高中数学人教B版必修4课时作业：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义 Word版含解析

2.3 平面向量的数量积
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
【选题明细表】
1.下列说法:
①作用于物体上一力f在物体前进方向上的分力的数量与物体位移距离的乘积才是力f做的功;
②<a,b>=<b,a>;
③零向量与任一向量垂直;
④向量a和b的数量积是一个正实数.
其中正确的有( D )
(A)0个(B)1个(C)2个 (D)3个
解析:①力f做的功W=f·s=|f||s|cos θ(θ为力f与位移s的夹角)即为分力的数量与位移距离的乘积.
②正确.
③零向量方向是任意的,可看作与任一向量平行或垂直.
④向量数量积为实数,不一定为正实数.
综上所述,①②③正确,
故选D.
2.已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b的夹角为( C )
(B)
解析:因为cos<a,b>===-,且<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=
故选C.
3.(2017·邯郸临漳一中期末统考)在△ABC中,AB=5,BC=2,∠B=60°,
则( D )
(A)5 (B)5 (C)-5 (D)-5
解析:在△ABC中,AB=5,BC=2,∠B=60°,
则·π-∠B)=-5×2×故选D.
4.已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为( C )
①|a·b|=|a||b|⇔a∥b;
②a,b反向⇔a·b=-|a||b|;
③a⊥b⇔|a+b|=|a-b|;
④|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为a·b=|a|·|b|cos<a,b>,
所以|a·b|=|a||b|⇔|cos<a,b>|=1⇔<a,b>=0或π⇔a∥b.
a,b反向⇔<a,b>=π⇔a·b=-|a||b|,故命题①②是真命题.
③中a⊥b⇔以向量a,b为邻边的平行四边形为矩形⇔|a+b|=|a-b|.因此命题③是真命题.
④中当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,|a·c|≠|b·c|,反过来,由|a·c|=|b·c|,也推不出|a|=|b|,故命题④是假命题.
故选C.
5.(2017·临沂罗庄区期末统考)平面四边形ABCD中
则四边形ABCD是( C )
(A)矩形(B)正方形
(C)菱形(D)梯形
解析:
所以
所以四边形ABCD为平行四边形,
又
所以
所以
所以DB⊥AC,
所以平行四边形ABCD为菱形.
6.给出下列命题:
①在△ABC中,若·则△ABC是锐角三角形;
②在△ABC中,若·则△ABC是钝角三角形;
③△ABC是直角三角形
其中,正确命题的序号是.
解析:·
所以=-
所以∠B是锐角,但并不能断定其余的两个角也是锐角.
所以推不出△ABC是锐角三角形.
故命题①是假命题.
②因为
所以=-
∠B是钝角,因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.
③△ABC是直角三角形,则直角可以是∠A,也可以是∠B,∠C.
而仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.
答案:②
7.已知|m|=4,n在m方向上的正射影的数量为-2,则m·n等于( A )
(A)-8 (B)8 (C)4 (D)-4
解析:n在m方向上的正射影的数量为|n|cos<m,n>,
所以|n|cos<m,n>=-2,
所以m·n=|m||n|cos<m,n>=4×(-2)=-8.故选A.
8.E,F,G,H分别是四边形ABCD所在边的中点,若·
则四边形EFGH是( D )
(A)梯形(B)正方形(C)菱形(D)矩形
解析:如图,连AC,BD,则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,
所以GF∥EH,
所以四边形EFGH是平行四边形,
又·
即
所以即AC⊥BD,
所以EF⊥GF,
所以四边形EFGH是矩形.
故选D.
9.(2017·黄冈中学期中考试)已知i与j为互相垂直的单位向量,向量a=i-2j,向量b=i+λj且向量a与向量b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( A )
(A)(-∞,-2)∪
(B)(∞)
∪∞)
(D)(-∞
解析:因为<a,b>是锐角,
所以a·b>0且a与b不同向,
a·b=(i-2j)·(i+λj)
=i2-2λj2=1-2λ>0,
所以λ
当λ=-2时,a=b=i-2j,
则a与b同向,所以λ≠-2,
总之λλ≠-2.故选A.
10.已知a·b=20,|a|=5,求b在a方向上的正射影的数量大小.
解:设a,b的夹角为θ,则b在a方向上的正射影的数量就是|b|
cos θ,因为|a||b|cos θ=a·b=20,所以|b|cos θ即b
在a方向上的正射影的数量是4.
11.平面四边形ABCD中且a·b=b·c =c·d=d·a,试问四边形ABCD的形状如何?
解:由题意得AB·BC·cos(π-B)=BC·CD·cos(π-C)=CD·DA·cos (π-D)=DA·AB·cos(π-A),
所以
若cos B>0,
则cos C>0,cos D>0,cos A>0,
即角A,B,C,D均为锐角,与A+B+C+D=360°矛盾,
若cos B<0,
则cos C<0,cos D<0,cos A<0,
即角A,B,C,D均为钝角,也与A+B+C+D=360°矛盾,故cos B=0, 所以A=B=C=D=90°,
所以四边形ABCD为矩形.。