高一数学《指数与指数幂的运算(二)》教学设计

芯衣州星海市涌泉学校2.1.1指数与指数幂
的运算〔2〕
一、内容与解析
(一〕内容：分数指数幂
〔二〕解析：本节课是关于分数指数幂的一节概念与运算课，是高中新课改A版教材第二章的第二节课．第一节课主要介绍了根式的意义及其根本性质。

而本节课是在根据数的运算性质情况下，将分数指数幂与根式联络起来，从而导出分数指数幂的意义，并推广整数指数幂的运算性质到有理数指数幂的运算性质。

分数指数幂是学生继续学习无理数指数幂的根底，是学生认识指数幂从整数指数幂推广到实数指数幂的根底。

本节课的重点是理解分数指数幂的意义及相关的运算。

二、教学目的及解析
1.理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的才能.
2.掌握根式与分数指数幂的互化,浸透“转化〞的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯.
3.能纯熟地运用有理指数幂运算性质进展化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算才能.
三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是分数指数幂与根式的互相转化,产生这一问题的原因是分数指数幂的意义不能正确理解.要解决这一问题,就是要求学生理解意义、多训练.
四、教学支持条件分析
在本节课()的教学中,准备使用(),因为使用(),有利于().
五、教学过程
问题1根式与正分数指数幂有何内在联络呢？
(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0,
①5
10
a =3
5
2)
(a =a2=a
5
10;
②8
a
=
24)(a =a4=a 2
8; ③4
12
a =44
3)
(a =a3=a 412; ④
210
a
=2
2
5)
(a =a5=a
2
10.
(3)利用(2)的规律,你能表示以下式子吗？
4
3
5,
3
5
7,
5
7
a ,
n
m
x (x>0,m,n∈N*,且n>1).
(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回忆初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每一小题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把详细推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示. 讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义; a-n=
n
a 1(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
(2)①a 2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.本质
上①
5
10
a
=a 5
10,②
8
a
=a 2
8,③
4
12
a
=a 4
12,④
2
10
a
=a 2
10结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了
510,28,412,5
10,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式〔分数指数幂形式〕.
(3)利用(2)的规律,
4
3
5
=54
3
,
3
5
7
=7,
5
7
a
=a 5
7,
n
m
x
=x
n m .
(4)53的四次方根是54
3,75的三次方根是7,a7的五次方根是a 5
7,xm 的n 次方根是x
n
m .
结果说明方根的结果和分数指数幂是相通的.
(5)假设a>0,那么am 的n 次方根可表示为
n
a m=a
n
m ,即a n
m =
n
a m(a>0,m,n∈N*,n>1).
综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:
规定:正数的正分数指数幂的意义是a m
n =
n
a m(a>0,m,n∈N*,n>1).
问题2有理数指数幂的意义是什么？它有哪些运算性质呢？ ①负整数指数幂的意义是怎样规定的 ②你能得出负分数指数幂的意义吗 ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义 ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义
⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果
⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢
活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会答复,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义交融起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生交流,以详细的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=
n
a 1(a≠0),n∈N*.
②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.
规定:正数的负分数指数幂的意义是a m
n =
m
n a
1=
n
m
a
1
(a>0,m,n∈N*,n>1).
③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:
正数的正分数指数幂的意义是a m
n =
n
m
a (a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是
a
m
n -
=
m
n a
1=
n
m
a
1
(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
⑤假设没有a ＞0这个条件会怎样呢
如(-1)=3-1=-1,(-1)6
2=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比方式子
3a2=|a|3
2,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分
数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出如今指数上. ⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: 〔1〕ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q), 〔2〕(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q), 〔3〕(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 例题与变式题组
例1求值:①83
2;②25
2
1-
③(21)-5;④(81
16)43
-.
活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或者者化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(3
2)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己之答案用投影仪展示出来.
解：①8
3
2
=(23)3
2=2
3
23⨯=22=4;
②252
1
-=(52)2
1-=5
)
2
1(2-⨯=5-1=
5
1; ③(
2
1
)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
④(8116)43-=(32))43
(4-⨯=(32)-3=8
27.
点评：本例主要考察幂值运算,要按规定来解.在进展幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转
化为熟悉的根式运算,如83
2
=
3
2
8=
3
64=4.
例2用分数指数幂的形式表示以下各式.
a3·
a ;a2·32
a ;
3a
a (a>0).
活动：学生观察、考虑,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进展,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.
解：a3·a =a3·a
2
1=a
2
13+=a 2
7;
a2·
3
2
a
=a2·a 3
2=a
2
32+=a;
3a
a =(a·a)2
1=(a 3
4)
2
1=a 3
2.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进展根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数. 例3计算以下各式〔式中字母都是正数〕:
〔1〕(2a 3
2
b
21)(-6a 2
1b)÷(-3a 6
1b
6
5);
〔2〕(m 4
1n
8
3-
)8.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四那么运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩大到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四那么运算顺序,再解答,把自己之答案用投影仪展示出来,互相交流,其中要注意到〔1〕小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进展,要注意符号,第〔2〕小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进展计算,熟悉后可以简化步骤.
解：〔1〕原式=［2×(-6)÷(-3)］a
6
12132-+b
6
53121-+=4ab0=4a;
〔2〕(m 4
1
n 8
3-)8=(m 4
1)8(n 8
3-)8=m
84
1⨯n
88
3⨯-=m2n-3=32
n
m .
点评：分数指数幂不表示一样因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法那么进展运算了. 本例主要是指数幂的运算法那么的综合考察和应用. 变式训练 求值:
(1)3
3·33·63; (2)6
4
6
3)12527(n m . 解：(1)3
3·33·6
3=3·3
2
1·3·361=3
6
131211+++=32=9；
(2)6
463
)12527(n m =(6
46
3
)12527(n
m =(6
4633
3
)53(n
m =
6
46
6
43
643
6
43
)
()5()()3(n m =4
2259n m =4225
9-n m . 例4计算以下各式:
〔1〕(
125253
-)÷425;
〔2〕
3
2
2a
a a •(a ＞0〕.
活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第〔1〕小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第〔2〕小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法那么计算,最后写出解答.
解：〔1〕原式=(25-1252
1)÷254
1=(53
2-52
3)÷52
1
=5
2
1
32--5
2
123-=56
1-5=
6
5-5;
〔2〕
32
2a a a •=
3
22
12a
a a •=a
3
2212--=a 6
5=
6
5a .
例2求以下各式的值:
(1)
4
3
29
81⨯;
(2)2
3×35.1×612.
活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法那么计算,假设根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外
4
3
29
81⨯=
4
2
1344
)
3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进展评价.
解：(1)
4
3
29
81⨯=［34×(334)
2
1］
4
1=(3
3
24+
)
4
1=(3
3
14)
4
1=36
7=6
33
;
(2)6
3
125.132⨯⨯=2×3
2
1×(2
3
)×(3×22)61=231311++·361
3121++=2×3=6.
例3计算以下各式的值:
〔1〕［(a
2
3-b2)-1·(ab -3)2
1(b 2
1)7］;
〔2〕
1
112
12
1
-+-
++-
-a a a a a
;
(3)14323
)(
---÷a b b a
.
活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进展积的乘方,再进展同底数幂的乘法,最后再乘方,或者者先都乘方,再进展同底数幂的乘法,对〔2〕把分数指数化为根式,然后通分化简,对〔3〕把根式化为分数指数,进展积的乘方,再进展同底数幂的运算.
解：(1)原式=(a
2
3
-b2)
3
1-(ab-3)6
1·(b 2
1)
3
7=a 2
1b 3
2-a 6
1b 2
1-b 6
7=a 6
121+b
6
72132+--=a 3
2b0=a 3
2;
另解：原式=(a 2
3b-2a 2
1b 2
3-·b
2
7)
=(a
2
123+b
2
7232+
--)=(a2b0)=a
3
2;
〔2〕原式=
1
111
1-+
-
++
a a
a a
a =
)
1(1-+a a a =
)
1(11-+-
a a a a
=
)1
1
1(1-+-
a a a
= )1(2
--a a =
)
1(2a a a
-;
〔3〕原式=〔a 2
1b 3
2〕-3÷(b -4a-1)
2
1=a
2
3-
b-2÷b -2a
2
1-
=a
2
123+-b-2+2=a-1=
a
1. 例5f 〔x 〕=ex －e-x,g 〔x 〕=ex+e-x. 〔1〕求［f 〔x 〕］2－［g 〔x 〕］2的值；
〔2〕设f 〔x 〕f 〔y 〕=4,g 〔x 〕g 〔y 〕=8,求
)
()
(y x g y x g -+的值.
活动：学生观察题目的特点,说出解题的方法,整体代入或者者利用公式,建立方程,求解未知,假设学生有难度,教师可以提示引导,对〔1〕为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现和未知的关系,可写出详细算式,予以探求.
解：(1)［f 〔x 〕］2－［g 〔x 〕］2=［f 〔x 〕+g 〔x 〕］·［f 〔x 〕－g 〔x 〕］ =〔ex －e-x+ex+e-x 〕〔ex －e-x －ex －e-x 〕=2ex 〔－2e-x 〕=－4e0=－4; 另解：(1)［f 〔x 〕］2－［g 〔x 〕］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 =e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x =-4ex-x=-4e0=-4;
(2)f 〔x 〕·f〔y 〕=〔ex －e-x 〕〔ey －e-y 〕=ex+y+e-(x+y)－ex-y －e-(x-y)=g 〔x+y 〕－g 〔x －y 〕=4, 同理可得g 〔x 〕g 〔y 〕=g 〔x+y 〕+g 〔x －y 〕=8,
得方程组⎩
⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g 〔x+y 〕=6,g 〔x －y 〕=2.
所以
)()(y x g y x g -+=2
6
=3.
点评：将条件变形为关于所求量g 〔x+y 〕与g 〔x －y 〕的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所表达的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练
课本P54练习1、2、3. ［补充练习］
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励. 1.(1)以下运算中,正确的选项是() A.a2·a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(
a
-1)0=0
D.(-a2)3=-a6 (2)以下各式①4
2)4(n
-,②4
1
2)4(+-n ③
5
4
a ,④
4
5
a 〔各式的n∈N,a∈R〕中,有意义的是()
A.①②
B.①③
C.①②③④
D.①③④
(3)24
3
6234
6)()(
a a •等于()
A.a
B.a2
C.a3
D.a4 (4)把根式－23
2
)(--b a 改写成分数指数幂的形式为()
A.-2(a-b)
5
2- B.-2(a-b)
25-
C.-2(a
5
2-
-b
5
2-)D.-2(a
2
5-
-b
2
5-
)
(5)化简〔a 3
2b 2
1〕〔-3a
2
1
b 〕÷〔3
1a 61
b 65
〕的结果是()
A.6a
B.-a
C.-9a
D.9a
2.计算：(1)0.027
3
1-
－〔－7
1
〕-2+25643
－3-1+〔2－1〕0=________.
(2)设5x=4,5y=2,那么52x-y=________.
3.x+y=12,xy=9且x ＜y,求
2
12
1212
1y
x y x +-的值.
答案：1.(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2.(1)19(2)8
3.解：
2
12
1212
1y
x y x +-=
)
)(())((21
2121212
12
12
12
1y x y x y x y x -+--=y
x y
y x x -+-2
12
12. 因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.
又因为x ＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式
3
6612--=3
3-
. 拓展提升
1.化简
1
1
11
13
13
13
13
13
2---
+++
++-x x
x x x x x x .
活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进展因式分解,根据此题的特点,注意到:
x-1=(x)3-13=(x-1)·(x 32
+x+1); x+1=(x)3+13=(x+1)·(x
3
2-x+1);
x-x=x ［(x)2-1］=x(x-1)(x+1). 构建解题思路教师适时启发提示.
解：
11
11
13
13
13
13
132---
+++
++-x x
x x x x x x =
1
1
1)(1
1)(3
13
13
23
13
133313
13
23
3
31---
+++
++-x x x x x x x x x
=
)
1()
1)(1(1
)
1)(1(1
)
1)(1(3
13
13
13
13
13
13
23
12
13
23
13
23
1-+--
++-++++++-x x x x x x x x x x x x x
=x-1+x 32-x+1-x 32-x=-x.
点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 2
1-b 21)(a 21+b 21)=a-b, (a 21±b 21)2=a±2a 21b 21+b, (a±b)(a 3
2
ab+b 32)=a±b. 2.a 21+a 21
-=3,探究以下各式的值的求法. (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)2121
2323-
---a a a
a . 解：(1)将a 21+a 21
-=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;
(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;
(3)由于a 23-a 23
-=(a 21)3-(a
21
-)3, 所以有21
21
2
3
23-
---a a a a =21
21
212112121))((-----++-a a a a a a a a =a+a-1+1=8. 点拨:对“条件求值〞问题,一定要弄清与未知的联络,然后采取“整体代换〞或者者“求值后代换〞两种方法求值.
课堂小结
活动：教师,本节课同学们有哪些收获请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间互相交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:
(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a
m n =n a m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数
幂的意义是a m n -=m n
a 1=n m a 1(a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.
(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),
②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),
③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(4)说明两点:
①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只说明这种规定的合理性,其中没有推出关系.
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因此分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an)n m =n m
n a =am 来计算.。