高等数学(一元微积分)02-7.10定积分应用之旋转体的体积

x2
2
dx
2b 2 a2
a
(a
2
x 2 )dx
0
2b 2 a2
a
2
x
x3 3
a
0
4 ab 2 ． 3
图 5.2.14
图 5.2.15
a 绕 y 轴旋转的椭球体，可看作右半椭圆 x
b2 y 2 与 y 轴围成的平面图
b
形绕 y 轴旋转而成(如图 5.2.15 所示)，取 y 为积分变量，y [b,b] ，由公式(5．2．7)
(5.2.6)
类似，由曲线 x g( y) ，直线 y c, y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转，
所得旋转体(如图 5.2.13)的体积为
V d g 2 ( y)dy ． c(52.7)图 5.2.12
图 5.2.13
x2 y2 例 1 求由椭圆 1分别绕 x 轴及 y 轴旋转而成的椭球体的体积．
边梯形绕 x 轴旋转而成(如图 5.2.12)，我们来求它的体积V ．这是已知平行截面面 积求立体体积的特殊情况，这时截面面积 A(x) 是圆面积．
在区间 a,b 上点 x 处垂直 x 轴截面面积为 A(x) f 2 x ，在 x 的变化区间
a,b 内积分，得旋转体体积为
V b f 2 xdx ． a
所求椭球体体积为
b a
Vy
b b
b2
y2
2
dy
2a 2 b2
b (b 2 y 2 )dy
0
2a 2 b2
b
2
y
y3 3
b
0
4 a 2b ． 3
a2 b2
解 绕 x 轴 旋 转 的 椭 球 体 ( 如 图 5.2.14 所 示 ) ， 它 可 看 作 上 半 椭 圆
b y
a2 x2 与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转而成．取 x 为积分变量，
a
x [a, a] ，由公式(5．2．6)所求椭球体的体积为:
a b
Vx
a a
a2
在区间上点x处垂直x轴截面面积为526类似由曲线轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所得旋转体如图5213的体积为527图5212图5213轴旋转的椭球体如图5214所示轴围成的平面图形绕x轴旋转而成
7.10 旋转体的体积
设旋转体是由连续曲线 y f (x) 和直线 x a, x b (a b) 及 x 轴所围成的曲