2016-2017学年高中数学人教B版选修4-4学业分层测评 第

学业分层测评(七)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.曲线C ：⎩⎨⎧
x ＝3cos φ
y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )
A.2
3 B.35 C.32
D.53
【解析】 由题设，得x 29＋y 2
5＝1， ∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4， 因此e ＝c a ＝2
3. 【答案】 A
2.参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝sin α2＋cos α2
y ＝2＋sin α(α为参数)的普通方程是( )
A.y 2－x 2＝1
B.x 2－y 2＝1
C.y 2－x 2＝1(|x |≤2)
D.x 2－y 2＝1(|x |≤2)
【解析】 因为x 2＝1＋sin α， 所以sin α＝x 2－1.
又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.
∵x ＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2＋π4，
故x ∈[－2，2].
∴普通方程为y 2－x 2＝1，x ∈[－2，2]. 【答案】 C
3.点P (1,0)到曲线⎩⎨⎧
x ＝t
2
y ＝2t
(参数t ∈R )上的点的最短距离为( )
A.0
B.1
C. 2
D.2
【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， ∴t 2≥0，d 2≥1，d min ＝1. 【答案】 B
4.已知曲线⎩⎨⎧
x ＝3cos θ
y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO
的倾斜角为π
4，则P 点的坐标是( )
A.(3,4)
B.(32
2，22) C.(－3，－4)
D.(125，125)
【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，则sin θ＝35，cos θ＝4
5， ∴x ＝3×cos θ＝3×45＝12
5， y ＝4sin θ＝4×35＝12
5， 因此点P 的坐标为(125，12
5). 【答案】 D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧
x ＝2cos t
y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t
＝π
3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________.
【解析】
点M 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos π
3＝1，
y ＝4sin π
3＝2 3.
直线OM 的斜率k ＝23
1＝2 3. 【答案】 2 3
6.抛物线方程为⎩⎨⎧
x ＝－4t 2
＋1
y ＝4t
(t 为参数)，则它在y 轴正半轴上的截距是
________.
【导学号：62790013】
【解析】 当x ＝0时，－4t 2＋1＝0，t ＝±
1
2， ∴在y 轴的正半轴上的截距是4×1
2＝2. 【答案】 2
三、解答题(每小题10分，共30分)
7.如图2-3-1所示，连接原点O 和抛物线y ＝1
2x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2-3-1
【解】 抛物线标准方程为x 2
＝2y ，其参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2t ，y ＝2t 2
.
得M (2t,2t 2
). 设P (x ，y )，则M 是OP 中点. ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，
∴⎩⎨⎧
x ＝4t
y ＝4t
2(t 为参数)， 消去t 得y ＝1
4x 2，是以y 轴为对称轴，焦点为(0,1)的抛物线.
8.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝3cos α，
y ＝sin α(α为参数).
以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标
方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝2 2.
(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2
＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).
因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2
＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π
6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12.
9.如图2-3-2所示，求椭圆x 225＋y 216＝1的内接矩形的最大面积是多少？
图2-3-2
【解】 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝5cos t ，
y ＝4sin t .
设内接矩形在第一象限内的一个顶点为M (x ，y )，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为
S ＝4xy ＝4·5cos t ·4sin t ＝40sin 2t . 当t ＝π
4时，面积S 取得最大值40，此时
x ＝5cos π4＝522，y ＝4sin π
4＝2 2.
因此，矩形在第一象限的顶点为(5
22，22)时，内接矩形的面积最大，为40.。