高中数学 专题2.1 曲线与方程(1)教案 新人教A版选修21

曲线与方程（1）
【教学目标】
(1) 知识目标：①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；②初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；③学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

(2) 能力目标：①通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；②在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；③能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

(3) 情感目标：①通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；②通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；③学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

【重点难点】
1.教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．
2.教学难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．【教学过程】
☆情境引入☆
11月7日8时34分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动，成功进入经过月球南北两极，轨道周期127分钟的圆轨道。

通过3次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约848米每秒，从近月点高度212公里、远月点高度8617公里的椭圆轨道调整为轨道高度约为200公里的圆形轨道.
☆探索新知☆
直线与方程的关系
设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.
思考1:曲线C上的点有什么几何特征？
到两坐标轴的距离相等.
思考2:如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点，则x0，y0应满足什么关系？
x0＝y0
思考3: x0＝y0可以认为是点M的坐标是方程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐标都是方程x－y＝0的解吗？
都是
思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解，那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？
一定在
思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？
都是 不一定在
思考6:曲线C 上的点的坐标都是方程 的解吗？以方程的解为坐标的点都在曲线C
上吗？
不都是 都在 圆与方程的关系
设曲线C 表示直角坐标系中以点（1，2）为圆心，3为半径的圆. 思考1:曲线C 上的点有什么几何特征？ 与圆心的距离等于3.
思考2:如果点M （x 0，y 0）是曲线C 上任意一点，则x 0，y 0应满足什么关系？ (x 0－1)2
＋(y 0－2)2
＝9
思考3: (x 0－1)2
＋(y 0－2)2
＝9可以认为是点M 的坐标是方程(x －1)2
＋(y －2)2
＝9的解，那么曲线C 上的点的坐标都是方程(x －1)2
＋(y －2)2
＝9的解吗？ 都是
思考4: 如果x 0，y 0是方程(x －1)2
＋(y －2)2
＝9的解，那么点M （x 0，y 0）一定在曲线C 上吗？ 都在
思考5:曲线C 上的点的坐标都是方程的解吗？以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上
吗？ 不都是 都在 曲线与方程的概念
思考1: 在直角坐标系中，若曲线C 表示平分第一、三象限的直线，则方程x －y ＝0叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做方程x －y ＝0的曲线.那么，过原点且平分第一象限的射线的方程是什么？ x －y ＝0（0,0≥≥y x ）
思考2: 在直角坐标系中，若曲线C 表示以点（1，2）为圆心，3为半径的圆，则方程(x －1)2
＋(y －2)2
＝9叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做该方程的曲线，那么，方程(x －1)2
＋(y －2)2
＝9（x ≤1）的曲线是什么？
以点（1，2）为圆心，3为半径的左半圆
思考3:一般地，对于曲线C 和方程f(x ，y)＝0，在什么条件下，该方程是曲线C 的方程？同时曲线C 是该方程的曲线？
（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f(x ，y)＝0的解； （2）以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上. 定义:
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 说明:
1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.
2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 由曲线的方程的定义可知:
如果曲线C 的方程是 f(x,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y 0)在曲线C 上的充要条件是 f(x 0, y 0)=0 题型一 曲线与方程的概念
例1 (1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A.曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B.凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0
D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；
解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5. ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系.
题型二 由方程判断其表示的曲线
例2 方程(2x ＋3y －5)( x －3－1)＝0表示的曲线是什么？
解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨
⎪
⎧
2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，
或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝
0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)一条直线x ＝4. 题型三 曲线与方程关系的应用
例3 若曲线y 2
－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R)，求k 的取值范围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2
＋a 2
＋2a ＋k ＝0.
∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋0.5)2
＋0.5. ∴k ≤0.5，∴k 的取值范围是(－∞，0.5]. ☆课堂提高☆
1.“点M 在曲线y 2
＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2 ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 解析 ∵y ＝－2
≤0，而y 2
＝4x 中y 可正可负，
∴点M 在曲线y 2
＝4x 上时，点M 不一定在y ＝－2 上.
反之，点M 在y ＝－2
上时，点M 一定在y 2
＝4x 上.
2.方程(x 2
－4)2
＋(y 2
－4)2
＝0表示的图形是( ) A.两个点 B.四个点 C.两条直线
D.四条直线
解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
－4＝0，
y 2
－4＝0，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝±2，
y ＝±2
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，
y ＝2
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，
y ＝－2.
选B.
3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )
4.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2
＋y 2
＝3上，则α的值为( ) A.π
3
B.5π3
C.
π3或5π3
D.π3或π
6
解析 由(cos α－2)2＋sin 2
α＝3，得cos α＝12.
又0≤α<2π，∴α＝
π3或α＝5π3
.
☆课堂小结☆
1. “曲线的方程”和“方程的曲线”的定义:
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.
2.曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。

☆课后作业☆
习题Ａ组第1、2、3题。