值法的插值多项式在已知数据点分布较为稀疏的情况下效果较好。

缺点是对于较多数据点的情况，插值多项式同样会变得复杂，容易导致插值结果的振荡。

再者是埃尔米特插值法，它是拉格朗日插值法的一种改进方法。

埃尔米特插值法不仅利用已知数据点的函数值，还利用已知数据点的导数值来构建插值函数，从而提高了插值的精度。

埃尔米特插值法的优点是可以通过已知数据点的导数值来更好地拟合函数的特点，从而得到更准确的插值结果。

缺点是在计算过程中需要求解一系列线性方程组，计算量较大。

最后是样条插值法，它是常用的插值方法之一、样条插值法通过将插值区间划分为若干小区间，在每个小区间上构建一个低次多项式，通过满足一定的光滑性条件来保证插值函数的平滑性。

样条插值法的优点是插值函数的平滑性较好，能够解决拉格朗日插值法和牛顿插值法的振荡问题。

缺点是在计算过程中需要求解大规模的线性方程组，计算量较大。

数据插值方法范文

数据插值方法范文数据插值是指利用已知数据点来估算或预测未知数据点的方法。

在实际应用中，数据插值常常用于填补缺失数据、估算缺失数据以及生成光滑曲线等任务。

本文将介绍常用的数据插值方法。

1.线性插值方法：线性插值是数据插值的一种简单且常用方法。

它假设在两个已知数据点之间的未知数据点的取值是线性变化的。

线性插值的计算公式可以表示为：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)，其中x1和x2是已知数据点的位置，y1和y2是对应的取值，x是待插值点的位置，y是对应的待插值的值。

2.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值方法是一种高次插值方法。

它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点，然后利用多项式进行插值。

拉格朗日插值的计算公式可以表示为：y = Σ(yi * L(xi))，其中xi和yi是已知数据点的位置和取值，L(xi)是拉格朗日插值多项式的系数。

3.牛顿插值方法：牛顿插值方法也是一种高次插值方法。

与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构造插值多项式。

牛顿插值的计算公式可以表示为：y=Σ(Di*ωi)，其中Di是差商，ωi是权重。

牛顿插值可以通过迭代计算差商并更新权重来求解。

4.三次样条插值方法：三次样条插值方法是一种光滑插值方法，其主要思想是以每两个已知数据点为节点，通过拟合三次多项式来进行插值。

三次样条插值的计算公式可以表示为：S(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3，其中ai、bi、ci、di是多项式的系数，xi是已知数据点的位置。

5.克里金插值方法：克里金插值方法是一种空间插值方法，主要用于地质学、气象学等领域。

它假设未知点的取值是由已知点的取值通过一定的权重加权求和得到的。

克里金插值的计算公式可以表示为：Z(x)=Σ(λi*Zi)，其中Z(x)是待插值点的取值，Zi是已知数据点的取值，λi是权重。

除了以上介绍的几种常用的数据插值方法外，还有一些其他的插值方法，如最邻近插值、反距离权重插值、径向基函数插值等。

各种插值法的对比研究

各种插值法的对比研究目录1.引言 (1)2.插值法的历史背景 (1)3.五种插值法的基本思想 (2)3.1拉格朗日插值 (2)3.2牛顿插值 (3)3.3埃尔米特插值 (3)3.4分段线性插值 (4)3.5三次样条插值 (5)4.五种插值法的对比研究 (5)4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5)4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6)4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6)4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6)5.插值法在实际生活中的应用 (6)6.结束语 (6)致谢 (7)参考文献 (7)各种插值法的对比研究摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率.关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用1.引言在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1].所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法.2.插值法的历史背景插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.3.五种插值法的基本思想如果一个函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上的值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简单函数)(x P ,使得成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点的区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 的方法称为插值法.若)(x P 的多项式次数不超过n ,即有)(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决n 次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为=)(x L n ∑=n k k k x ly 0)(,)(x l k 为插值基函数,表达式为=)(x l k ))...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 = 截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理[2]:设)(x f n 在[]b a ,上连续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于)(x f 高阶导数存在的情况下.若设1)1()(max ++≤≤=n n b x a M x f ,则误差为)()!1()(11x w n M x R n n n +++≤.3.2牛顿插值牛顿插值的基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因此,提出了均差（即差商）的概念.设称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等的点,则[]=k x x f ,000)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 的一阶均差; []=k x x x f ,,10[]1100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 的二阶均差; []=k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )的k 阶均差. 我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式的另外一种表达形式—牛顿插值多项式=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x … []n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -))...((11---n x x x x ,=)(x R n []n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --, =)(x f +)(x P n )(x R n . )(x P n 为牛顿插值多项式,)(x R n 为余项.3.3埃尔米特插值有的时候解决函数)(x f 的问题,不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的.那么我们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式的曲线,不但通过已知点组,而且在这些点处与原曲线＂相切＂[4].(一)、泰勒插值定义 [][])(,lim ,0'0000x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差;[][])(21,,lim ,,0''2100000201x f x x x f x x x f x x x x ==→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!1,,,lim ,,,0100000x f n x x x f x x x f n n x x i ==→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式的极限为=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！n x f n )(0)(nx x )(0-. 称为泰勒插值多项式.它满足条件=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =（二）、两点三次埃尔米特插值若)(x f 在k x ,1+k x 的函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,我们可以构造出一个次数不超过3的多项式,)(3x H 为插值函数.设=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.可得结果 =)(3x H 2111))(21(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2111))(21(kk k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(121)(++--k k k k m x x x x , =)(3x R 2124)())((41+--k k x x x x f ξ！,),(1+∈k k x x ξ. 3.4分段线性插值分段线性插值:一般描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应的函数值)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k kh h max =. 构造)(x I h 满足:(1)[]b a C x I h ,)(∈;(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;(3))(x I h 在每个小区间[]1,+k k x x 上是线性函数.由以上条件直接可得)(x I h 在小区间[]1,+k k x x 上的表达式为=)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k kk k f x x x x , )1,,2,1,0(-=n k 误差估计 -)(x f =)(x I h ))((!2)(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x I h 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .3.5三次样条插值三次样条插值（Spline 插值）的具体要求是:函数[]b a C x S ,)(2∈,并在每个小区间[]1,+j j x x 上是一个三次多项式,其中b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定的节点函数值有j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时我们就把)(x S 称为三次样条插值函数.4.五种插值法的对比研究通过讨论插值法的相关内容,可以让我们更好的了解插值法.现在我们先从插值多项式的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究,比较各自优缺点,然后再通过实例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较（一）拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,因为每添加一个点,所以的公式都要重新计算,这样计算步骤较多会导致计算量变大,反而会导致出现误差与原来的目的背道而驰.（二）牛顿插值多项式的计算量小,步骤简洁.当添加一个节点时,它仍然可以使用,即具有“承袭性”也叫“继承”,所以此类方法应用灵活.但是我们根据正常的想象和观察插值余项,我们一般局部地总是认为当原函数给出的点是越来越多时,我们借助的辅助函数的次数越高,它就和原函数越来越近,误差越来越小.然而事实并非如此,当遇到插值节点等距分布的情况时,只要求函数点值相等不能够充分反映插值函数的性质[5].4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较多项式插值要求在插值节点上函数值相等,计算简单,条件不怎么苛刻.但是如果有的时候一方面要在节点处函数值相等,另一方面要导数值相等,这时多项式插值否则不满足此类情况.埃尔米特插值不仅算法简单而且它具有强烈收敛性.但是它的光滑度不高,而且它的使用条件,也有局限性.在一些特定的限制条件下,有时函数的导数值在这点是完全没有必要知道的.因此,知道节点处的导数的插值函数成为能否运用Hermite插值的一个重要因素[6].4.3多项式插值法与分段线性插值的比较多项式插计算简单,比较方便,但是节点增加的同时就会出现龙格现象,图形波动较大[7].分段线性插值能够克服龙格现象,有收敛性,但是在区间内有转折点,光滑性不好.4.4 分段线性插值与样条插值的比较样条插值的插值函数算法稳定,而且插值函数光滑,收敛性强,误差小.但是它不能局部确定,常常需要解线性方程组.5.插值法在实际生活中的应用插值法是数值逼近中一个非常重要的部分,其次它在实际生活中起着不容小觑的作用,比如天文学以及数学.6.结束语插值法在解决实际问题中有很大的应用.插值方法是各种各样的,它包含拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等.我们不论使用哪个插值法,它的原理都是一样的.本课题首先介绍了插值的背景以及各类方法的基本思想;然后通过解题、画图、一道题用几种不同方法来解答,让我们哪种方法适合解答哪种类型的题,再然后进行对比,探讨出它们的优缺点,最后文章举个例子来说明插值法有很大的作用,它和我们是相连的,同时利用MATLAB给出了模拟图,通过这种数与形的结合,更好地了解各类插值法的应用于特征.致谢本论文在苏晓琴老师的悉心指导下完成的，同样也是我第一次写这样的文章。

各种插值方法比较

各种插值方法比较插值是一种常见的数据处理技术，用于估计缺失数据或填充数据空缺。

在数据分析、统计学和机器学习等领域中，插值可以帮助我们处理缺失数据或者对连续数据进行平滑处理。

常见的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值、Kriging插值等。

1.线性插值：线性插值是一种简单但广泛使用的插值方法，基于原始数据中的两个点之间的直线来估计缺失点的值。

这种方法适用于数据分布较为均匀的情况，但对于非线性的数据，可能会导致估计值与实际值之间的较大误差。

2.多项式插值：多项式插值是通过使用多项式函数来拟合原始数据，从而估计缺失点的值。

多项式插值方法具有较高的灵活性，可以在不同的数据点之间产生平滑曲线，但在数据点较多时，可能会导致过拟合问题。

3.样条插值：样条插值是一种常见的插值方法，它通过使用分段多项式函数来拟合数据，从而在数据点之间产生平滑曲线。

样条插值方法克服了多项式插值的一些问题，同时在数据点较少的情况下也能有效地估计缺失点的值。

4. Kriging插值：Kriging插值是一种基于统计学和地理学原理的插值方法，它考虑了数据点之间的空间关系，并使用半变异函数来估计缺失点的值。

Kriging插值方法适用于具有空间相关性的数据，例如地理信息系统中的地形数据或环境监测数据。

除了上述常见的插值方法之外，还有一些其他的插值方法，如逆距离加权插值、最近邻插值、高阶插值等。

5.逆距离加权插值：逆距离加权插值方法假设距离越近的数据点对估计值的贡献越大，它根据数据点之间的距离来计算权重，并将其与对应数据点的值进行加权平均来估计缺失点的值。

逆距离加权插值方法适用于数据点密集、分布不均匀的情况，但对于噪声较大或异常值较多的数据，可能会导致估计值的不准确。

6.最近邻插值：最近邻插值方法简单和直观，它假设与缺失点距离最近的已知点的值与缺失点的值相同。

这种方法适用于数据点之间的空间相关性较强，但在数据点分布不均匀或者缺失点周围的数据点值变化较大的情况下，可能会导致估计值的不准确。

五种插值法的对比研究毕业论文

五种插值法的对⽐研究毕业论⽂题⽬：五种插值法的对⽐研究xxx⼤学本科⽣毕业论⽂开题报告表论⽂（设计）类型：A—理论研究；B—应⽤研究；C—软件设计等；五种插值法的对⽐研究 (3)⼀插值法的历史背景 (5)⼆五种插值法的基本思想 (5)（⼀）拉格朗⽇插值 (5)（⼆）⽜顿插值 (6)（三）埃尔⽶特插值 (7)（四）分段线性插值 (7)（五）样条插值 (8)三五种插值法的对⽐研究 (9)四插值法在matlab中的应⽤ (15)五参考⽂献 (17)五种插值法的对⽐研究摘要：插值法是数值分析中最基本的⽅法之⼀。

在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚⾄给不出表达式，只提供了⼀些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按⼀定关系把相邻的数加以修正，从⽽找出要找的数，这种修正关系实际上就是⼀种插值。

在实际应⽤中选⽤不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。

本⽂详细介绍了拉格朗⽇插值、⽜顿插值、分段插值、埃尔⽶特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例⼊⼿，探讨了五种插值法的优缺点和适⽤范围。

.通过对五种插值法的对⽐研究及实际应⽤的总结，从⽽使我们在以后的应⽤中能够更好、更快的解决问题。

关键词：插值法对⽐实际应⽤Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem.引⾔在许多实际问题中，常常需要根据⼀张函数表推算该函数在某些点上的函数值，或要求解决与该函数有关的⼀些问题，例如分析函数的性态，求导数、积分、零点与极值点等。

几种插值法的对比研究1

几种插值法的对比研究1插值法是一种在数据缺失、信号平滑和曲线拟合等方面广泛应用的技术。

在实际应用中，人们常常需要对不连续或缺失的数据进行插值处理，以获得连续的数据序列。

常见的插值方法包括多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。

本文将对这些方法的原理和优缺点进行介绍和分析。

1.多项式插值多项式插值是最早被使用的一种插值方法。

可以通过已有数据点之间的连续函数来计算其它位置的值。

多项式插值的主要优点是计算简单，直观易懂。

但是，当插值多项式的次数过高时，会出现插值误差增大和震荡等问题。

2.样条插值样条插值是一种较为高级的插值方法，其不同于多项式插值将整个区间看作一个整体来进行插值，而是将区间划分为多个小区间，对每个小区间进行插值。

每个小区间内的插值函数为一次或二次多项式，这些小区间的多项式函数共同构成了一个光滑的曲线。

样条插值方法的缺点是计算复杂性高，同时需要确定分段函数的节点和边界条件，且容易产生超调（overshoot）现象等问题。

3.径向基函数插值径向基函数插值（Radial Basis Function Interpolation）是一种较为新的插值方法，利用径向基函数对数据进行拟合。

径向基函数具有高精度、自适应性和较强的通用性，可以在低次次数的情况下进行快速拟合，且可以适用于大多数类型的数据。

径向基函数插值的缺点是对噪声和异常值较为敏感，同时需要确定径向基函数的数量和类型。

综上所述，多项式插值、样条插值和径向基函数插值各有优缺点，应根据实际应用的需求和数据特点选择合适的插值方法。

在选用插值方法时，应考虑插值精度、计算复杂度、对噪声的稳健性等问题，以获得最可靠的插值结果。

几种插值法的应用和比较论文(数学类)

几种插值法的应用与比较作者：*** 指导老师：***摘要本文主要介绍了几种常用插值法的应用和比较，针对每个插值法，经过详细的论证和讨论，给出了每个插值法的优点和缺点.通过对数学插值法的研究、比较及应用的讨论及总结，从而得出所讨论插值方法的各自优势，以方便用户选择合适的插值法.关键词拉格朗日插值重心拉格朗日插值分段线性插值1 引言在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，计算起来十分麻烦.这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法.由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值.多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等.其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数的近似解析表达式.2拉格朗日插值法在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起.2.1 拉格朗日插值多项式图1已知平面上四个点：(−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ςς各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件.对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着自变量的位置，而i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：)()(0x l y x L j kj j ∑==，其中每个)(x l j 为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：)()()()()()()()()(111100,0kj k j j j j j j j kj i i i j i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏，拉格朗日基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例2.1.1假设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：•10)4(=f ，• 25.5)5(=f ， •1)6(=f ，要求)18(f 的值.首先写出每个拉格朗日基本多项式：())64)(54()6)(5(0----=x x x l ；())65)(45()6)(4(1----=x x x l ；())56)(46()5)(4(2----=x x x l ；然后应用拉格朗日插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----⨯+----⨯+----⨯=x x x x x x)13628(412+-=x x ，此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .2.2 插值多项式的存在性与唯一性存在性对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x 拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ，而在其他点取值都是0.而多项式()∑==kj jj x ly x L 0)(就可以满足∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()( ，在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+- ，它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ .由于已经假定i x 两两互不相同，因此上面的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在j x 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j ij j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--∏，这就是拉格朗日基本多项式. 唯一性次数不超过k 的拉格朗日多项式至多只有一个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗日多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x --- 的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就一定不小于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯一性.2.3 几何性质拉格朗日插值法中用到的拉格朗日基本多项式n l l l ,,,10 （由某一组n x x x <<< 10 确定）可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间：[]X n K 的一组基底.首先，如果存在一组系数：n λλλ,,,10 使得，01100=+++=n n l l l P λλλ ，那么，一方面多项式p 是满足n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100 的拉格朗日插值多项式，另一方面p 是零多项式，所以取值永远是0.所以010====n λλλ ，这证明了n l l l ,,,10 是线性无关的.同时它一共包含1+n 个多项式，恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10 构成了[]X n K 的一组基底.拉格朗日基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项式）.2.4 优点与缺点拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐.这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替.此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差.这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式.3 重心拉格朗日插值法重心拉格朗日插值法是拉格朗日插值法的一种改进.在拉格朗日插值法中，运用多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---= ，图（2）拉格朗日插值法的数值稳定性：如图(2)，用于模拟一个十分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现一个大的偏差（图中的14至15中间）可以将拉格朗日基本多项式重新写为：∏≠=--=kji i i j jj x x x x x l x l ,0)(1)()(，定义重心权∏≠=-=k ji i i j j x x ,0)(1ω，上面的表达式可以简化为：jjj x x x l x l -=ω)()(，于是拉格朗日插值多项式变为：j kj jjy xx x l x L ∑=-=0)()(ω ，（1）即所谓的重心拉格朗日插值公式（第一型）或改进拉格朗日插值公式.它的优点是当插值点的个数增加一个时，将每个j ω都除以)(1+-k j x x ，就可以得到新的重心权1+k ω，计算复杂度为)(n O ，比重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了一个量级.将以上的拉格朗日插值多项式用来对函数1)(≡x g 插值，可以得到：∑=-=∀kj jjx x x l x g x 0)()(,ω，因为1)(≡x g 是一个多项式. 因此，将)(x L 除以)(x g 后可得到：∑∑==--=k j jjk j jjx x x x x L 00)(ωω，（2）这个公式被称为重心拉格朗日插值公式（第二型）或真正的重心拉格朗日插值公式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代入x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另一个优点是，结合切比雪夫节点进行插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于无穷时，最大偏差趋于零.同时，重心拉格朗日插值结合切比雪夫节点进行插值可以达到极佳的数值稳定性.第一型拉格朗日插值是向后稳定的，而第二型拉格朗日插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很小.4 分段线性插值对于分段线性插值，我们看一下下面的情况.4.1 问题的重述已知211)(x x g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.1.在[-6，6]中平均选取5个点作插值；2.在[-6，6]中平均选取11个点作插值；3.在[-6，6]中平均选取21个点作插值；4.在[-6，6]中平均选取41个点作插值.4.2 问题的分析在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进行插值.而本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解方法如下：（1）利用已知函数式211)(x x g +=计算取样点X 对应的函数值Y ；将Y X ,作为两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是一个单变量函数，可利用一维插值处理该数据插值问题.一维插值采用的方法通常有拉格朗日多项式插值（本题采用3次多项式插值），3次样条插值法和分段线性插值.（2）分别利用以上插值方法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，并将每一点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数)(x g 的图象进行对比.4.3 问题的假设为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：（1）假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.而其他各点的函数值都是未知量，叙用插值函数计算.（2）为了得到理想的对比函数图象，假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进行对比.4.4 分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<= 10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k ==；求一个分段函数)(x I k ,使其满足：(1) k k h y x I =)(，),1,0(n k =；(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个一次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k =1111)(++++--+--=k kk kk k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其一阶导数是不连续的. 于是即可得到如下分段线性插值函数：)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x xx x x l i i i i i i i i ii i4.5 问题的求解在MATLAB 中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令为interp 1,其调用格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1，’method ’)函数根据X ,Y 的值，计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X 1是一个向量或标量，描述欲插值点，Y 1是一个与X 1等长的插值结果.method 是插值方法，包括：linear ：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点用直线连接，然后在直线让选取对应插值点的数.nearest ：近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic ：3次多项式插值.根据已知数据求出一个3次多项式，然后根据多项式进行插值. spline ：3次样条插值.在每个分段（子区间）内构造一个3次多项式，使其插值函数除满足插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运用Matlab 工具软件编写代码，并分别画出图形如下： (一)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-50510-0.500.513次样条插值-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值（二）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-5051000.20.40.60.813次样条插值-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81-10-551000.20.40.60.813次多项式插值（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值********数学与计算科学学院2012届毕业论文第11页共11页-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-5051000.20.40.60.813次样条插值00.20.40.60.8100.20.40.60.813次多项式插值4.6 插值方法的优劣性分析从以上对比函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性.一般情况下，阶数越高光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式而达到较高阶光滑性的方法.总体上分段线性插值具有以下特点：优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁方便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个小区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍入误差影响不大），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从而不能满足某些工程技术上的要求.而3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.结束语插值法是函数逼近的一种重要方法，它是数值微分、微分方程数值解等数值的基础与工具.由于多项式具有形式简单，计算方便等许多优点，故本文主要介绍多项式插值，它是插值法中常用和最基本的方法.拉格朗日插值多项式的优点是表达式简单明确，形式对称，便于记忆.它的缺点是如果要想增加插值节点，公式必须整个改变，这就增加了计算工作量.由于高次插值多项式具有数值不稳定的缺点（龙格插值），高次插值多项式的效果并非一定比低次插值好，所以当区间较大、节点较多时，常用分段低次插值，如分段线性插值和分段二次插值.由于分段插值是局部化的，即每个节点只影响附近少数几个间距，从而带来了计算上的方便，可以步进地进行插值计算.同时也带来了内在的高度稳定性和较好的收敛性，因此它是计算机上常用的一种算法.分段插值的缺点是不能保证曲线在连接点处的光滑性.。

插值方法优缺点的比较及选择

插值方法优缺点的比较及选择比较不同插值方法的优缺点需要考虑多个方面，包括方法的精度、稳定性、计算成本、可扩展性等。

以下是一些常见的比较方法：1.精度比较：比较不同插值方法的预测精度，可以使用均方根误差、平均绝对误差、相关系数等指标进行评估。

精度较高的方法更优。

2.稳定性比较：比较不同插值方法在不同数据集和不同参数下的表现，可以使用交叉验证、反复试验等方法进行评估。

稳定性较好的方法更优。

3.计算成本比较：比较不同插值方法的计算复杂度和计算时间，可以使用时间复杂度和空间复杂度等指标进行评估。

计算成本较低的方法更优。

4.可扩展性比较：比较不同插值方法在大规模数据和复杂模型下的表现，可以使用可扩展性和并行化等指标进行评估。

可扩展性较好的方法更优。

在实际应用中，可以根据具体的需求和数据情况选择合适的比较方法。

如果对精度要求较高，可以选择精度较高的方法；如果对计算资源有限制，可以选择计算成本较低的方法；如果需要处理大规模数据或复杂模型，可以选择可扩展性较好的方法。

同时，也可以通过实验比较不同方法的优缺点，选择最适合的方法来处理数据。

以下为您推荐几种插值方法：1.多项式插值：以一个多项式的形式来刻画经过一系列点的曲线。

该基函数的一个优点是当增加一个新的插值节点时，只需在原有基函数的基础上增加一个新的函数即可。

但随着节点数逐渐增加，插值曲线可能会出现不稳定的现象。

2.分段插值：为了解决高次插值多项式的缺陷，常用的方法是分段插值。

这种方法把插值区间分为若干个子区间，并在每个子区间上构造低次插值多项式。

常见的分段插值法有分段线性插值和三次Hermite插值等。

3.三次样条插值：此法利用分段插值绘制通过节点的曲线，有效地避免了龙格现象。

4.最近邻插值法：优点在于计算量较小，运算速度快，但重新采样后灰度值有明显的不连续性，图像质量损失较大。

5.双线性插值法：考虑待测样点周围四个直接邻点对该采样点的相关性影响，得到较好的近似式，克服了最近邻插值灰度值不连续的特点，但未考虑到各邻点间灰度值变化率的影响，具有低通滤波器的性质，从而导致缩放后图像的高频分量受到损失，图像边缘在一定程度上变得较为模糊。

五种插值法的对比研究

二、综述与本课题相关领域研究现实状况、发展趋势、研究方法及应用领域等
1.研究现实状况:
多项式插值Lagrange公式, Newton（包含等距基点情况）和Hermite公式,形式不一样,可用于不一样场所,通常来说,前两种形式适适用于理论应用,后两种形式适于计算,带导数插值使插值函数与被插值函数更为密贴,优点是显著。
毕业论文开题汇报
题目五种插值法对比研究
学生姓名陈飞学号
所在院(系)数学与计算机科学学院
专业班级信计081班
指导老师权双燕
3月7日
题目
五种插值法对比研究
一、选题目及研究意义全文用五号宋体
在数值计算方法中,插值法是计算方法基础,数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。插值法有大量实际应用。我们学习过五种基础插值方法,即插值、值、分段线性插值、分段三次插值、样条插值函数。不过这五种插值方法与被插函数迫近程度在现有文件中没有给出清楚描述,为此,可依据已学知识对这五种插值方法与被插函数迫近程度进行对比研究。
黄友谦,李岳生.（第二版）.北京:高等教育出版社, 1987
蒋尔雄,赵凤光.数值迫近.上海:复旦大学出版社, 1996
五、毕业论文进程安排
3月4日-----3月8日查阅资料,列出提要,完成开题汇报;
3月8日-----4月10日查阅材料;
4月10日----5月5日阅读资料,撰写论文,完成论文初稿;
5月5日-----5月27日指导老师审阅,定稿后打印。
[2]韩中庚.数学建模方法及其应用[M].北京:高等教育出版社, .
[3]胡运权.运筹学教程第三版[M].清华大学出版社, .
[4]齐欢.数学模型方法[M].武汉:华中理工大学出版社, 1996.

常见的插值方法及其原理

常见的插值方法及其原理插值是指在已知数据点的情况下，根据其中一种规则或算法，在这些数据点之间进行预测或估计。

常见的插值方法有：拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、样条插值和Kriging插值等。

1.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。

它假设已知数据点的函数曲线可以由一个多项式来表示。

拉格朗日插值的原理是，通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。

具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，拉格朗日插值方法通过构造一个多项式，使得该多项式在每个数据点上的函数值等于给定的函数值。

然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。

2.牛顿插值方法：牛顿插值也是一种基于多项式的插值方法，其原理类似于拉格朗日插值。

它也是通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。

不同的是，牛顿插值使用了差商的概念，将插值多项式表示为一个累次求和的形式。

具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，牛顿插值方法通过差商的计算，得到一个多项式表达式。

然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。

3.分段线性插值方法：分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。

它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一条直线。

分段线性插值的原理是，通过连接相邻数据点之间的线段，构造一个连续的曲线。

具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，分段线性插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一条直线。

然后，在每个数据点之间的区域上，通过线性插值来估计未知数据点的函数值。

4.样条插值方法：样条插值是一种基于插值条件和光滑条件的插值方法。

它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一个低次数的多项式。

样条插值的原理是，通过确定各个数据点之间的插值多项式系数，使得整个曲线在插值点上的各阶导数连续。

具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，样条插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一个低次数的多项式。

数值分析论文-几种插值方法的比较

数值分析论文——几种插值方法的比较1．插值法概述插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用！在生产和实验中，函数()x f 或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数()x ϕ，使其近似的代替()x f ，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermite 插值,分段插值和样条插值.这里主要介绍拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值和埃尔米特插值（Hermite 插值）。

2．插值方法的比较 2．1拉格朗日插值 2.1.1基本原理构造n 次多项式()()()()()x l y x l y x l y x l y x P n n k nk k n +⋅⋅⋅++==∑=11000，这是不超过n 次的多项式，其中基函数：()x l k =)...()()...()(()...()()...()(()1110)1110n k k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+-+-显然()x l k 满足()i k x l =⎩⎨⎧≠=)(0)(1k i k i此时()()x f x P n ≈,误差()()()=-=x P x f x R n n(x ))!1()(1)1(+++n n n f ωξ 其中ξ∈()b a ,且依赖于x ，()()()()n n x x x x x x x -⋅⋅⋅--=+101ω. 很显然，当1=n ，插值节点只有两个k x ,1+k x 时()()()x l y x l y x P k k k k i 11+++=其中基函数()x l k =11++--k k k x x x x ， ()x l k 1+= kk kx x x x --+12.1.2优缺点可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。

各种插值法的对比研究

各种插值法的对比研究目录1.引言 (1)2.插值法的历史背景 (1)3.五种插值法的基本思想 (2)3.1拉格朗日插值 (2)3.2牛顿插值 (3)3.3埃尔米特插值 (4)3.4分段线性插值 (5)3.5三次样条插值 (6)4.五种插值法的对比研究 (6)4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (6)4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (7)4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (7)4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (7)5.插值法在实际生活中的应用 (7)6.结束语 (7)致谢 (8)参考文献 (8)各种插值法的对比研究摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率.关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用1.引言在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1].所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法.2.插值法的历史背景插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.3.五种插值法的基本思想如果一个函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上的值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简单函数)(x P ,使得成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点的区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 的方法称为插值法.若)(x P 的多项式次数不超过n ,即有)(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)3.1拉格朗日插值拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决n 次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为=)(x L n ∑=nk kk x l y 0)(, )(x l k 为插值基函数,表达式为=)(x l k ))...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 = 截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理[2]:设)(x f n 在[]b a ,上连续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n ≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于)(x f 高阶导数存在的情况下.若设1)1()(max ++≤≤=n n b x a M x f ,则误差为)()!1()(11x w n M x R n n n +++≤. 3.2牛顿插值牛顿插值的基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3].因此,提出了均差（即差商）的概念.设称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等的点,则[]=k x x f ,000)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 的一阶均差; []=k x x x f ,,10[]1100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 的二阶均差; []=k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )的k 阶均差. 我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式的另外一种表达形式—牛顿插值多项式=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x … []n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -))...((11---n x x x x ,=)(x R n []n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --,=)(x f +)(x P n )(x R n .)(x P n 为牛顿插值多项式,)(x R n 为余项.3.3埃尔米特插值有的时候解决函数)(x f 的问题,不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的.那么我们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式的曲线,不但通过已知点组,而且在这些点处与原曲线＂相切＂[4].(一)、泰勒插值定义 [][])(,lim ,0'0000x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差; [][])(21,,lim ,,0''2100000201x f x x x f x x x f x x x x ==→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!1,,,lim ,,,0100000x f n x x x f x x x f n n x x i ==→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式的极限为=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！n x f n )(0)(nx x )(0-. 称为泰勒插值多项式.它满足条件=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =（二）、两点三次埃尔米特插值若)(x f 在k x ,1+k x 的函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,我们可以构造出一个次数不超过3的多项式,)(3x H 为插值函数.设=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.可得结果=)(3x H 2111))(21(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2111))(21(kk k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(121)(++--k k k k m x x x x, =)(3x R 2124)())((41+--k k x x x x f ξ！,),(1+∈k k x x ξ. 3.4分段线性插值分段线性插值:一般描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应的函数值)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k kh h max =. 构造)(x I h 满足:(1)[]b a C x I h ,)(∈;(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;(3))(x I h 在每个小区间[]1,+k k x x 上是线性函数.由以上条件直接可得)(x I h 在小区间[]1,+k k x x 上的表达式为 =)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k kk k f x x x x , )1,,2,1,0(-=n k 误差估计-)(x f =)(x I h ))((!2)(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x I h 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .3.5三次样条插值三次样条插值（Spline 插值）的具体要求是:函数[]b a C x S ,)(2∈,并在每个小区间[]1,+j j x x 上是一个三次多项式,其中b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定的节点函数值有j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时我们就把)(x S 称为三次样条插值函数.4.五种插值法的对比研究通过讨论插值法的相关内容,可以让我们更好的了解插值法.现在我们先从插值多项式的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究,比较各自优缺点,然后再通过实例验证之.4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较（一）拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,因为每添加一个点,所以的公式都要重新计算,这样计算步骤较多会导致计算量变大,反而会导致出现误差与原来的目的背道而驰.（二）牛顿插值多项式的计算量小,步骤简洁.当添加一个节点时,它仍然可以使用,即具有“承袭性”也叫“继承”,所以此类方法应用灵活.但是我们根据正常的想象和观察插值余项,我们一般局部地总是认为当原函数给出的点是越来越多时,我们借助的辅助函数的次数越高,它就和原函数越来越近,误差越来越小.然而事实并非如此,当遇到插值节点等距分布的情况时,只要求函数点值相等不能够充分反映插值函数的性质[5].4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较多项式插值要求在插值节点上函数值相等,计算简单,条件不怎么苛刻.但是如果有的时候一方面要在节点处函数值相等,另一方面要导数值相等,这时多项式插值否则不满足此类情况.埃尔米特插值不仅算法简单而且它具有强烈收敛性.但是它的光滑度不高,而且它的使用条件,也有局限性.在一些特定的限制条件下,有时函数的导数值在这点是完全没有必要知道的.因此,知道节点处的导数的插值函数成为能否运用Hermite插值的一个重要因素[6].4.3多项式插值法与分段线性插值的比较多项式插计算简单,比较方便,但是节点增加的同时就会出现龙格现象,图形波动较大[7].分段线性插值能够克服龙格现象,有收敛性,但是在区间内有转折点,光滑性不好.4.4 分段线性插值与样条插值的比较样条插值的插值函数算法稳定,而且插值函数光滑,收敛性强,误差小.但是它不能局部确定,常常需要解线性方程组.5.插值法在实际生活中的应用插值法是数值逼近中一个非常重要的部分,其次它在实际生活中起着不容小觑的作用,比如天文学以及数学.6.结束语插值法在解决实际问题中有很大的应用.插值方法是各种各样的,它包含拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等.我们不论使用哪个插值法,它的原理都是一样的.本课题首先介绍了插值的背景以及各类方法的基本思想;然后通过解题、画图、一道题用几种不同方法来解答,让我们哪种方法适合解答哪种类型的题,再然后进行对比,探讨出它们的优缺点,最后文章举个例子来说明插值法有很大的作用,它和我们是相连的,同时利用MATLAB给出了模拟图,通过这种数与形的结合,更好地了解各类插值法的应用于特征.致谢本论文在苏晓琴老师的悉心指导下完成的，同样也是我第一次写这样的文章。

五种插值法的对比研究

• 它的优点就是公式紧凑，在理论分析中十分方便，但是它不能随意的增加插值点。又如牛顿插值多项式的构造：
当前工作的进度
• 通过上网、图书馆及自己做的习题等方式已经查找了一些关于数学期望在经济决策中应用的一些文献，并初步阅读这些文献。 • 通过自己查阅的资料，对几种插值的有了更充分的认识。 • 根据几种插值的解题思路，解决一些实际问题。
目前已查阅文献出处
• 石东洋数值计算方法郑州大学出版社 • 陈传璋数学分析（第二版上册）高等教育出版社 • 数值计算方法冯康等编数值计算方法国防工业出版社
下一步进展计划
• 细致的研读已有的资料和文献，学习基本的科研的思想和方法。 • 通过上网、在图书馆中查询、向老师请教等方式，进一步丰富资料。 • 对已有的资料进行提炼、融合，并结合自己的思考，在老师的指导下写出自己的论文。
有关题目的一些想法
• 插值是数值计算中的重要一部分，而五种插值又是我们常常见到的，本课题就是对他们之间的差异和关系通过举例或证明得到自己对他们的认识。
• 通过自己的举例和证明从中找到它们的优点、不足. 例如朗格朗日它的构造公式： n
( x x )( x x ) ( x x )( x x ) 1 2 k 1 n g ( x ) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) k 1 k 2 k k 1 k n k 1
f ( x ) f [ x ] f [ x , x ]( x x ) f [ x , x x ]( x x )( x x ) ( x x ) R ( X ) 0 0 1 0 0 1 n 0 1 n 1 n
而它的优点就是可以随意的增加一个或多个插值你只需在它后面增加相应的想就行了他克服了上式的缺点，也加快了了你的计算速度。

插值方法总结范文

插值方法总结范文插值方法是一种用于预测未知数据点的方法，基于已知数据点之间的关系进行推断。

在统计学、计算机图形学、数据分析和地理信息系统等领域广泛应用。

插值方法可以大致分为确定性插值和随机插值两类。

1.确定性插值方法：a)线性插值：线性插值是一种最简单的插值方法，基于线性关系对两个已知数据点之间的未知点进行估计。

假设有两个已知数据点(x1,y1)和(x2,y2)，要估计点(x,y)的值。

可以通过以下公式计算：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)b)多项式插值：多项式插值利用多项式函数逼近已知数据点之间的未知点。

最常用的多项式插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。

拉格朗日插值基于拉格朗日多项式，牛顿插值基于牛顿插值多项式，两者都可以计算未知点的值。

c)样条插值：样条插值方法通过逼近已知数据点之间的未知点来构建平滑的曲线。

常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。

2.随机插值方法：a)克里金插值：克里金插值是一种常用的随机插值方法，基于空间自相关性对未知点进行估计。

克里金插值假设未知点的值是空间上的一个随机变量，并通过不同的变差函数和半方差函数来进行预测。

b)泛克里金插值：泛克里金插值是克里金插值的扩展，可以处理非正定半方差函数和离散样本点，对于大规模数据有较好的适用性。

c)径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于径向基函数构建稀疏矩阵的插值方法。

径向基函数是一个以数据点为中心的函数，通过计算未知点与已知数据点之间的距离来进行估计。

插值方法的选择取决于数据的特点、插值的目的和要求。

线性插值简单且计算效率高，适用于均匀分布的数据。

多项式插值可以实现较高的精度，但在数据点密集的情况下容易产生振荡。

样条插值可以实现光滑曲线，在光滑性要求较高的应用中较为常用。

克里金插值适用于具有空间自相关性的数据，并且可以通过参数调整来达到不同的预测效果。

总之，插值方法是一种对未知数据点进行预测的有力工具。

五种插值法的比较毕业论文

五种插值法的比较毕业论文装订线本科生毕业论文（设计）题目：五种插值法的比较系部数学系学科门类理学专业数学与应用数学学号姓名指导教师2022年某月某日五种插值法的比较摘要插值法是数值计算中一种重要的方法，在实际生活中有很多函数我们是求不出来的，但我们可以通过该函数在有限点处的取值，用某一函数来逼近它，然后估计出该函数在其他点的函数值.从古代就已经使用二次等距插值用于天文计算了，到现代用于工程计算、算法理论等方面.插值方法有很多种，这篇文章主要介绍了一般常用的五种插值法，并讨论了五种插值法在理论中的区别与在实际中应用.本文先从五种插值法的定义，通过它们的定义在形式上的差异来做简单比较；再结合相应的例题归纳总结五种插值法的特点，使我们清楚的知道哪种类型的插值法更适合解决哪一种类型的问题；最后通过实际应用来分析比较Lagrange插值、Newton插值、三次样条插值和分段插值各自在解决相应问题之间的差异.关键词：多项式；插值函数；interpolationfunction；interpolation目录摘要IABSTRACTII1引言12五种插值法22.1Lagrange插值22.2Newton插值32.3Hermite插值32.4分段插值42.5三次样条插值53五种插值法的解题分析比较74五种差值的实际应用145小结17参考文献181引言插值方法是数值计算中的最基本方法，是一种古老的数学方法.在中国古代就开始用二次插值法来推算天文历法，其中在《周髀》和《九章》中就已经使用到一次插值法.现代插值法的应用也十分广泛.主要解决如信息技术中的图象重建、图像放大过程中为避免图象失真、建筑工程的外观设计、天文观测数据、物理学中的应用等方面的问题.函数插值法，简称插值法.在许多实际问题中，有的函数虽然有解析式，但计算起来很复杂而且使用起来也不方便.所以我们通过函数给出某些点上的函数值，构造一个既能反映函数特征又便于计算的简单函数来逼近原函数.这就是我们所说的函数逼近.逼近函数的类型有多种选择方法，但其基本上是代数多项式应用最为广泛.建立代数多项式也有多种方法，像本文介绍的Lagrange插值多项式就便于理论推导和形式地描述算法，它在理论上十分重要.Newton插值的方法具有递推性，其组成很有规律，方便于实际计算.Hermite插值多项式是在插值节点有导函数限制的情况下使用.分段插值与三次样条插的逼近效果是其他插值法难以达到的.本文则主要介绍这五种插值法之间的区别，通过理论与实际的比较使读者更清楚的认识和了解这五种插值法.2五种插值法对于一个插值问题来说，如果已知条件就是个互异的插值节点点处的函数值，构造插值函数是一般不超过次的多项式，则称为是一般的个基点的多项式插值问题.Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、三次样条插值、分段插值五种插值法在定际运用中的都有各自不同的特点，下面就首先从定义上做简单的比较.2.1Lagrange插值此时我们习惯将插值节点和相应的函数值采用下表1的形式列出，并简称由表1给出的插值问题.表1……Lagrange插值是次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数问题.表(1)的n次Lagrange插值多项式的数学式：其中（i=0,1,2,…,n）是插值基函数，且.Lagrange插值多项式的余项其中，；不难发现Lagrange插值多项式便于理论推导和形式地描述算法，它在理论上十分重要，但是不便于计算函数值,因为用Lagrange插值多项式计算函数近似值，如果精度不满足，要增加节点，原来计算的数据均不能用.为了克服这个缺点下面介绍另外一种插值法Newton插值法.2.2Newton 插值Newton插值也是次多项式插值，其基本思路是将待求的次差值多项式改写成能逐次生成的形式，然后用插值条件求待定系数.由表（1）构造的Newton插值多项式为.用它插值时，首先要计算各阶差商，而各阶差商的计算可归结为一阶差商的逐次计算.一般地,；上面给出的插值多项式是节点任意分布的情况，但实际应用时经常遇到等距节点，即的情况，这里称为步长.设点的函数值为，称为处以为步长的一阶差分.一般的称为处的阶差分.所以Newton前插公式为.与Lagrange插值相比，Newton插值具有承袭性和易于变动节点的特点.Newton插值在计算插值多项式及求解函数近似值都比较方便且计算量相对较小.从公式看每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因此便于计算，所以具有灵活增加节点的特点.Newton插值仅对节点处的函数做了约束，但是如果插值条件增加的是节点处导数的条件话，我们就需要下面的插值法—Hermite插值.2.3Hermite插值插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上导数值相等，甚至高阶导数值也要相等，满足这种要求的插值多项式称为Hermite插值多项式.表2………如上表，设则满足条件，的次Hermite插值多项式为其中称为Hermite插值基函数，是Lagrange插值基函数.适当的提高插值多项式的次数，有可能会提高计算结果的准确度.但绝不能认为插值多项式次数越高越好，利用被插值函数节点信息越多，误差越小.由插值多项式的截断误差公式可见：若，插值误差为.截断误差与与有关，但其绝对值不一定随增加而减小.所以由于高次插值的不稳定性，一般实际计算时很少使用高次插值.2.4分段插值Lagrange插值方法根据区间上给出节点构造插值多项式的，而一般以为次数逼近原函数，但其实并非如此，分段插值就是通过在每个小区间逼近原函数.构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法.常见的主要有分段线性插值和分段三次埃米特插值.1.分段线性插值就是通过在每一个区间用折线段连接每个插值点来逼近.设已知插值节点和相应的函数值，记求一折线函数满足：（1）;（2）；（3）在每个小区间上是线性函数.则称称为分段线性插值函数.，，.其误差估计可利用插值余项得到，其中.可见，分段线性插值的余项只依赖于二次导数的界.这说明只要小区间长度足够小，便可保证充分靠近，即分段线性插值函数收敛于.2.三次Hermite插值是在节点上除已知函数值外还给出导数值，这样就有，它满足条件：（1）；（2）（3）在每个小区间上是三次多项式.则.上式对于成立.误差估计为：，其中分段三次Hermite值比分段线性插值效果明显改善，但是这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一阶导数连续），所以要改进这种插值和克服其缺点下面提出三次样条插值.2.5三次样条插值三次样条插值法是一种分段插值法，其基本思想是将插值区间等分，再在每个区间上求插值函数.设在区间上取个节点，给定这些点的函数值.如果存在分段函数：且函数满足条件：（1）在每个区间上是不高于3次多项式；（2）在区间上连续；（3）称为三次样条插值函数.由于插值节点处具有二阶导数连续，所以三次样条插值法具有更好的光滑性.从上面的一一介绍中我们可以看出：Lagrange插值有着形式上对称，在理论上十分重要的有点，但是计算复杂.因为每增加一个节点，对前面的插值基函数值就作废了.而Newton插值每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因此便于递推运算，所以具有灵活增加节点的优点.但是Newton插值仅对节点处的函数作了约束，如果插值条件再增加节点处对导函数的限制的话，就要用到Hermite插值多项式.但一般很少用这种高次插值法，因为其不稳定性的缘故，更多使用分段插值来实现.虽然插值曲线的各个分段是衔接的，但在节点处不能保证整个曲线的光滑性.而三次样条不但与被插值函数很接近，而且导数值也很接近，这样逼近效果是其他插值法所难以达到的.从Lagrange插值到三次样条插值法，层层递进来解决问题，使的插值函数与被插值函数越来越逼近.下面就上面的五种插值法来给出他们各自适合解决哪些类型的题目的例子，通过例子更能清楚的理解和认识五种插值法的各自特征.3五种插值法的解题分析比较下面主要从例子来比较这五种插值法之间在运算上的不同；例1已知插值条件如下表所示：求的二次插值多项式.解若用单项式基底来解，则可设，由插值条件，解得，，，故.若用Lagrange插值基函数，则故.若用Newton插值法，则故.整理可知三种方法得到的是同一个多项式.通过上面的例子的解题我们不难看出，在求解二次插值多项式来说Newton插值法最为简单，而Lagrange插值法计算最为复杂，对于用单项式基底了来说，如果次数高的话未知数的个数也越多，求解也越复杂.所以在解这类题的话，用Newton插值法更为方便简洁.而如果插值节点不仅对应的有函数值还有导函数值，那么就要用到Hermite插值，例如下面的题目.例2求次数小于等于3的多项式，使其满足：.解本题标准的是应用Hermite插值问题，所以可以用公式直接来计算.记由题意可知利用两点的Hermite值公式，有其中是Hermite插值基函数，即，所以.Newton插值仅对节点处的函数作了约束，如果插值条件再增加节点处对导函数的限制的话，就要用到Hermite插值多项式.上面的例子就是很好的应用.我们在看一个关于三次样条插值的例子，看看它在解决问题时有哪些特点.例3给定数据表如下：0.250.300.390.450.530.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值，并满足条件：（1）（2）解由给定数据知由有均差（1）若边界条件，则由此得矩阵形式的三弯矩方程为解得利用三次样条表达式将代入整得（2）若边界条件为，则三弯矩方程为解得.代入三次样条表达式并整理，得由于其解得存在唯一性，求解插值函数的线性方程组的系数矩阵为三对角方程组，所以算法具有较好的计算复杂性和稳定性以及插值函数具有一定的光滑性等优点.所以三次样条插值应用也比较广泛.例4已知函数，在区间上的等距节点时的函数值，求分段线性插值函数.再计算的近似值，节点处的函数值如下：0解由上面节中的分段插值公式知：，，所以分段插值函数为.与原函数值比较，我们可以发现分段插值函数来逼近原函数时，还是比较准确的，就是用分段线性插值法逼近原函数他们的误差很小.例5给出在处的函数值.（1）用次Lagrange插值多项式求在的近似值，并与准确值进行比较.(2)用次Newton插值多项式求在的近似值，并与准确值作比较.（3）用次线性插值多项式求在的近似值.解（1）由上面节Lagrange插值公式可知：所以四次Lagrange插值多项式为.则实际值为..（2）用Newton前插公式，先构造如下表的查分表并用Newton前插公式（前面2.2介绍的）取，，.与实际值误差较小.(3)由上面节中的分段插值公式知：，，，所以这与实际值误差就很小了.从上面的例子看出对于Lagrange插值法求解的公式很有对称性，很容易观察出来.但有个缺点就是计算太复杂，麻烦，误差值大.对于Newton插值法而言他的形式简单，计算方便，而且误差比Lagrange小.线性插值多项式求解的误差值最小，最精确.所以我们一般如果想求解简单计算方便最好用Newton插值法来求解，而如果要求计算精确最好用线性插值，对于Lagrange插值我们一般只在于研究其性质，对于应用部是很好.下面来看插值法在实际生活中的应用.不同的插值对于同一个问题的解决他们的方法和误差都不同，我们来比较他们的区别.4五种插值的实际应用例1闸阀的局部阻力系数和闸阀的关闭度有关(为管内径,为开度),其的函数表如下01/82/83/84/85/86/87/80.000.070.200.812.065.5217.6097.80如果将闸阀控制在时,求其局部阻力系数的值解该函数表是等距节点排序,故应用牛顿插值公式,挑选出=0.15附近的三个节点进行二次插值,列于下表,并将其一阶和二阶差分经算出列于该表的右侧各列00.001/80.070.072/80.200.130.063/80.810.610.480.42若按三次插值,则应挑选4个节点,即再添一个的节点,此时可在表上添一行一列(用虚线框在最后的行与列),其这样,由三次插值所得的值为：由此可以看出,如需要再取较高次的插值时,只需再添一项对应的节点及其计算,而前面的计算仍保持有效.这是Newton插值法的优点.例2某地区冬天的一天从上午九点到下午三点的气温变化如下数据：求这段时间温度与时间的关系.解方法一用拉格朗日插值法解，某=[9:1:15];y=1./(1+某.^2);某0=[9:0.1:15];y0=lagrange(某,y,某0);y1=1./(1+某0.^2);plot(某0,y0,＇--r＇)holdonplot(某0,y1,＇-b＇)legend(＇拉格朗日插值曲线＇,＇原曲线＇)Runge现象的产生原曲线lagrange插值曲线方法二用分段插值曲线解某=[9:1:15];y=1./(1+某.^2);某0=[9:0.1:15];y0=lagrange(某,y,某0);y1=1./(1+某0.^2);y2=interpl(某,y,某0,＇pline＇);plot(某0,y1,＇-b＇,某0,y0,＇--r＇,某0,y2,＇某k＇);legend(‘原曲线’,’拉格朗日插值曲线’,’分段插值曲线’)原曲线lagrange插值曲线分段插值曲线方法三是用三次样条插值法解某=[9:1:15];y=1./(1+某.^2);某0=[9:0.1:15];y0=lagrange(某,y,某0);y1=1./(1+某0.^2);y2=interpl(某,y,某0,＇pline＇);y3=interpl(某,y,某0);plot(某0,y1,＇-b＇,某0.y0,＇--r＇,某0,y2,＇某k＇某0,y3,＇-y＇);legend(’原曲线’,’拉格朗日插值曲线’,’三次样条插值曲线’,’分段线性插值曲线’)原曲线lagrange插值曲线三次样条插值曲线分段线性插值曲线从上面三种方法可以看出拉格朗日插值法来做，图像明显与原函数偏差较大，而分段插值克服了高次拉格朗日插值的缺点，故可通过增加插值基点提高其插值精度，但在插值节点处不光滑，不精确.而三次插值则是光滑而且插值点连续，故其精确度高，与原函数逼近最好.5小结本文在分析讨论五种插值的基础上，给出了相应的例题作为比较，在解题中通过应用不同的插值方法而得出相应比较.他们之间的区别在上面介绍的很清楚了，而且在给出的例题中又很好的得到体现.最后给出了插值法在生活实践中的应用,在实际应用中又一次的进行了比较，得出他们在解决实际问题中五种插值法之间的区别.由上可知，插值方法是近似计算和逼近函数的有效方法，不同的插值法有着不同的应用，在其他领域还有着广泛的应用，像在计算机程序、渔业、冶金工程技术等.无论是应用在哪个领域其解决的方法都一样，都是应用到上面介绍的五种插值法中的某个来解决问题,用一个函数多项式来逼近原函数，来计算我们需要得出的信息和数据.以上就是我的论文为大家五种插值法的比较研究.参考文献[1]赵景军，吴勃英.关于《数值分析》教学的几点探讨[J].大学数学，2005,21（3）：28-30.[2]宋瑞霞.样条函数的多节点技术[J].北方工业大学学报，2003,1:56-58.[3]吴才斌.插值方法[J].湖北大学成人教育学院学报，1999（5）.[4]赵前进，关于数值分析中插值法的研究[J].安徽科技学院学报，2007,21（3）：34-36.[5]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，1982.[6]钟尔杰，黄延祝.数值分析[M].北京高等教育出版社，2004,103-133.[7]王仁宏.数值逼近[M].北京：高等出版社，1999.[8]齐东旭，李华山.数据逼近的多结点样条技术[J].中国科学（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插值方法比较

１. 克里金法(Krigiｎg)克里金法是通过一组具有z值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。

与其他插值方法不同,选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。

克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IＤW仅仅将距离的倒数作为权重,而克里金考虑到了空间相关性的问题。

它首先将每两个点进行配对,这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。

对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。

在数据点多时，结果更加可靠。

该方法通常用在土壤科学和地质中。

２．反距离权重法（InveｒsｅDistance Wｅightｅd，IDW)反距离权重法(反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。

点到要估计的像元的中心越近,则其在平均过程中的影响或权重越大。

此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。

例如,为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时,在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。

反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。

幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。

幂参数是一个正实数，默认值为2。

通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。

因此，邻近数据将受到最大影响,表面会变得更加详细(更不平滑)。

随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。

指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响,从而导致更加平滑的表面。

由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。

作为常规准则，认为值为３0的幂是超大幂，因此不建议使用。

此外还需牢记一点,如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。

3. 含障碍的样条函数(Ｓｐlｉne with Barrieｒs）含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术,其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性。