2016-2017学年河北省保定市高三(上)11月摸底数学试卷(

2016-2017学年河北省保定市高三（上）11月摸底数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．=（）
A．﹣i B．i C．1 D．2﹣i
2．已知函数f（x）=2x的值域为A，g（x）=lnx的定义域为B，则（）
A．A∩B=（0，1）B．A∪B=R C．B⊊A D．A=B
3．若函数f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，则f（1）=（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
4．设向量，，若与垂直，则m的值为（）
A．B．C．D．
5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）
A．y=sin2x B．y=|cosx|C．y=﹣tanx D．
6．下列命题中：
①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题；
②“”是“”的必要不充分条件；
③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，”
正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．设数列{a n}是公比为q（|q|＞1）的等比数列，令b n=a n+1（n∈N*），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q=（）
A． B．C．D．
8．设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（）
A．B．﹣ C．﹣ D．
9．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
10．等比数列{a n}中，若a4a5=1，a8a9=16，则公比q等于（）
A．B．2 C．﹣2 D．
11．.已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，
则的最大值是（）
A．B．1 C．D．
12．已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（）
A． B．C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知函数f（x）=，则f[f（0）]=．
14．若平面向量与方向相反，且，则的坐标为．
15．设数列{a n}中，a1=3，（n∈N*，n≥2），则a n=．
16．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）
=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区间[﹣3，3]上至多有9个零点，则a=．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设S n为数列{a n}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．
（1）求a2；
（2）若{a n}是等比数列，求a n．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如何由函数y=sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．
19．等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且，等比数列{b n}中，其前n项
和为T n，且，（n∈N*）
（1）求a n，b n；
（2）求{a n b n}的前n项和M n．
20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．
（1）求cosA；
（2）若a=2，求△ABC的面积．
22．已知函数f（x）=（a﹣bx3）e x﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x ﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．
2016-2017学年河北省保定市高三（上）11月摸底数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．=（）
A．﹣i B．i C．1 D．2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：=．
故选：A．
2．已知函数f（x）=2x的值域为A，g（x）=lnx的定义域为B，则（）
A．A∩B=（0，1）B．A∪B=R C．B⊊A D．A=B
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【分析】求出f（x）的定义域，g（x）的值域，确定出A=B，
【解答】解：函数f（x）=2x的值域为A=（0，+∞），
g（x）=lnx的定义域为B=（0，+∞），
∴A=B，
故选：D
3．若函数f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，则f（1）=（）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用奇函数的定义，求出a，再计算f（1）即可．
【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x3+ax2为奇函数，
∴﹣（a﹣1）x3+ax2=﹣（a﹣1）x3﹣ax2，
∴a=0，
∴f（x）=﹣x3，∴f（1）=﹣1，
故选B．
4．设向量，，若与垂直，则m的值为（）
A．B．C．D．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量垂直的条件，能求出m的值．
【解答】解：∵向量，，
∴=（﹣1，3+m），
∵与垂直，
∴•（）=﹣1+3（3+m）=0，
解得m=﹣．
故选：B．
5．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为增函数的是（）
A．y=sin2x B．y=|cosx|C．y=﹣tanx D．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：根据函数以π为最小正周期，y=cos的周期为=4π，可排除D．
在区间上，2x∈（π，2π），y=sin2x没有单调性，故排除A．
在区间上，y=﹣tanx单调递减，故排除C，
故只有y=|cosx|满足以π为最小正周期，且在区间上为增函数，
故选：B．
6．下列命题中：
①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题；
②“”是“”的必要不充分条件；
③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，”
正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用命题的否定判断③的正误；
【解答】解：①若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q“为真命题是不正确的；
②“”则“”，但是“”不一定“”，所以
“”是“”的必要不充分条件；正确．
③命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，”，满足命题的否定，是正确．
故选：C．
7．设数列{a n}是公比为q（|q|＞1）的等比数列，令b n=a n+1（n∈N*），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q=（）
A． B．C．D．
【考点】数列递推式．
【分析】推导出{a n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，从而q＜0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值，由此能示出结果．
【解答】解：数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，
且b n=a n+1（n∈N*），∴a n=b n﹣1，
则{a n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，
∵数列{a n}是公比为q（|q|＞1）的等比数列，
等比数列中有负数项，则q＜0，且负数项为相隔两项
∵|q|＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81，
相邻两项相除=﹣，=﹣，=﹣，=﹣，
∵|q|＞1，∴﹣24，36，﹣54，81是{a n}中连续的四项，此时q=﹣．
故选：C．
8．设α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则cos2α的值为（）
A．B．﹣ C．﹣ D．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．
【解答】解：∵α为△ABC的内角，且tanα=﹣，则
cos2α====，
故选：A．
9．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【考点】导数的运算；函数的图象．
【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．
【解答】解：由f′（x）图象可知，函数f（x）先减，再增，再减，
故选：D．
10．等比数列{a n}中，若a4a5=1，a8a9=16，则公比q等于（）
A
．B．2 C．﹣2 D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的性质得=．a4a5==1＞0，由此能求出公比q的值．
【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4a5=1，a8a9=16，
∴=．
又a4a5==1＞0，
∴q＞0，
解得公比q=．
故选：A．
11．.已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，
则的最大值是（）
A．B．1 C．D．
【考点】简单线性规划．
【分析】由已知点的坐标求得目标函数，由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）的距离求解．
【解答】解：∵A（1，0），M（x，y），
∴，则z==．
由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）的距离．
由图可知，．
故选：C．
12．已知O为正△ABC内的一点，且满足，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为（）
A． B．C．2 D．3
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到=
=S△ABC，S△COA=S△ABC，由面积﹣λ，由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到S
△COB
之比，O分DE所成的比，从而得出λ的值．
【解答】解：由于，
变为++λ（+）=0．
如图，D，E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知+=2，λ（+）=2λ，
故=﹣λ，
在正三角形ABC中，
=S△AOB=×S△ABC=S△ABC，
∵S
△COB
S△COA=S△ACB﹣S△ABC﹣S△ABC=S△ABC，
且三角形AOC与三角形COB的底边相等，面积之比为2
得λ=2．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知函数f（x）=，则f[f（0）]=0．
【考点】对数的运算性质．
【分析】由函数的解析式求得f（0）的值，进而求得f[f（0）]的值．
【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，
∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，
故答案为0．
14．若平面向量与方向相反，且，则的坐标为（1，﹣2）．【考点】向量的模．
【分析】平面向量与方向相反，设=k（﹣1，2），（k＜0），根据
，解得k．
【解答】解：平面向量与方向相反，
设=k（﹣1，2），（k＜0），
∵，∴=，解得k=﹣1．
则=（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
15．设数列{a n}中，a1=3，（n∈N*，n≥2），则a n=．【考点】数列递推式．
【分析】利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵a1=3，（n∈N*，n≥2），
则a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1
=3n+3n﹣1+…+32+3
=
=．
故答案为：．
16．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）
=，若函数g（x）=f（x）﹣a|x|（a≠0），在区
间[﹣3，3]上至多有9个零点，则a=20﹣8．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】利用f（x）的周期与对称性得出f（x）在（2，3）上的解析式，由g（x）的零点个数可得y=ax与f（x）在（2，3）上的图象相切，根据斜率的几何意义列方程组解出a．
【解答】解：f（2）=﹣4×22+12×2﹣8=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）的周期为4．
作出f（x）在[﹣3，3]上的函数图象，如图所示：
令g（x）=0得f（x）=a|x|，
∴当x＞0时，y=ax与y=f（x）在（2，3）上的函数图象相切，
∵1＜x＜2时，f（x）=﹣4x2+12x﹣8，且f（x）是偶函数，
∴当﹣2＜x＜﹣1时，f（x）=﹣4x2﹣12x﹣8，
又f（x）周期为4，则当2＜x＜3时，f（x）=﹣4（x﹣4）2﹣12（x﹣4）﹣8=﹣4x2+20x﹣24，设y=ax与y=f（x）在（2，3）上的切点坐标为（x0，y0），
则，解得x0=，a=20﹣8．
故答案为：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设S n为数列{a n}的前n项和，且S3=7，a1+3，a3+4的等差中项为3a2．
（1）求a2；
（2）若{a n}是等比数列，求a n．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】（1）利用已知条件建立方程组，求解健康得答案；
（2）设数列{a n}的公比为q，由a2=2，可得首项与公比，即可求得数列{a n}的通项公式．
【解答】解：（1）由已知得：，
解得a2=2；
（2）设数列{a n}的公比为q，由a2=2，可得．
又S3=7，可知+2+2q=7，∴2q2﹣5q+2=0，解得，q2=2．
①若，∴a1=4，
则．
②若q2=2，∴a1=1，
则．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如何由函数y=sinx的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】（Ⅰ）由函数的图象可求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：（1）由图象知A=1．
f（x）的最小正周期，
故，
将点代入f（x）的解析式得，
又，
∴．
故函数f（x）的解析式为，
（2）变换过程如下：y=sinx图象上的
y=sin2x的图象，
再把y=sin2x的图象的图象，
另解：y=sinx的图象．
再把的图象
的图象
19．等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且，等比数列{b n}中，其前n项
和为T n，且，（n∈N*）
（1）求a n，b n；
（2）求{a n b n}的前n项和M n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）法1：利用等差数列的前3项求出公差与首项，再利用通项公式即可得出．
法2：利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）法1：利用分组求和即可得出．
法2：利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1）法1：由，a1=1…
又，所以a2=3或﹣1
因为a2=﹣1时，=1，故a2=﹣1舍去…
所以等差数列{a n）的公差d=a2﹣a1=2∴a n=2n﹣1，…
同样可得b1=1，b2=3或﹣1
因为b2=3时，，故b2=3舍去
又{b n}为等比数列，所以…
法2：，a1=1…1分，
，（n≥2）
（a n﹣a n
﹣1）（a n+a n
﹣1
）﹣2（a n+a n
﹣1
）=0…
（a n﹣a n
﹣1﹣2）（a n+a n
﹣1
）=0，因为{a n}为等差数列，
所以a n﹣a n
﹣1
﹣2=0，又a1=1∴a n=2n﹣1，…
又{b n}为等比数列，所以易得…
（2）法一：M n=a1•b1+a2•b2+…+a n•b n=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）
若n为偶数，则M n=
所以M n=﹣n…
若n为奇数，则结合上边情况可得M n=﹣（n﹣1）+（2n﹣1）=n
综上可得M n=（﹣1）n﹣1•n…
法二：M n=1×（﹣1）0+3×（﹣1）1+5×（﹣1）2+…+（2n﹣1）×（﹣1）n﹣1…①
﹣M n=1×（﹣1）1+3×（﹣1）2+5×（﹣1）3+…+（2n﹣1）×（﹣1）n…②
①﹣②得：
2M n=1+2×（﹣1）1+2×（﹣1）2+2×（﹣1）3+…+2×（﹣1）n﹣1﹣（2n﹣1）×（﹣1）n﹣﹣﹣﹣
2M n=M n =n×（﹣1）n﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．
（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0
∴，
因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…
又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0
所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…
（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，
∴恒成立…
而当x＞0时∵．
检验知，a=2时也成立∴a≥2…
[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣
所以，函数g（x）在定义域上为减函数
所以g（x）＜g（0）=2
检验知，a=2时也成立∴a≥2…．
21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，C=2A．
（1）求cosA；
（2）若a=2，求△ABC的面积．
【考点】数列与函数的综合；正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）利用等差数列以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数求解A即可．
（2）利用三角函数的基本关系式以及正弦定理，转化求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）C=2A，B=180°﹣3A因为a，b，c成等差数列
所以a+c=2b得sinA+sinC=2sinB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
sinA+2sin A•cosA=2sin3A=2sin（A+2A）=2sinA•cos2A+2cosA•sin2A
=2sinA（4cos2A﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
整理得：8cos2A﹣2cosA﹣3=0
解之得：或（舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵，所以，a=2，
，
c=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
a+c=2b，，
=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
22．已知函数f（x）=（a﹣bx3）e x﹣，且函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x ﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求证：当x∈（0，1）时，f（x）＞2．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象在点（1，e）处的切线与直线x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，
b；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，证f（x）＞2，即证2e x﹣e x x3＞
2，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．
【解答】（Ⅰ）解：因为f（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①；
依题意，f′（1）=﹣2e﹣1；又
，
故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，
联立①②解得a=2，b=1，…
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得
要证f（x）＞2，即证2e x﹣e x x3＞2；…
令g（x）=2e x﹣e x x3，∴g′（x）=e x（﹣x3﹣3x2+2）=﹣e x（x3+3x2﹣2）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2），
故当x∈（0，1）时，﹣e x＜0，x+1＞0；
令p（x）=x2+2x﹣2，因为p（x）的对称轴为x=﹣1，且p（0）•p（1）＜0，
故存在x0∈（0，1），使得p（x0）=0；
故当x∈（0，x0）时，p（x）=x2+2x﹣2＜0，g′（x）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）＞0，
即g（x）在（0，x0）上单调递增；
当x∈（x0，1）时，p（x）=x2+2x﹣2＞0，故g′（x）=﹣e x（x+1）（x2+2x﹣2）＜0，
即g（x）在（x0，1）上单调递减；因为g（0）=2，g（1）=e，
故当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0）=2，…
又当x∈（0，1）时，，∴…
所以2e x﹣e x x3＞2，即f（x）＞2…
2017年4月19日。