第4章连续时间傅里叶变换

(2)若系统输入为 e2tu(t) ,求系统的输出.
解: (1)对方程两端取Fourier变换(用到稳定条件)得
j Y j Y j X j
Y j 1 X j
1 j
频率响应为
H ( j) Y ( j) 1 X ( j) 1 j
第4章 连续时间傅里叶变换
1.连续时间傅里叶变换推导 2.傅里叶变换举例 3.周期信号的傅里叶变换 4.连续时间傅里叶变换的性质 5.由线性常系数微分方程表征的系统
1 连续时间傅里叶变换的推导
• X(t)—一个非周期信号 —把它看作一个 T 的周期信号；
• 对于一个周期信号，谐波分量被 0 2 /T 隔开；

1 a
X

j

a

例如：a>1 at>t
a 1
xt X j
在时间域压缩
在频率域伸展

a)x(t)是实的和偶的 xt xt
X j X j X * j 实&偶
b)x(t)实的和奇的
xt -xt X j X j X * j
2

我们已经知道： x t y t X j Y j
那么就不意外地
得到：
xt yt
1
X j Y j
2

1
2


X

j
Y

j
d

中的卷积
-对偶性的结果
乘法性质举例
r
t

st
pt
j

x
t
e jt dt
eate jt dt

0
ea j



a
1
j

e
a
j
t

0

1
a j
做为求逆变换的一个常用公式: eat (a 0) 1
a j
例7：
ht etu t , x t e2tu t
X ( j) tan1 / a
偶对称
奇对称
例#3：一个时域方波脉冲
X ( j) T1 e jt dt 2 sin T1
T1

注意：在这两个宽度中相反的关系 不确定原理
关于CTFT的一些有用的事实


X (0) x(t)dt
上面的例子： x(t)dt=2T1 X (0)
j k j k

X

j

H j
H ( j) Y ( j) X ( j)
b M
k0 k
j k
a N
k0 k
j k
例: 有一稳定LTI系统,由如下微分方程表征:
dy t y(t) x(t)
dt
(1)求系统的频率响应 和单位冲击响应;
2

x(t) x(t)在此区间
1 x(t)e jk0t dt
T
（1）
如果我们定义：X
j



x(t )e
jt dt
则例（1）
ak

X jk0
T
推导（接上）
因此，对于- T t T
22
x(t) x(t) 1 X
T k
jk0
e jk0t
ak

1
2

0X
k
jk0
e jk0t

由于 T ,0 d 我们得到连续时间傅里叶变换对
x(t) 1 X j e jtd
2
X ( j) x t e jtdt
综合方程 分析方程
e j0t 2 ( 0 )
更普遍地


x(t) ake jk0t X ( j) 2 ak ( k0)
k
k
例#4：
x(t)

cos 0t

1 2
e j0t

1 2
e
j0t
X ( j) 0 0
H j H12 j 有一个
更加尖锐的频率选择
例5：
sin 4t sin 8t ? t t
xt
ht
Y j X j yt xt
由指数函数的FT:
x t eatu t , a 0
X
逆变换
P26 (1.76)
y t H j0 e j0t
例2：一个微分器
y t dx t
dt
一个LTI系统
微分性质：Y j j X j

H j j
1）放大高频信号（增强边缘的锐化）
2）+π/2的相位转换（
） j
X * j

X - j X j
偶
X - j -X j
奇
Re{X - j} Re{X j}
偶
Im{X - j} Im{X j}
奇
性质继续……
4）时间伸缩性
xat
d dt
sin 0t

0
cos 0t

0
sin

0t


2

d dt
cos 0t

0
sin
0t

0
cos

0t


2

例3：理想低通滤波的冲激响应
h t 1 c e jtd
2 c

sin ct t

c
sin
c

2 连续时间傅里叶变换举例
例#1
(a) x(t) (t)
X ( j) (t)e jtdt 1
(t) 1 e jt d
2
(b) x(t) (t t0 )
X ( j)


(t

t0
)e
jt
dt
e jt0
例子
r t s t cos0t
幅度调制（AM）
R

j


1 2

S

j


0

+S

j

+0


0 1 0 0 1
5 用LCCDE （线性常微分方程）描述LTI系统
N d k y t M d k x t
ak
k 0
x(t), 周期的，
T 2 |t
t | T
2
T 2
由于T , x(t) x(t)对于所有t
推导（接上）

x(t)
ak e jk0t
k

0

2
T

ak
1 T
T
2 T
2
x(t )e jk0t dt

1 T
T
2 T
x(t )e jk0t dt
— (t)的综合方程
例#2：指数函数
x(t) eatu(t), a 0
X ( j) x(t)e jt dt eate jt dt

0
e ( a j ) t



a
1
j

e(a
j
)t

0
1
a j
X ( j) 1/ a2 2 1/2
yt htxt

Y

j


H

j

H

j


1
1 j


2
1 j

一个j的有理函数，j的多项式之比
部分分式展开式
Y j 1 1
1 j 2 j 傅里叶逆变换
y t et e2t u t
帕塞瓦尔关系
dt k
bk
k 0
dt k
用微分性质
d
k x t
dt k


j k
X

j
两边同时变换
N
M
ak j k Y j bk j k X j
k 0
k 0


Y j
b M
k0 k
a N
k0 k

• 由于 T ,0 0 ，因此谐波分量在频率域隔的 很近。

傅里叶级数 傅里叶积分
激励例子：方波
固定不变
ak

2 sin(k0T1 ) k0T
| Tak

2sin T1
k0
增加
当T 增加 时， 离散 频率 点变 密。
简单起见假设 x(t)有一个有限 的持续。
x(t)=
单位冲击响应为: h(t) etu(t)
(2) x(t) e2tu(t)
X ( j) 1 2 j
Y ( j) 1 1 1 1 1 j 2 j 1 j 2 j
y(t) (et e2t )u(t)
-纯虚&奇
c)
X j Re X j jIm X j


对于实数 x(t) Ev x t Od x t
卷积性质
x t X j ht H j y t ht x t Y j H j X j

k
2
T




k 2
T


2 ak
k0
采样函数！
注意：（t的周期）T
（的周期）2π/T
4 连续时间傅里叶变换的性质
1）线性
ax(t) by(t) aX j bY j
2）时移性 证明：
x t t0 e jt0 X j
ct

定义：sin c sin

什么是h（0）？
h0
1
2

H

j d

2c 2

c
例4：级联滤波算子
H1 j H2 j
H j H1 j H2 j
例如：H1 j =H2 j
“线状谱 ”

例#5：x(t) t nT —采样函数 n
在频率域的
1
x(t) ak T
T /2 (t)e jk0t dt 1
T /2
T

x(t)
ak e jk0t
k
1 T

e jk0t
k


X (
j )
x(0) 1

X ( j)d
2
上面的例子：x(0)
1=
1
2


X(
j)d
= 1 （三角形的面积）
2
3 周期信号的连续时间傅里叶变换
假设 即
X( j) ( 0)

x(t) 1
2

(

0 )e jt d

1
2
e j0t
x t 2 dt 1 X j 2 d

2
时域中的 所有能量
频率域中的 所有能量
1 X j 2
2
谱密度
乘法性质
傅里叶变换是高度对称的
1 F1
xt
X j e jtd, X j F x t e jtdt
系统的频率响应
冲激响应
xt ht yt ht xt Y j H j X j
频率响应
连续LTI系统的频率响应是冲激响应的傅里叶变换.
例1： x t e j0t H j y t
Y j H j X j H j 2 0 2 H j0 0

x

t t0
e jt dt e j0t
x t ' e jt' dt '

X j
FT幅度不变
e jt0 X j X j
FT相位线性改变
e jt0 X j X j t0
性质（接上 ）

R
j

1
2
S

j P
j
对于p t cos0t P j 0 0
对于任何s t

R

j


1 2
S

j


0

+
1 2
S

j
+0

一个信号乘以另一信号,就是用一个信号调制 另一信号的振幅,两个信号相乘称为幅度调制.