天津市高三数学第二次联考试题 文 新人教A版

天津市六校2013届高三第二次联考
数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数i
i
z --=
121（为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为
A ．2 B.3
C ．
2
7
D. 4 3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的
值为5-，则输出的y 值是
A. 1-
B.
C. 2
D.
4
1 4． 已知命题P ：“1x
y
>”，命题q ：“0x y >>”，则
p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设0.53a =，3log 2b =，2cos =c ，则
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．b c a << 6.若把函数sin y x ω=图象向左平移3
π
个单位，则与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的
值可能 是
A ．
13 B ．32 C ．23 D ．12
7．若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线
bx y 22=
是输出y x =|x -3|
|x |>3x 开始
的焦点分成2:3的两段，则此双曲线的离心率为 A.
8
9
B. 37376 C ．335 D. 21215
8. 已知()()[]22,0
,1,132,0
x x f x f x ax x x x ⎧-≤=≥∈-⎨
->⎩若在上恒成立，则实数a 的取值范围是
A.(][)10,-∞-⋃+∞
B.[]1,0-
C.[]0,1
D.),1[]0,(+∞⋃-∞
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若集合{}
1≤=x x A ，⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<=11x x
A ，则
B A ⋂= ▲ . 10.若某几何的三视图（单位：cm ）如下图所示,此几何体的体积是 ▲ 3cm .
11.定义运算
bc ad d c b a -=，函数3
2
1)(+--=
x x x x f 图象的顶点坐标是(),m n ，且r n m k ,,,成等差数列，则r k +的值为 ▲ .
12.如上图，PA 与⊙O 切于点A ，过点P 的割线与弦AC 交于B ，与⊙O 交于D 、E ，且==PB PA BC ，若4=PD ，21=DE ,则AB = ▲ .
13.已知直线12=+by ax （其中b a ,为非零实数）与圆12
2
=+y x 相交于B A ,两点，O
为坐标原点，且AOB ∆为直角三角形，则
2
22
1b a +
最小值为 ▲ . 14.如上图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则
PD PC •的取值范围是 ▲
三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
D P O
B
A
C E
A
B
C
D P
2 2 2 2 2
4
正视图
侧视图
俯视图
（第10题图）
（第12题图）
（第14题图）
骤.
15．(本小题满分13分)
家政服务公司根据用户满意程度将本公司家政服务员分为两类，其中A 类服务员12名，B 类 服务员x 名.
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法随机抽取20名家政服务员参加技术培训，抽取到B 类服务员的
人数是16, 求x 的值；
（Ⅱ）某客户来公司聘请2名家政服务员，但是由于公司人员安排已经接近饱和，只有3名A 类家政服务员和2名B 类家政服务员可供选择.
①请列出该客户的所有可能选择的情况;
②求该客户最终聘请的家政服务员中既有A 类又有B 类的概率.
16. (本小题满分13分)
ABC ∆中，已知45A =o ，4
cos 5
B =
. （Ⅰ）求sin C 的值；
（2）若10,BC D =为AB 的中点，求AB 、CD 的长.
17．(本小题满分13分)
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点,2PA PD ==，
1
12
BC AD =
=，3CD =. （Ⅰ）求证：PE ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅲ）求直线BM 与CD 所成角的余弦值.
18. （本小题满分13分）
P
A
B
C
D E
M
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n n a S -=2，*N n ∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n na b 2=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：2≥n T .
19．（本小题满分14分）
已知椭圆()012222>>=+b a b
y a x 的离心率为35
，设其左、右焦点分别为21,F F ，上
顶点
为1B ，∆211F F B 的面积为52. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点)0,2(作直线与椭圆交于B A ,两点，O 是坐标原点，设+=，是
否存
在这样的直线，使四边形OASB 的对角线相等（即||||=）？若存在，求出直线的方程，
若不存在，试说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知函数ax x x f -=3
)(，2
5
ln 21)(2--=
x x x g （Ⅰ）若)(x f 在1=x 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值；
（Ⅱ）若对一切),,0(+∞∈x 有不等式35)(2)(2
-+-⋅≥x x x g x x f 恒成立，求实数a 的取值 范围；
（Ⅲ）记)(2521)(2x g x x G --=，求证：ex e
x G x 2
1)(->.
2013届天津市第二次六校联考数学（文科）答案 一．选择题： DCAB ABDB 二．填空题：
9. )0,1[- 10. 48 11. 9
-
12. 9 13. 4 14. [0,16] 三．解答题
15.（1）20-16=4, 由
1612
4
=x ，可得x =48…………6 (2) ①设3名A 类家政服务员的编号为a ，b ，c ，2名B 类家政服务员的编号为1，2，
则所有可能情况有：
(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)共10种选择. ②该客户最终聘请的家政服务员中既有A 类又有B 类的情况有： (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)共6种选择，
∴该客户最终聘请的家政服务员中既有A 类又有B 类的概率为
5
3
106==
P .………….13 16.（1）∵三角形中,54cos =B ,所以B 锐角∴5
3
sin =B --------3分
所以10
2
7sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C --------6分 (2) 三角形ABC 中，由正弦定理得A
BC
C AB sin sin =
, ∴14=AB ， --------9分 又D 为AB 中点，所以BD=7
在三角形BCD 中，由余弦定理得 37cos 2222=⋅⋅-+=B BD BC BD BC CD
∴37=CD -------13分
17.（1）∵PD PA =，E 为AD 的中点，AD PE ⊥∴
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，⊂PE 平面PAD
PE ∴⊥平面ABCD -------4分
（2）连接EC ，取EC 中点H ，连接HB MH , ∵M 是PC 的中点，H 是EC 的中点，MH ∴∥PE 由（1）知PE ⊥平面ABCD ，MH ∴⊥平面ABCD
HB ∴是BM 在平面ABCD 内的射影 MBH ∠∴即为BM 与平面ABCD 所成角
H
∵AD ∥BC ，AD BC 2
1
=
，E 为AD 的中点，090=∠ADC ∴四边形BCDE 为矩形，∴12
1
,2==
=EC HB EC ， 又∵,2321==
PE MH MHB ∆∴中，2
3
tan =
=∠HB MH MBH ∴直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值为
2
3
-------9分 (3) 由（2）知CD ∥BE ∴直线BM 与CD 所成角即为直线BM 与BE 所成角 连接ME ，MHE Rt ∆中，,27=
ME MHB Rt ∆中，,2
7=BM 又3==CD BE MEB ∆∴中，7213
2
7
247
3472cos 2
2
2
=⨯⨯-
+=⋅-+=
∠BE BM ME BE BM MBE ∴直线BM 与CD 所成角的余弦值为
7
21
-------13分 18. （1）当1=n 时，111==S a -------1分 当2≥n 时，n n a S -=2
112---=n n a S
两式相减得：11--+-=-n n n n a a S S ， 整理得12-=n n a a
∴
1-n n a a =21（2≥n ） ∴{}n a 是以1为首项，2
1
为公比的等比数列 -------4分
∴n a =(
2
1)1
-n
-------5分
（2）2
22)2
1
(2--=
==n n n n n
n na b -------6分
+++=∴-11232221o n T … 23221--+-+n n n
n ①
+++=21023222121n T (1)
22
21--+-+n n n
n ② ①-②得：++++=-21012121212121n T (122)
21---+n n n
1211221422
1121
12------=---
+=n n n n n n ∴T=8-321-n -22-n n =8-22
2
-+n n -------10分
∵02
1
)228()238(1211>+=+--+-=----+n n n n n n n n T T 在*N n ∈时恒成立
即n n T T >+1，{}n T ∴单调递增 {}n T ∴的最小值为22
3
811=-=-T
∴2≥n T -------13分
(注：也可证明数列{
2
2
2
-+n n }的单调性) 19．（1）∵∆211F F B 的面积为52，5222
1
211=⨯⨯=∴∆b c S F F B 又∵3
5=
=
a c e ，解得4,9,52
22===b a c ， ∴椭圆方程为 .14
92
2=+y x ………………………5分 （2）因为+=，所以四边形OASB 为平行四边形，
若存在使得||||=，则四边形OASB 为矩形，∴0=⋅OB OA -------7分
若的斜率不存在，直线的方程为2=x ，由⎪⎩
⎪⎨⎧±==⎪⎩⎪⎨⎧=+=3522,1492
22y x y x x 得
09
16
>=
⋅∴OB OA ，与0=⋅矛盾，故斜率存在 …………………8分 若的斜率存在,设的方程为)2(-=x k y
由.0)1(3636)49(149
)2(22222
2=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y 依题0>∆恒成立，设).,(),,(2211y x B y x A
.4
9)
1(36,49362
2212221+-=+=+∴k k x x k k x x ① .4
920]4)(2[)]2()][2([22
21212
2121+-=++-=--=k k x x x x k x k x k y y ② ……11分
把①、②代入.2
302121±
==+k y y x x 得 ∴直线的方程为)2(2
3
-±=x y ，即0623=--y x 或0623=-+y x
综上，存在直线：0623=--y x 或0623=-+y x ，使得四边形OASB 的对角线相等… 14分
20.（１）,3)(2'a x x f -=
∵)(x f 在1=x 处的切线与x 轴平行 )(x f ∴在1=x 处的切线斜率为0 即03)1('=-=a f ，3=∴a ……3分
(2)原不等式可化为：,35)2
5ln 21
(2223-+---≥-x x x x x ax x 化简得：
,3ln 22++≤x x x ax
∵0>x ，故上式可化为x x x a ++
≤3ln 2恒成立，即min )3
ln 2(x x
x a ++≤. 记,32)(),0(,3ln 2)(2
2'
x x x x t x x x x x t -+=>++=
令,0)('=x t ∵0>x 1=∴x ，∴在（0,1）上，,0)('<x t 在),1(+∞上，,0)('
>x t
∴)(x t 在（0,1）上单调递减，在),1(+∞上单调递增.
故当1=x 时，)(x t 有最小值为4，故]4,(-∞∈a ……9分 （3）化简得x x G ln )(=，原不等式可化为ex e x x 21ln ->，即证e
e x x x x 2
ln ->成立，
记x x x F ln )(=，可求其最小值为e
e
F 1)1
(-
=， 记e e
x x H x 2)(-=，可求其最大值为e H 1
)1(-=，
显然),,0(+∞∈x )()(x H x F >，故原不等式成立. ……14分。