坐标系(极坐标系)

例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。

2

4
C
5 6

4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3

2

5 6
P
C E D B A
5 7 A(5, ), B (8, ), C (3, ) 2 6 6

判断ΔABC的形状. 9 在极坐标系中,已知 A(2,

6 ), B(4, 5 ), 求A,B两点的距离 6
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
2
1 5 这是以点(1, )为圆心，半径为 的圆。 2 2
5 极坐标方程 sin 2 2 cos 0 表示的曲线是___
抛物线
6 极坐标方程 4 sin2 3 所表示的曲线是（ B ）
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3

这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
,它们相交于 A, B 两点,求线段
AB的长．
2 2 1 解：由 得 x y 1
2cos( ) cos 3 sin , 2 cos 3 sin 3 2 2 x y x 3y 0
，
2 2 x y 1 由 2 2 x y x 3y 0 2 2 1 3 1 3 A (1,0), B ( , ) 得 AB 1 0 3 2 2 2 2
1 已知点M的极坐标为 5， ，下列所给出的 3
A. C.
5， 3
2 5， 3
B.
D.
4 5， 3 5 5， 3
2 在极坐标系中,已知三点 M ( 2, ), N (1,0), P ( 2 3 , ) 3 6 判断M, N, P三点是否在一条直线上.
解（1）由极坐标化为直角坐标的公式：
x cos ; y sin .
，
得直角坐标分别为 (4,4 3 ), (2 3 ,2)பைடு நூலகம் (2,0)
(2,2)， (0,15) 化成极坐标。 2.把点P的直角坐标( 6 , 2 )，
解（2）由直角坐标化为极坐标的公式： y 2 2 2 x y ; tan x 11 7 3 ), (2 2 , ), (15, ) 得极坐标分别为 (2 2 , 6 4 2
点的极坐标的统一表达式: 一般地： 极坐标 , 与 , 2k k Z 表示同一个点。 平面内点的极坐标有无数种表示。 点的直角坐标呢？ 当极角的取值范围 是[0,2π)时,
M
O
X
平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)建立 一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角。
4

4 3
HO
G
X
F
5 Q3
一般地，不作特别说明，我们认为≥0，可以取 任意实数。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
0, R
建立了极坐标后，给定ρ、，就可以在平面内惟一 确定点M， 反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的 极坐标(，)。
点与它的极坐标是否一一对应？
( , ) ( , ) ( , )
3 在极坐标系中，如果等边ΔABC的两个顶点是
5 A( 2, ), B( 2, ), 4 4

求第三个顶点C的坐标。
极坐标与直角坐标的互化
平面内一个点可以用直角坐标和极坐标分别表示， 那么这两种表示之间有什么关系？ 平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )这个点如何用 极坐标表示?
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
极坐标的表示方法: 对于极坐标平面上任意一点M: 表示线段OM的长度，叫做点M的极径; 表示以OX为始边，射线OM为终边的 角,叫做点M的极角;
M
有序数对(,)就叫做点M的极坐标。 特别强调： O X 表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；
表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边， OM 为终边的角。 不做特殊说明时,≥0,∈R 当M在极点时，极坐标=0，可以取任意值。
2 例1. 将点M的极坐标 (5, ) 化成直角坐标. 3
5 5 3 ) 点M的直角坐标为( , 2 2
例2. 将点M的直角坐标 (
7 3 ,1) 化成极坐标. ( 2, 6 )
练习：
11 2 ), ( 2, ) 化成直角坐标; 1.把点M 的极坐标 (8, ), (4, 6 3
小
1、极坐标系的四要素
结
极点；极轴；长度单位；角度单 位及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件 0, [0,2 ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 x y , tan ( x 0) x
x cos , y sin
8 在极坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别为
7
以 ( 2 , 4 )为圆心，2 为半径的圆的极坐标方程是( C
sin cos
2(sin cos )

)
A. (sin cos ) B. C. 2(sin cos ) D.
8 若两条曲线的极坐标方程分别为 1 与
2 cos 3
从教学楼向北偏西400走50米！ 出发点
方向 （角度）
距离
在生活中人们经常用一个基点、参照方向和距离 来表示一点的位置
——它直观、方便
这种用一个基点、参照方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 自极点引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位（一般用弧度制） 及它的正方向（通常取逆时针方向）。
(4)若A、B两点的极坐标为 (1，1)，(2，2)，求 AB的长以及ΔABC的面积。（O为极点）
例3 已知Q(，)，分别按下列条件求出点P 的极坐标。 (1)P是点Q关于极点O的对称点； (2)P是点Q关于直线=π/2的对称点； (3)P是点Q关于极轴的对称点。
练习：1 在极坐标系中,与点(-8, π/6)关于极点对称 的点的一个坐标是 ( ) 5 5 A.(8, ) B.(8, ) C.(8, ) D.(8, ) 6 6 6 6 2 点(，)关于极轴,直线 l 极点的对称点的极坐 标分别是_______.
在直角坐标系中, 以原点作为极 点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种 坐标系中取相同的长度单位.
设点M的极坐标为(ρ,θ)
3 tan 3 1
y
M (1, 3 )
O
θ
x
1 （ 3 ）2
2 2


3
M (2, )或(2, 2k ) k Z 3 3


极坐标与直角坐标的互化关系式:
3 θ=3π/4的直角坐标方程是
y 解： tan x
3 y tan , 4 x
。
即y x( y 0)
4 把极坐标方程 =sin+2cos 化为直角坐标方程。
解：因给定的不恒等于零, 得 ＝ sin 2 cos
2
化成直角坐标方程为 x2 y2 y 2x
设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
y
M
x=ρcosθ, y=ρsinθ
O
θ
x
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极坐标时，取
0, 0,
互化公式的三个前提条件:
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.


负极径的规定 在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以 去任意的正角或负角 当＜0时，点M(，)位于极角终边的反向延长线上， 且OM=||。 M(，)也可以表示为(，+2kπ) 或(-，+(2k+1)π) (k∈Z)
例2 在极坐标系中，
(1)已知两点P(5，5π/4），Q(1,π/4)，求线段PQ的 长度； (2)已知M的极坐标为(，) 且 =π/3，∈R，说明 满足上述条件的点M 的位置。 (3)若ΔABC的的三个顶点为 A(5，5π/2), B(8, 5π/6), 判定三角形形状？ C(8, 7π/6)，
第一讲 坐标系
极坐标系
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏600方向走 (2)如果有人打听体 120m后到达什么位置？该 育馆和办公楼的位置，他 位置惟一确定吗？ 应如何描述？
实验楼
图书馆
120m 办公楼 40度 60度 50m 教学楼 60m 体育馆
分析上面这句话，他告诉了问路人什么？