沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形必考点解析练习题(精选含解析)

九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（ ）
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．23
π 2、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 与⊙O 相切于点B ，点C 是⊙O 上一点，连接AC 并延长，交BD 于点D ，连接OC ，BC ，若∠BOC ＝50°，则∠D 的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．75°
3、下列说法中，正确的是（）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．过任意三点可以画一个圆
C．周长相等的圆是等圆
D．平分弦的直径垂直于弦
∠=（）
4、如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，若130
BOC
∠=︒，则ADC
A．15°B．20°C．25°D．30°
5
）
A．2B．3C．4D．5
6、如图，O是正方形ABCD的外接圆，若O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）
A．4 B．8 C．D．
7、若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）
A ．6，
B ．6，
C ． 6
D ．6，3
8、如图，菱形ABCD 中，60C ∠=°，2AB =．以A 为圆心，AB 长为半径画BD ，点P 为菱形内一点，连PA ，PB ，PD ．若PA PB =，且120APB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
3y π= B ．23y π= C ．23y π= D ．2
3y π=9、如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且⊙O 1经过⊙O 2的圆心，则∠O 1AB 的度数为（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．20°
D ．15°
10、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，若 ⊙O 的半径为5，CD =8，则AE 的长为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1 D
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，半径为2的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 是弧AB 的中点，点D 、E 是半径OA 、OB 上的动点，且满足∠DCE ＝60°，则图中阴影部分面积等于___________．
2、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．
3、如图，AB 、CD 为一个正多边形的两条边，O 为该正多边形的中心，若∠ADB ＝12°，则该正多边形的边数为 _____．
4、如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，10AB =，6AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ．连接BH ，则在点C 移动的过程中，线段BH 的最小值是______．
5、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．则∠APB =________度；
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ．
（1）求a 的值；
（2）点D 是该抛物线的顶点，点P （m ，n ）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD 、BC 、CD 、BP ，当∠PBA ＝∠CBD 时，求m 的值；
（3）点K 为坐标平面内一点，DK ＝2，点M 为线段BK 的中点，连接AM ，当AM 最大时，求点K 的坐标．
2、如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点，且与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点(0,2)B ，点C 在第二象限M 上，且60AOC ∠=︒，则OC =__．
3、已知直线m 与⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD ⊥m 于点D ．
（1）如图①，当直线m 与⊙O 相交于点E 、F 时，求证：∠DAE =∠BAF ．
（2）如图②，当直线m 与⊙O 相切于点C 时，若∠DAC =35°，求∠BAC 的大小；
（3）若PC ＝
PB ＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．
4、如图1，AB 为圆O 直径，点D 为AB 下方圆上一点，点C 为弧ABD 中点，连结CD ，CA ．
（1）若70ABD ∠=︒，求BDC ∠的度数；
（2）如图2，过点C 作CE AB ⊥于点H ，交AD 于点E ，CAD α∠=，求ACE ∠（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若5OH =，24AD =，求线段DE 的长．
5、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD 于点E ，P 是AB 延长线上一点，且∠BCP ＝∠BCD
（1）求证：CP 是⊙O 的切线；
（2）连接DO 并延长，交AC 于点F ，交⊙O 于点G ，连接GC 若⊙O 的半径为5，OE ＝3，求GC 和OF 的长
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据垂径定理求得CE =ED COE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．
【详解】
解：设AB 与CD 交于点E ，
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD
∴CE =1
2CD CEO =∠DEB =90°，
∵∠CDB =30°，
∴∠COB =2∠CDB =60°，
∴∠OCE =30°， ∴12
OE OC =， ∴1122
BE OE OB OC ===， 又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，
在△OCE 和△BDE 中，
OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OCE ≌△BDE （AAS ），
∴=DEB CEO S S △△
∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603
ππ⨯=， 故选D ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．
2、C
【分析】
首先证明∠ABD ＝90°，由∠BOC ＝50°，根据圆周角定理求出∠A 的度数即可解决问题．
【详解】
解：∵BD是切线，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BOC＝50°，
∠BOC＝25°，
∴∠A＝1
2
∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3、C
【分析】
根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．
【详解】
A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．
4、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=1
2
∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5、B
【分析】
如图，O为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，再由等边三角形的性
质，可得∠OAB=30°，
1
2
AD AB
，然后根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】
解：如图，O为正三角形ABC的外接圆，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
根据题意得：OA
，∠OAB =30°，1
2
AD AB =， 在Rt AOD △中，
3
cos 2
AD OA OAB =⋅∠== ， ∴AB =3，即这个正三角形的边长是3． 故选：B 【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键． 6、D 【分析】
连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知
BC =2BE ，故可得出结论．
【详解】
解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，
∴OB =OC ，∠BOC =90°， ∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒ ∴OE =BE ， ∵OE 2+BE 2=OB 2，
∴BE=
∴BC=2BE=ABCD的边长是
故选：D
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
7、B
【分析】
如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，求出∠AOB=60°，即可证明△OAB是等边三角形，得到OA=AB=6；如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，先求出
∠AO1B＝60°，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=6；
（2）如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AO1B＝60°，
∵O1A= O1B，
∴△O1AB是等边三角形，
∴O1A= AB=6，
∵O1M⊥AB，
∴∠O1MA＝90°，AM＝BM，
∵AB＝6，
∴AM＝BM，
∴O1M
故选B ． 【点睛】
本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键． 8、C 【分析】
过点P 作PM AB ⊥交于点M ，由菱形ABCD 得60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==，由PA PB =，120APB ∠=︒得112AM AB =
=，1
602
APM APB ∠=∠=︒，故可得30PAM ∠=︒，
603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒，根据SAS 证明ABP ADP ≅，求出PM =
ABP
ADP
ABD S S S
S
=--阴扇形．
【详解】
如图，过点P 作PM AB ⊥交于点M ， ∵四边形ABCD 是菱形，
∴60DAB C ∠=∠=︒，2AB AD ==， ∵PA PB =，120APB ∠=︒， ∴112AM AB =
=，1
602
APM APB ∠=∠=︒， ∴30PAM ∠=︒，603030PAD DAB PAM ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 在ABP △与ADP △中，
AB AD PAB PAD AP AP =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ABP ADP SAS ≅， ∴ABP ADP S S =△△，
在Rt AMP △中，30PAM ∠=︒， ∴2AP PM =，
222AP PM AM =+，即2241PM PM =+，
解得：PM =
∴260211222360223ABP ADP
ABD S S S S
ππ⋅=--=-⨯⨯=阴扇形 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
9、B 【分析】
连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，可得△AO 2O 1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】
解：连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，
∵O 1B = O 1A
∴112112
O AB O BA AO O ∠=∠=∠ ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆， ∴AO 1=O 1O 2=AO 2，
∴△AO 2O 1是等边三角形， ∴∠AO 2O 1=60°，
∴∠O 1AB =1
2∠AO 2O 11602
=⨯︒ =30°．
故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO 2O 1是等边三角形是解题关键． 10、B 【分析】
连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度． 【详解】
解：连接OC ，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴11842
2
CE CD ==⨯=，
∵5AO CO ==，
∴3OE ， ∴532AE =-=； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =． 二、填空题
1、43
π【分析】
如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,F AOC △是等边三角形，求解3,CF 证明,60,AC OC DAC
ACO 再证明,ACD OCE ASA ≌ 可得AOC
AOB
S S S
阴影
扇形，再计算即可得
到答案. 【详解】
解：如图，连接,,OC AC 过C 作CF OA ⊥于,F
C 是AB 的中点，120,AOB ∠=︒
1
60,2
AOC BOC
AOB ,AO CO
AOC ∴是等边三角形， ,60,AC OC OAC ACO
60,DAC EOC ,2,CF
AO AO CO
1
1,2
AF
OF
AO 2222213,CF OC OF
60,DCE ,DCE
OCD
ACO
OCD
,ACD OCE ∴∠=∠ 而60,,DAC
EOC AC OC
,ACD OCE ASA ≌
,DOC
OEC
AOC
DCEO
S S
S
S
四边形
AOC
AOB
S S S
阴影扇形
2
120
214233360
2
3
故答案为：43
π
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握“利用转化的思想求解阴影部分的面积”是解本题的关键. 2、六
设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则︒⋅=︒，由此即可得到答案．
n
60360
【详解】
解：设这个正多边形的边数为n，
∵正多边形的半径与边长相等，
∴OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴60360
︒⋅=︒，
n
n=，
∴6
∴正多边形的边数是六，
故答案为：六．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
3、15
【分析】
根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．
解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O ，连接OA ，OB ，
∵∠ADB ＝12°， ∴∠AOB ＝2∠ADB ＝24°， 而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形， 故答案为：15． 【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．
43-## 【分析】
连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，由题可知H 点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小；求出8BD =，在Rt BED 中，
BE =3BH ，即为所求．
【详解】
解：连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，
DH AC ⊥，
H ∴点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，
当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小， AB 是直径，
90BDA ∴∠=︒，
10AB =，6AD =，
8BD ∴=，3DE =，
在Rt BED 中，
BE =
3BH BE EH ∴=-，
3．
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定H 点的运动轨迹． 5、60
【分析】
先根据圆的切线的性质可得90OAP ∠=︒，从而可得60PAB ∠=︒，再根据切线长定理可得PA PB =，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．
【详解】
解：,PA PB 是O 的切线，
,PA PB OA AP ∴=⊥，
90OAP ∴∠=︒，
30OAB ∠=︒，
60PAB OAP OAB ∴∠∠=∠-=︒，
PAB ∴是等边三角形，
60APB ∴∠=︒，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
三、解答题
1、
（1）1-
（2）43-
（3）K 【分析】
（1）先求得,A B ,C 点的坐标，进而根据OB OC =即可求得a 的值；
（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，证明BCD △是直角三角形，进而BCD BEP ∽，根据相似的性质列出比例式进而代入点P 的坐标解方程即可；
（3）接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,根据题意，点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得AD 的解析式为2233y x =+，根据AM DK ∥,设直线DK 的解析式为23y x b =+，将点D 代入求得b ，进而设210(,)33
K m m +，根据2DK =，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．
（1）
223y ax ax a =--()()2(23)31a x x a x x =--=-+
令0y =，解得121,3x x =-=
令0x =，3y a =-
抛物线223y ax ax a =--（a 为常数，0a <）与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，
∴抛物线与x 轴的交点为(1,0),(3,0)A B -(0,3)C a -
3OB ∴=
OB OC =
3OC ∴=
(0,3)C ∴
33a ∴-=
解得1a =-
（2）
如图，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，
2223(1)4y x x x =-++=--+
(1,4)D ∴
()()3,0,3,0B C
CD BC BD ∴====22220,20CD BC BD ∴+==
222CD BC BD ∴+=
BCD ∴△是直角三角形，且90BCD ∠=︒
PE AB ⊥
90PEB PCD ∴∠=∠=︒ 又PBA CBD ∠=∠
BCD BEP ∴∽
CD BC PE BE
∴= ()P m n ,在抛物线2y x 2x 3=-++上，
223n m m =-++∴
223,3PE n m m BE m ∴=-=--=-
=整理得()()3430m m +-= 解得124
,33m m =-=（舍）
()P m n ,在第三象限，
0m ∴<
43
m ∴=- （3）
如图，连接BD ，取BD 的中点Q ，连接QM ,
QM ∴是BDK 的中位线
112
QM DK ∴== 根据题意点K 在以D 为圆心，2为半径的圆上，
则M 在以Q 为圆心，1为半径的圆上运动，
当,,A Q M 三点共线，且M 在AQ 的延长线上时，AM 最大，如图，
(3,0),(1,4)B D
1340(,)22
Q ++∴即()2,2Q (1,0),(2,2)A Q -
设直线AM 的解析式为y kx d =+，代入点(1,0),(2,2)A Q -，
即022k d k d
=-+⎧⎨=+⎩ 解得2323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线AM 的解析式为2233
y x =+ DK QM ∥
设直线DK 的解析式为23
y x b =
+ (1,4)D
243b ∴=+ 解得103
b = 则DK 的解析式为21033y x =
+ 设点2
10(,)33
K m m +()0m >， (1,4)D ，2DK =
()22
221014233m m ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭
解得12m m ==
m ∴=
21033m ∴+=21033+=
K ∴ 【点睛】
本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．
2、【分析】
连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．利用勾股定理构建方程解决问题即可．
【详解】
解：连接AC ，CM ，AB ，过点C 作CH ⊥OA 于H ，设OC =a ．
∵∠AOB =90°，
∴AB 是直径，
∵A （-4，0），B （0，2），
∴
AB ∴
∵∠AMC =2∠AOC =120°，
AC =∴=
在Rt △COH 中，1
cos 60,2OH OC a CH ︒=⋅===
， 142
AH a ∴=-， 在Rt △ACH 中，AC 2=AH 2+CH 2，
∴221
15(4))2a =-+，
∴a 或OC ＞OB ，所以，
∴OC
故答案为：
【点睛】
本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3、（1）见解析；（2）35BAC ∠=︒；（3）2=3
OCP COB S S S -=△阴影扇形π． 【分析】
（1）通过已知条件可知+90DAE DEA ∠∠=︒，+90ABF BAF ∠∠=︒，再通过同角的补交相等证得DEA ABF ∠=∠，即可得到答案；
（2）利用//OC AD ，得35ACO DAC ∠=∠=︒，再通过OA =OC ，得35=A BAC CO ∠=︒∠；
（3）现在Rt OCP △中，利用勾股定理求得半径r =2，再通过tan OC OPC CP ∠==30OPC ∠=︒，即可求得9060COP OPC ∠=︒-∠=︒，那么=OCP COB S S S -△阴影扇形，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接BF
∵AD ⊥m
∴+90DAE DEA ∠∠=︒
∵AB 是⊙O 的直径
∴90AFB ∠=︒
∴+90ABF BAF ∠∠=︒
∵+180DEA AEF ∠∠=︒，+180ABF AEF ∠∠=︒
∴DEA ABF ∠=∠
∴∠DAE =∠BAF
（2）连接OC
∵直线m 与⊙O 相切于点C ∴OC DP ⊥
∵AD ⊥m
∴//OC AD
∴35ACO DAC ∠=∠=︒ ∵OA =OC
∴35=A BAC CO ∠=︒∠
（3）连接OC
∵直线m 与⊙O 相切于点C ∴90OCP ∠=︒ 设半径OC =OB =r 在Rt OCP △中，222OC CP OP +=则：()222OC CP OB BP +=+
∴(()22
22r r +=+ 解得：r =2，即OC =r =2
∴tan
OC OPC CP ∠=
= ∴30OPC ∠=︒
∴9060COP OPC ∠=︒-∠=︒
∴21602=23603
OCP COB S S S OC CP r -=⋅-⋅=△阴影扇形ππ． 【点睛】
本题考查了圆切线、内接四边形的性质，以及解直角三角形的应用，扇形面积求法，解答此题的关键是掌握圆的性质．
4、（1）35°；（2）α；（3）92
【分析】
（1）连结AD ，BC ，可得70ACD ∠=︒，再由C 为弧ABD 中点，可得到AC DC =．从而得到55ABC ADC ∠=∠=︒，再由AB 为圆O 直径，得到90ADB ∠=︒ ，即可求解；
（2）连BC ，可得ABC ADC CAD α∠=∠=∠=，从而得到90CAB α∠=︒-，再由CE AB ⊥，即可求解；
（3）连接CO 并延长交AD 于F ，由垂径定理推论，可得CF AD ⊥，1122
FD AF AD ===．再由（2）ACE CAD ∠=∠，AE CE =，从而得到AH CF =，进而得到13CO AO == ，再由勾股定理可得
2468AC =，再由ACE ADC △△∽．可得2AC AE AD =⨯，解得392
AE =，即可求解． 【详解】
解：（1）连结AD ，BC ，
∵70ABD ∠=︒，
∴70ACD ∠=︒，
∵C 为弧ABD 中点，
∴AC DC = ，
∴AC DC =．
∴55ABC ADC ∠=∠=︒，
∵AB 为圆O 直径，
∴90ADB ∠=︒ ，
∴905535CDB ADB ADC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ；
（2）连BC ，
∵点C 为弧ABD 中点，
∴AC DC = ，
∴ABC ADC CAD α∠=∠=∠=，
∵AB 为直径，
∴90ACB ∠=︒，
∴90CAB α∠=︒-，
又∵CE AB ⊥，
∴90AHC ∠=︒ ，
∴90ACE CAB α∠=︒-∠=；
（3）连接CO 并延长交AD 于F ，
∵C 为弧ABD 中点，
∴CF AD ⊥，1122
FD AF AD ===． 由（2）ACE CAD ∠=∠，
∴AE CE =， 由∵1122
CE AH AE CF ⨯=⨯， ∴AH CF =，
∵AO CO =，
∴5OH OF ==，
∴13AO ．
∴13CO AO == ，
∴18CF CO OF =+= ,
∴222221812468AC AF CF =+=+=
∵ACE ADC ∠=∠，CAD CAE ∠=∠，
∴ACE ADC △△∽
．
∴AC AE AD AC
= ， ∴2AC AE AD =⨯，即24468AE =， ∴392
AE =， ∴3992422DE AD AE =-=-
=． 【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）6GC =，2511
OF =
【分析】
（1）连接OC ，由已知可得∠OCB ＋∠BCD ＝90°，进而根据∠BCP ＝∠BCD ，等量代换可得∠OCB ＋∠BCP ＝90°，即可证明CP 是⊙O 的切线；
（2）证明OE 为△DCG 的中位线，由AO GC ∥，证明△GCF ∽△OAF ，进而列出比例式代入数值进行计算即可．
【详解】
（1）证明：连接OC
∵OB ＝OC ，
∴∠OBC ＝∠OCB
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB＝90° ∴∠OBC＋∠BCD＝90° ∴∠OCB＋∠BCD＝90° ∵∠BCP＝∠BCD，
∴∠OCB＋∠BCP＝90° ∴OC⊥CP
∴CP是⊙O的切线
（2）∵AB⊥CD于点E，∴E为CD中点
∵O为GD中点，
∴OE为△DCG的中位线∴GC＝2OE＝6，OE GC
∥
∵AO GC
∥
∴△GCF∽△OAF
∴GC GF OA OF
=
即6
5
GF
OF =
∵GF＋OF＝5，
∴OF＝25 11
【点睛】
本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．。