高中数学人教A版选修2-1高二上学期期末模拟试题.docx

A
B
C E 图1 D
邹城一中2012—2013学年高二上学期期末模拟试题
数学（理）
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合}{
2
20A x x x =-≤，={||x|<1}B x , 则A B =I
A ．}{
01x x ≤< B ．}{10x x -<≤ C ．}{11x x -<< D ．}{
12x x -<≤ 2.如图1，四面体ABCD 中，点E 是CD 的中点，
记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ，则BE u u u r =
A ．a r -12b r +12c r
B ．-a r +12b r +12c r
C ．12a r -b r +12c r
D ．-12a r +b r +12
c r
3.直线()
:2l y k x =-与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则实数
k 的值为 A ．1 B ．-1
C ．1或-1
D . 1或-1或0
4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且31a ，321
,22
a a 成等差数列，则2312
+=+a a a a
A ．1
B ．-1
C ．3
D ．-3
5.在△ABC 中，60ABC ∠=o
，2AB =，3BC =，在线段BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为
A ．
16 B ．13 C ．12 D ．23 6.对于方程22
y +=12-1
x m （1m R m ∈≠且）的曲线C ，下列说法错误．．的是 A ．>3m 时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆 B ．=3m 时，曲线C 是圆
C ．<1m 时，曲线C 是双曲线
D ．>1m 时，曲线C 是椭圆 7.设抛物线2
8y x =的焦点为F ，准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|等于
A ．83 B. 8 C. 43 D. 4
8.已知1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，若椭圆上存在点P 使
021=⋅PF PF ，则12PF PF =g
A. ２
ｂ B. ２
２ｂ C. ２ｂ D. ｂ
B
A
D
C
9.设点P 是以21,F F 为左、右焦点的双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>左支上一点，且满足
3
2
tan ,01221=
∠=•F PF PF PF ，则此双曲线的离心率为 （ ）
A ．3
B ．13
2 C ．5 D ．1
3 10.椭圆22a x +22b y ＝1(a>b>0)的离心率是21，则a
b 31
2+的最小值为（ ）
A ．
33
B ．1
C ．3
32 D ．2 11．如图，椭圆
2
2
22
1(0)x y
a b a b +=>>的四个顶点,,,A B C D 构成 的四边形为菱形，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆 的离心率是 A ．
352 B ．358+ C ．512- D ．51
4
+ 12．双曲线1
y x
=
的实轴长和焦距分别为 A ．2,2 B ．2,22 C ．22,4 D ．22,42 二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分. 13.某学习小组进行课外研究性学习，为了测量不能
到达的A 、B 两地，他们测得C 、D 两地的直线 距离为2km ，并用仪器测得相关角度大小如图所 示，则A 、B 两地的距离大约等于
（提供数据：2 1.414,3 1.732≈≈，结果保留两个有效数字） 14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
9535=a a 则9
5S S =
. 15.已知点P )1,0(及抛物线２
ｙ＝ｘ＋２，Q 是抛物线上的动点，则||PQ 的最小值为 ．
16.关于双曲线
221916x y -=-，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是5
4
； 第11题图
y O
x
③焦点坐标为(5,0)±；④渐近线方程是4
3
y x =±
，⑤焦点到渐近线的距离等于3. 正确的说法是 .（把所有正确的说法序号都填上）
三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）
已知椭圆的顶点与双曲线221412y x -=的焦点重合，它们的离心率之和为135
，若椭圆的焦点在x 轴上，求椭圆的方程.
18.（本小题满分12分）
二次函数122)(2
+++=a ax x x f .
（1）若对任意x R ∈有1)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）讨论函数()f x 在区间[0,1]上的单调性；
（3）若对任意的1x ，2x [0,1]∈有1|)()(|21≤-x f x f 恒成立，求实数a 的取值范围. 19．（本小题满分12分）
在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．
(1) 求证：//AB 平面DEG ；
(2) 求二面角C DF E --的余弦值. 20．（本小题满分12分）
已知抛物线2
:4C y x =与直线24y x =-交于A B ,两点.
(1)求弦AB 的长度；
(2)若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.
21．(本小题满分12分)
已知双曲线C 与椭圆14
82
2=+y x 有相同的焦点，实半轴长为3. (1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ⋅>u u u r u u u r
(其中O 为原点),求k 的取值范围.
22．(本小题满分12分)
如图，在平行四边形ABCD 中，01,2,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿对角线BD 折
起，折后的点C 变为1C ，且12AC =． (1)求证：平面ABD ⊥平面1BC D ；
A D
F
E
B
G C
(2)E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的
长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为0
30？
参考答案:
1-5 ABCCB 6-10 DBBDA 11-12 CC
13. 1.4km 14. 1 15.１ 16.②④⑤
17.解：设所求椭圆方程为22221x y a b +=，其离心率为e ，焦距为2c ，双曲线
22
1412
y x -=的焦距为21c ，离心率为1e ，，则有：
2
141216c =+=，1c ＝4
∴1
122c e =
= ∴133255e =-=，即35c a = ①
又1b c =＝4 ②
222a b c =+ ③
由①、 ②、③可得2
25a =
∴ 所求椭圆方程为
22
12516
x y += 18. 解：（1）2
()1+2+20f x x ax a ≥⇔≥对任意x R ∈恒成立
2=4-80a a ∴∆≤…………2分 解得02a ≤≤∴a 的范围是[]0,2
（2）2
2
()()-21f x x a a a =+++，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为=-x a ， 讨论：①当-0a ≤即0a ≥时，()f x 在区间[0,1]上单调递增；
②当0<-1a <即1<0a -<时，()f x 在区间[0,]a 上单调递减，在区间[,1]a 上单调递增； ③当-1a ≥即1a ≤-时，()f x 在区间[0,1]上单调递增. （3）由题知，max min ()()1f x f x -≤
(0)21f a =+，(1)42f a =+，2()21f a a a -=-++ 由（2），
0(1)-(0)1a f f ≥⎧⎨≤⎩或10
(1)-(-)1(0)-(-)1a f f a f f a -<<⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
或1(0)-(1)1
a f f ≤-⎧⎨
≤⎩ 解得10a -≤≤
x
z y
A
D
F E
B
G C
19．解: (1)证法一：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，
∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG .
∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG . 证法二：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直.
以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间 直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），
C （2，4，0）
，F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0） (0,2,2),(2,2,0),(2,0,2)ED EG AB ===-u u u r u u u r u u u r
, 设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =r
则0
ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r
u u u r r
，即220220y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1y =,得(1,1,1)n =--r . ∴220AB n ⋅=-+=u u u r r ，即AB n ⊥u u u r r
.
∵AB ⊄平面DEG , ∴//AB 平面DEG . (2)由已知得(2,0,0)EB =u u u r
是平面EFDA 的法向量.
设平面DCF 的法向量为0000(,,)n x y z =u u r
，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=u u u r u u u r ，
∴000
FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r
u u u r u u r
，即00002020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令01z =,得0(1,2,1)n =-u u r . 则026
cos ,626
n EB -<>==-
u u r u u u r ， ∴二面角C DF E --的余弦值为6.6- 20．解：(1)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2), 由2
24
4y x y x
=-⎧⎨
=⎩得x 2
-5x +4=0,Δ>0.
法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,
∴|AB |=2
1212||x x +- =2
2
121212()45251635,x x x x +⋅+-=⋅-=
法二：解方程得：x =1或4，∴A 、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB |=2
2
(41)(42)35,-++=
(2)设点2
(,)4
o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d ,则 2
42
5
o o y y d --=
,∴S △PA B =
2
1
·53·2
42
5
o o y y --=12，
∴2
482
o o y y --=. ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）.
21．解：(1)设双曲线的方程为)0,0(122
22>>=-b a b y a x ,2,3==c a Θ,1=∴b ,
故双曲线方程为13
22
=-y x . (2)将2+=kx y 代入13
22
=-y x 得0926)31(22=---kx x k 由⎩⎨⎧>∆≠-0
0312k 得,312
≠k 且12<k
设),(),,(2211y x B y x A ,则由2>⋅OB OA 得 )2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x =2)(2)1(21212++++x x k x x k
2231262319)
1(2
22
>+-+--+=k k k k k ,得.3312
<<k 又2
1k <，21
13
k ∴<<,即)1,33()33,1(Y --∈k 22． (1)
22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥
又AB BD ⊥，111,,BC BD BC D BC BD B ⊂⋂=平面
1AB BC D
∴⊥平面
AB ABD
⊂Q 平面
∴平面ABD ⊥平面1BC D
y
z
x （2）在平面1BC D 过点B 作直线l BD ⊥,分别直线,,l BD BA 为x ，y ，z 建立空间直角坐标系B-xyz
则A(0,0,1)，C 1(1,2,0)，D(0, 2,0)
∴),1,2,0(),1,2,1(1-=-=AD AC )1,0,0(=BA
设1(,2,)AE AC λλλλ==-u u u r u u u u r
，则(,2,1),[0,1]E λλλλ-∈ ∴
)1,22,(λλλ--=DE
又)1,0,0(=BA 是平面BC 1D 的一个法向量
依题意得sin 30|cos ,|o
BA DE =<>u u u r u u u r
，即22
11|
|2
3(1)λ
λλ-=
+- 解得2
1=
λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为0
30．。