【黑龙江省哈尔滨师大附中】2017届高三上学期期中考试(文)数学试卷-答案

黑龙江省哈尔滨师大附中2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷
答 案
1~5．DAABD 6~10．DACAC
11~12．DB
13．177,178 14．2(2,2)33
k k k ππ
ππ-+∈Z 15．3 16．4
17．（1）由(,)a a c =r (12cos ,2cos 1)b A C =--r 且//a b r r
得(2cos 1)(12cos )a C c A -=-
由正弦定理得sin (2cos 1)sin (12cos )A C C A -=-
化简为2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=+，即2sin()sin sin A C A C +=+
ABC △中A B C π++=，所以2sin sin sin B A C =+
由正弦定理得2b a c =+， 由5b =，得10a c +=；
（2）1
tan
22
B =得4tan 3B =，AB
C V 中43sin ,cos 55B B ==，
所以43
sin(),cos()55
A C A C +=+=-
又2sin sin sin B A C =+，[]843
sin sin ()sin cos sin 555
A A C A A A A =++-=++
化简为22sin cos A A =+，所以2cos sin 2
A
A -=，代入22sin cos 1A A +=
得cos 0A =或4
cos 5
A =
又A 为ABC △的最大内角，所以cos cos A B <，所以cos 0A =，所以2
A π
=．
18、（1
22
n a +=
，得2
844,n n n S a a =++ 所以2n ≥时，11()(4)0n n n n a a a a --+--= 数列{}n a 各项为正数，所以140n n a a ---=，
又1n =时2
18448n n n S a a a =++=，所以12a =，
所以通项公式为42n a n =-． （2）1111111
()(42)(42)4(21)(21)82121
n n n b a a n n n n n n +=
===--+-+-+
11111111(1)(1)83352121821
n T n n n =-+-++-=--++L
19．（1）根据题意，样本中应抽取女士1100
2002000
⨯
=110人， 男士20011090-=人；
∴110(10253535)5x =-+++=，
90(1530253)17y =-+++=；
∴消费金额在8000,1[0000]（单位：元）的网购者有女士5人，男士3人，
从中任选2名，基本事件为2
828C =种，
其中选出的2名都是男士的基本事件为3种， ∴所求的概率为328
P =； （2）
2200(28001400) 4.714 3.841110906040
k -=≈>⨯⨯⨯
可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”． 20．（1）222(1)
(),()1(1)x x e e x x f x f x x x x x -'==++++
()00f x x '>⇒<或1x >；()001f x x '<⇒<<
函数()f x 在(,0),(1,)-∞+∞单调递增，在(0,1)单调递减． （2）当1x ≥时，()1f x ≥总成立，
即当1x ≥时11
x
e bx ≥+恒成立，
因为0x e >，所以10bx +>在1x ≥恒成立，所以0b ≥
所以只需1x ≥时1x
e bx ≥+恒成立，需1
x e b x
-≤在1x ≥时恒成立，
设1(),x e g x x -=则2
(1)1
()x e x g x x
-+'=， 1x ≥时，2
(1)1
()0x
e x g x x -+'=>，
所以1
()x e g x x
-=在[)1,+∞单调递增，
1x ≥时，()(1)1g x g e ≥=-，所以1b e ≤-，
综上01b e ≤≤-
21．（1）()1cos2,f x x '=-[]0,π时()03
f x x π
π'>⇒
<≤；()003
f x x π
'<⇒≤<
函数()f x 在0,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减，在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减增．
[]
0,π时，min ()()3
3
f x f ππ==(0)0,(),f f ππ==max ()()f x f ππ==
（2）存在(0,)2
x π
∈，不等式()f x ax <成立
存在(0,)2
x π
∈，2sin x x ax -<成立
设()()2sin ,(0)0()12cos g x f x ax x x ax g g x a x '=-=--==--则且．
(0,)2
x π
∈时，12cos (1,1)x -∈-
所以()()12cos 1,1g x a x a a '=--∈--- 若10,a --<即1a >-时，(0)10g a '=--<
因为()12cos g x a x '=--在(0,)2π单调递增，所以存在区间()0,(0,)2
t π
⊂，
使()0,x t ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,t 单调递减，
()0,x t ∈时()0g x <即()f x ax <
所以1a >-
22．（1）若1a =，()230+232f x x x a x +->-->即
解集为2+3⎛
⎫-∞∞ ⎪⎝⎭
U ，（2，）； （2）恒成立()3f x x <-，即32x a x ---<恒成立，
3()(3)3x a x x a x a ---≤---=-，
所以只需32a -<，需15a <<
23．（1）由柯西公式222
()(49)(23)x y x y ++≥+，
则2323x y x y +≤+≤所以．
（2）由2222220a b c a b c ++---=，得222
(1)(1)(1)3a b c -+-+-=， 有柯西公式[]2
222
(1)(1)(1)(411)2(1)(1)(1)a b c a b c ⎡⎤-+-+-++≥++-+-⎣⎦
得求证：2
18(2)a b c ≥--，所以2a b c --≤
黑龙江省哈尔滨师大附中2017届高三上学期期中考试（文）数学试卷
解析
1．
【专题】转化思想；数系的扩充和复数。

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出。

【解答】解：复数==1﹣i的虚部为﹣1．
故选：D．
2．
【专题】计算题；函数思想；定义法；集合。

【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合，
∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，
∴A∩B=（1，+∞）。

故选：A．
3．
【分析】利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案。

【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
故选A．
4．
【分析】先求出不等式对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可。

【解答】解：∵0≤x≤π，，
∴≤x≤π，区间长度为，
则对应的概率P==，
故选：B．
5．
【分析】作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则=。

由|+|=|﹣|=2|
|，可得四边形OACB为矩形，利用=即可得出。

【解答】解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则=。

∵|+|=|﹣|=2||，
∴四边形OACB为矩形，
∴==，
∴向量+与的夹角为。

故选：B．
6．
【分析】可设{a n}的公比为q，利用a1+a2=1，a4+a5=﹣8，可求得q，从而可求得a5+a6与a7+a8．
【解答】解：设{a n}的公比为q，
∵a1+a2=1，a4+a5=q3（a1+a2）=﹣8，
∴q=﹣2，
∴a5+a6=q（a4+a5）=﹣16，a7+a8=q3（a4+a5）=64，
∴==﹣4．
故选：B．
7．
【分析】先根据[x]的定义可知，[x]=[y]⇒|x﹣y|＜1，而取x=1．9，y=2．1，此时满足|x﹣y|=0.2＜1，但[x]≠[y]，根据若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件进行判定即可。

【解答】解：[x]=[y]⇒﹣1＜x﹣y＜1即|x﹣y|＜1
而取x=1．9，y=2．1，此时|x﹣y|=0.2＜1，而[x]=1，[y]=2，[x]≠[y]
∴“[x]=[y]”是“|x﹣y|＜1”的充分而不必要条件
故选A
8．
【分析】由题意作出其平面区域，将z=3x+y化为y=﹣3x+z，z相当于直线y=﹣3x+z的纵截距，由几何意义可得。

【解答】解：由题意作出的平面区域：
将z=x+y化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，
由，可得，即B（2，0）。

当直线y=﹣x+z经过B时，z有最小值，此时z的最小值2+0=2；
故选：C．
9．
【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案。

【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；
再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程。

10．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案。

【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；
第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；
第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；
故输出的m值为6，
故选：C；
11．
【分析】由条件化简可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，从而解得sin2α的值。

【解答】解：∵α∈（，π），且3cos2α=4sin（﹣α），
∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），
化简可得：3（cosα+sinα）=2，
平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣，
12．
【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列。

【分析】函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx。

由数列{a n}是以为公差的等差数列，可得a n=a2+（n﹣2）×。

由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化简可得6a2﹣=。

利用单调性可得a2，即可得出。

【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，
可设f（x）=2x﹣cosx+c，
∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0.
∴f（x）=2x﹣cosx。

∵数列{a n}是以为公差的等差数列，
∴a n=a1+（n﹣1）×，
∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，
∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π，
∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π，
∴6a2﹣=。

令g（x）=6x﹣cos﹣，
则g′（x）=6+sin在R上单调递增，
又=0.
∴a2=。

则==2015．
13．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；概率与统计。

【分析】由茎叶图得这20名学生的身高从小到大依次排列，能求出这20名学生的身高的中位数和众数。

【解答】解：由茎叶图得这20名学生的身高从小到大依次为：
168，174，174，175，175，175，175，176，176，176，
178，178，178，178，178，182，185，185，185，188．
位于中间的两个数是176和178，
∴这20名学生的身高的中位数是：=177，
出现次数最多的是178，
∴这20名学生的身高的众数为178．
故答案为：177，178．
14．
【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+），令2kπ﹣≤x+
≤2kπ+，k∈Z，即可解得单调递增区间。

【解答】解：∵=sinx+sinx+cosx=sin（x+），
令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为：。

故答案为：。

15．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计。

【分析】求出这组数据的横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程求出m的值。

【解答】解：∵=5，=，
∴这组数据的样本中心点是（5，），
∵关于y与x的线性回归方程，
∴，=0.85×5﹣0.25，解得m=3，
∴m的值为3．
16．
【分析】将x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy，利用基本等式的性质，即可求解。

【解答】解：由题意x2+2xy+4y2=（x+2y）2﹣2xy=6，那么（x+2y）2=2xy+6，
∵（x+2y）2≥4x•2y=8xy，当且仅当x=2y时取等号。

则：2xy+6≥8xy
解得：xy≤1
z=x2+4y2=（x+2y）2﹣4xy≥8xy﹣4yx=4．
所以z=x2+4y2的最小值为4．
故答案为：4．
17．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解。

（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值。

【解答】（本大题满分12分）
解：（Ⅰ）因为：，
所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，
可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，
所以，sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得2b=a+c=10． (6)
（Ⅱ），
又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），
则，2sinA+cosA=2，
又sin2A+cos2A=1，
所以，解得，
由于A是最大角，
所以，。

(12)
18．
【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得，进一步得到（n≥2），两式作差可得a n﹣a n﹣1﹣4=0，求出数列首项，代入等差数列通项公式得答案；
（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入，由裂项相消法求数列{b n}的前n项和为T n。

【解答】（Ⅰ）证明：由，得，
∴n≥2时，（n≥2），
两式作差得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣4）=0，
又数列{a n}各项为正数，∴a n﹣a n﹣1﹣4=0，
即数列{a n}为等差数列。

又n=1时，，∴a1=2，
∴通项公式为a n=4n﹣2；
（Ⅱ）∵，
∴。

19．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计。

【分析】（Ⅰ）根据分层抽样方法求出x、y的值，利用组合数计算基本事件数，即可求得相对应的概率；（Ⅱ）列出2×2列联表，计算得观测值K2，对照表中数据，即可判断结论是否成立。

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，样本中应抽取女士200×=110人，
男士200﹣110=90人；
∴x=110﹣（10+25+35+35）=5，
y=90﹣（15+30+25+3）=17；
∴消费金额在[8000，10000]（单位：元）的网购者有女士5人，男士3人，
从中任选2名，基本事件为=28种，
其中选出的2名都是男士的基本事件为3种，
∴所求的概率为；
（Ⅱ）
女士男士总计
网购达人402060
非网购达人7070140
总计11090200
可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”。

20.
【分析】（Ⅰ）通过a=b=1，函数f（x）的导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥1总成立，转化为bx+1＞0在x≥1恒成立，推出b≥0，即证明在x≥1时恒成立，设，求出导函数，函数的最值即可推出结果。

【解答】解：（Ⅰ），
f'（x）＞0⇒x＜0或x＞1；f'（x）＜0⇒0＜x＜1
函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减。

（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≥1总成立，
即当x≥1时恒成立，
因为e x＞0，所以bx+1＞0在x≥1恒成立，所以b≥0
所以只需x≥1时e x≥bx+1恒成立，需在x≥1时恒成立，
设，则，x≥1时，，
所以在[1，+∞）单调递增，x≥1时，g（x）≥g（1）=e﹣1，所以b≤e﹣1，
综上0≤b≤e﹣1．
21．
【分析】（1）对f（x）求导，利用导函数判断函数的单调性，即可求出最值；
（2）存在，x﹣2sinx＜ax成立，设g（x）=f（x）﹣ax=x﹣2sinx﹣ax，根据g（x）导函数判断g（x）的单调性即可；
【解答】（1）f'（x）=1﹣cos2x，[0，π]时；
函数f（x）在单调递减，在单调递减增。

x∈[0，π]时，f（0）=0，f（π）=π，f max（x）=f（π）=π；
（2）存在，不等式f（x）＜ax成立；
存在，x﹣2sinx＜ax成立；
设g（x）=f（x）﹣ax=x﹣2sinx﹣ax，则g（0）=0且g'（x）=1﹣a﹣2cosx。

时，1﹣2cosx∈（﹣1，1）；
所以g'（x）=1﹣a﹣2cosx∈（﹣1﹣a，1﹣a）；
若﹣1﹣a＜0，即a＞﹣1时，g'（0）=﹣1﹣a＜0；
因为g'（x）=1﹣a﹣2cosx在单调递增，所以存在区间，
使x∈（0，t）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，t）单调递减，
x∈（0，t）时，g（x）＜0 即f（x）＜ax；
所以：a＞﹣1．
22．
【分析】（Ⅰ）化简不等式，利用绝对值的几何意义求解即可。

（Ⅱ）设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，转化不等式为a的不等式，求解即可。

【解答】（本大题满分10分）
解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|﹣2．若a=1，
不等式f（x）+|2x﹣3|＞0，化为：|x﹣1|+|2x﹣3|＞2．
当x≥时，3x＞6．解得x＞2，
当x∈（1，）时，可得﹣x+2＞2，不等式无解；
当x≤1时，不等式化为：4﹣3x＞2，解得x。

不等式的解集为： (5)
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）＜|x﹣3|恒成立，可得|x﹣a|﹣2＜|x﹣3|
设f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，
因为|x﹣a|﹣|x﹣3|≤|a﹣3|，
所以，f（x）max=|a﹣3|
即：|a﹣3|＜2
所以，a的取值范围为（1，5） (10)
23．
【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范围；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可证明结论。

【解答】（Ⅰ）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，
则|2x+3y|，
∴﹣≤2x+3y≤。

（Ⅱ）证明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，
由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得证：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以。