数学建模 城市交通非常规突发事件的应急资源调度最优路径研究

一、引言
最短路径问题是运筹学和计算机科学的经典问题之一，在交通运输、供应链设计、应急管理、通信网路由、项目运筹管理以及智力游戏设计等领域都有着广泛的应用。

国内外大量的学者专家对此问题进行了深入的研究，经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构相结合，涌现出许多优秀的新的最短路径算法。

由于问题特征、求解技术和网络特征的纷繁复杂，最短路径算法也呈现出其多样性。

单目标下的最优路径选择研究的较为成熟，主要是基于时间最短来考虑的。

但是，在应对突发事件时，往往也需要考虑成本、风险、安全性等因素，这就拓展出多目标的最优路径。

许多学者致力于确定条件下最优路径问题的算法研究，Guerriero 等（2001）用改进的
LC 方法求得多目标最优路径。

Ombuki 等（2006）用遗
传算法解决了有时间窗限制的多目标车辆路径问题。

陈挚等（2002）将运输费用、运输时间、运输里程，作为选择供应线路时考虑的主要目标，分别求出最优值，然后利用AHP 层次分析法，确定各因素的权重，最终建立多目标线路的最优选择模型。

郝光等（2007）提出了综合-最短路径算法和多目标格序决策方法的多项式算法。

针对现有基于遗传算法（GA ）优化的网络最短路径算法的不足，阎啸天等（2009）建立一种多目标最优路径的自适应GA 模型，提出了优先级编码和优先级索引交叉算子，引入了遗传算子参数的模糊控制机制和基于自适应加权的适应度分配方法。

针对城市交通突发事件的应急资源调度问题，在现有研究基础上，本文在时间效率为第一要务的
前提下，考虑路径费用尽可能小问题。

研究在时间确定的条件下，出救点到事发点的多目标最优路径选择问题，并采用改进的蚁群算法对问题进行求解。

二、问题描述
对于城市的交通路网而言，可以将其简化为图论中的赋权图G （或有向图，当存在单行道等情况时），所有路的端点或者路和路的交叉点用顶点集V （G ）表示，相应的路用边集E （G ）来表示，边e ∈E （G ）上的权重集W （G ）｜（w 1，w 2）表示通过这条路所需的时间w 1和费用w 2。

那么，该问题就化解为从出救点到事发点的最优路径P ，使得
W 1（P *）=min （P
Σw 1），W 2（P *）=min （P
Σw 2）
对于这类多目标问题的求解，假设F （x ）为整个问题的目标函数，且F （x ）越小越好，则问题通常存在以下三类解（阳明盛等，2006）：
（一）绝对最优解
设x *∈Ω，如果对于x ∈Ω都有F （x *）≤F （x ），则称x *为多目标的绝对最优解。

（二）有效解
设x *∈Ω，如果不存在x ∈Ω使F （x *）≥F （x ），则称x *为多目标的有效解。

（三）弱有效解
设x *∈Ω，如果不存在x ∈Ω使F （x *）＞F （x ），则称x *为多目标的弱有效解。

因此，对于多目标的资源调度问题首先需要求解出该问题的绝对最优解、有效解或弱有效解。

在确定条件下，即城市交通网络G 中的两个权
收稿日期：2010-05-09
基金项目：国家自然科学基金资助项目（70671025）；教育部人文社科研究资助项目(09YJA630021);江苏省自然科学资助项目（BK2009290）；江苏省交通科学研究计划资助项目（09R12）.
作者简介：赵惠良（1964—），男，博士研究生。

E-mail ：lsw112488@
城市交通非常规突发事件的应急资源调度最优路径研究
赵惠良，刘建平，刘向东
（东南大学
经济管理学院，南京211189）
摘
要：针对城市交通非常规突发事件，在“出救点”和“应急点”已知情况下，研究了多目标下应急资源调度的最优路
径问题。

对问题进行了描述，建立了时间最短、费用最小的应急资源调度最优路径选择优化模型，将蚁群算法进行改进，结合改进的TOPSIS 法求解最优方案，给出了仿真算例。

关键词：资源调度；最优路径；蚁群算法中图分类号：F224.7；U298.6
文献标识码：A
文章编号：1009-3370（2010）06-0065-04
第12卷第6期北京理工大学学报（社会科学版）
Vol.12No.62010年12月
JOURNAL OF BEIJING INSTITUTE OF TECHNOLOGY （SOCIAL SCIENCES EDITION ）
Dec.2010
重w1和w2都是定常数。

本文采用改进蚁群算法对确定条件下的资源调度协调问题进行求解。

三、蚁群算法的改进
标准的蚁群算法主要是解决TSP（旅行商问题）的，在此基础上许多学者将其进行改进，使其适用于VRP（车辆路径问题）。

这两类问题的相同之处在于旅行商或车辆在网络中的某一点出发，最后又回到该点；不同之处在于，旅行商需要经过网络的所有节点，而车辆只需要到达固定的几个客户点。

而资源调度问题只考虑运载工具从出救点到事发点的调度问题，如何从事发点回到出救点不在该问题的讨论范围之内。

因此本文从以下几个方面对蚁群算法进行改进，使该算法适合多目标的资源调度问题。

（一）蚂蚁可行集的设置
蚂蚁可行集是指蚂蚁下一步所有可以行径的节点。

若蚂蚁k在节点i处时，则定义该蚂蚁的可行集为N k（i），它是节点i的所有后继节点集合。

设集合P o k（i）为蚂蚁k关于目标o（时间或费用）到达i点时的行走路径，那么N k（i）={j｜（i，j）∈E，j埸P o k（i）}。

（二）蚂蚁死亡
当蚂蚁k到达节点i处时，N k（i）=Φ并且目标节点不在P o k（i）中，则宣布蚂蚁k死亡。

（三）状态转移概率
在TSP问题中，m只蚂蚁分散地放置于n个节点上。

如果在同一个节点上至少有两只蚂蚁，并且采用全局更新的Ant Cycle模型时，这个节点上每只蚂蚁按照基本蚁群算法的思想（最大状态转移概率）进行路径选择所得结果是完全一样的。

这种情况并不是本文想要得到的。

因此，本文采用蒙特卡罗（Monte Carlo）方法来模拟蚂蚁的状态转移概率。

（四）限定信息素的上限
如果蚁群算法在一段时间内获得的最优解没有改进，则说明蚁群已经陷入某一极值情况，这有可能是局部最优解。

这种现象称为蚁群算法的早熟现象。

本文采用限定信息素上限的方式以及信息素随时间衰减的因素，使蚁群跳出局部最优解的困境。

四、最优路径选择模型的建立
考虑到调度模型中时间和费用两个目标，首先设定2个蚂蚁群，时间蚂蚁群和费用蚂蚁群，每个蚂蚁群有m只蚂蚁。

若某个蚂蚁群中的某只蚂蚁k从出救点s出发到达事发点d则形成了一条路径P o k
（d）。

令objok=Σ
（i，j）∈P w
k （d）
w o
ij
表示蚂蚁k从出救点移动到
事发点时目标o的数值大小。

在给出多目标资源调度模型的蚁群算法之前，首先对以下符号进行定义：
o=目标，取值为1或2，表示时间或费用；
m=蚂蚁个数；
s=出救点；
d=事件爆发点；
N k=蚂蚁k当前的可行集；
NC max=蚁群算法循环最大次数；
P o k=以目标O为的蚁群中蚂蚁k的行走路径；
w o ij=目标O的边弧（i，j）权重；
n o ij=对于目标O而言，边弧（i，j）的能见度（visibility），即1/w o ij；
τij=边弧（i，j）的轨迹强度（intensity）；
Δτok ij=在蚂蚁群O中的蚂蚁k于边弧（i，j）上留下的单位长度轨迹信息素数量；
本文采用Ant Cycle模型来表示Δτok ij
Δτok ij=
Q/Obj o
k
若（i，j）在蚁群o的蚂蚁k所经过的路径上
0其
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
他
式中，Q表示蚂蚁所留的信息素大小，为一个常数。

由此可以得到轨迹强度更新的方法
τij new=ρτij old+
2
o=1
Σm
k=1
ΣΔτok ij
式中，ρ表示轨迹的持久度。

PR ok ij=蚁群o中的蚂蚁k向节点j的转移概率。

PR ok
ij
=
[τ
ij
]α×[ηo
ij
]β
Σ
e∈N k（i）
[τ
ie
]α×[ηo
ie
]β
j∈N k（i）
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ0
式中，α是轨迹强度的相对重要性；β是能见度的相对重要性。

根据以上的定义，考虑到应急调度中时间因数的重要性，设计算法时让以时间为目标的蚂蚁群先走。

因此设计算法如下：
输入参数：α，β，ρ，m，Q，s，d，NC max
Step1.初始化参数nc=1；
Step2.若nc>NC max转步骤8；否则，令nc←nc+ 1，P o k＝{s}，o←1，k←1转Step3；
Step3.若o>2，更新信息素，转步骤2；否则令o←o+1，转Step4；
Step4.若k＞m，根据m次循环后得到的所有目标函数值更新解集，转Step3；否则令k←k+1，转Step5；
Step5.根据P o k和w o ij更新集合N k。

若N k=Φ，宣布蚂蚁k死亡，转Step4；否则转Step6；
Step6.根据PR ok ij和蒙特卡洛方法在集合N k中选中节点i；
北京理工大学学报（社会科学版）2010年第6期
Step7.令P o k←P o k∪{i}。

若i=d，记录当前解，并计算当前解的目标函数值，转Step4；否则转Step5；
Step8.删除解集中的劣势解，输出解集；算法结束。

经过蚁群算法的计算如果得到的是绝对最优解和有效解时，那么资源调度多目标问题的解是没有疑议的。

然而，在大多数情况下，该问题往往只存在弱有效解。

本节采用改进的TOPSIS方法确定最优方
案（张先起等，2006）。

五、仿真算例
设城市交通网络如图1所示。

其中，V1，V15分别为出救点和事发点。

由此可以得到应急网络的时间t和费用C的邻
接矩阵见表1和表3。

根据本文提供的算法采用matlab软件进行仿真
分析，并假设1为出救点，15为事发点。

参数设置如
下：m=60，NC max=50，α=0.5，β=1，ρ=0.9。

图1城市交通网络
Á
V
Â
V
Ã
V
Ä
V
Å
V
Æ
V
Ç
Ç
V
È
V
É
V
Ç
Á
V
Ç
V
Ç
Ã
V
Ç
Â
V
Ç
Ä
V
(29,21)
(41,33)
(15,18)
(18,12)
(8,9)(21,23)(32,28)
(32,29)
(23,21)
(16,14)
(12,12)
(41,38)
(25,10)
(33,30)
(17,14)
(29,23)
(28,20)
(10,24)
(9,11)
(12,6)
(16,20)
(11,13)
(7,20)(27,25)
(43,18)(9,11)
(14,9)
(14,12)
(21,8)
(14,11)
(37,26)
表1关于时间的邻接矩阵
t123456789101112131415 10294115inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 229018inf816inf inf inf inf inf inf inf inf inf 3411807inf11inf inf inf inf inf inf inf inf inf 415inf70inf27inf inf43inf inf inf inf inf inf 5inf8inf inf01221inf inf inf inf inf inf inf inf 6inf161127120109inf inf inf inf inf inf inf 7inf inf inf inf2110028inf17inf32inf inf inf 8inf inf inf inf inf9280142914inf inf inf inf 9inf inf inf43inf inf inf140inf9inf inf inf inf 10inf inf inf inf inf inf1729inf021253314inf 11inf inf inf inf inf inf inf149210inf inf37inf 12inf inf inf inf inf inf32inf inf25inf023inf32 13inf inf inf inf inf inf inf inf inf33inf2301216 14inf inf inf inf inf inf inf inf inf1437inf12041 15inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf3216410
表3关于费用的邻接矩阵
C123456789101112131415 10213318inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 221012inf920inf inf inf inf inf inf inf inf inf 33312020inf13inf inf inf inf inf inf inf inf inf 418inf200inf25inf inf18inf inf inf inf inf inf 5inf9inf inf0623inf inf inf inf inf inf inf inf 6inf201325602411inf inf inf inf inf inf inf 7inf inf inf inf2324020inf14inf28inf inf inf 8inf inf inf inf inf1120092312inf inf inf inf 9inf inf inf18inf inf inf90inf11inf inf inf inf 10inf inf inf inf inf inf1423inf08103011inf 11inf inf inf inf inf inf inf121180inf inf26inf 12inf inf inf inf inf inf28inf inf10inf021inf29 13inf inf inf inf inf inf inf inf inf30inf2101214 14inf inf inf inf inf inf inf inf inf1126inf12038 15inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf2914380城市交通非常规突发事件的应急资源调度最优路径研究
表4非劣解集
路径
时间费用
1->4->6->7->10->14->13->151111181->4->3->6->7->10->14->13->151021261->2->5->7->10->14->13->151171041->4->9->11->10->14->13->15130921->2->6->7->10->14->13->15114116
参考文献：
[1]Guerriero F ，Musmanno bel correcting methods to solve multi-criteria shortest path problems [J].Journal of Optimization
Theory and Applications ，2001，111（3）:589-613.
[2]Ombuki B ，Brian J R ，Franklin H.Multi-objective genetic algorithms for vehicle routing problem with time windows[J].Applied Intelligence ，2006，24（1）:1573-1585.
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[6]阳明盛，罗长童.最优化原理，方法及求解软件[M].北京:科学出版社，2006.
[7]张先起，梁川，刘慧卿，等.改进的TOPSIS 模型及其在黄河置换水量分配中的应用[J].四川大学学报:工程科学版，2006，38
（1）：30-33.
Study on the Optimal Path of Resource Attemperment for Urban
Transportation Emergency Events
ZHAO Hui-liang ，LIU Jian-ping ，LIU Xiang-dong
（School of Economics and Management ，Southeast University ，Nanjing 211189）
Abstract ：Targeting urban traffic unconventional emergencies ，under the condition that a “save point ”，and “emergency point ”have been given ，this paper studies the problem of optimal path of emergency resource scheduling under the multi -objectives.It first describes the problem ，and then constructs the optimization model for optimal path selection in emergency resource scheduling of the shortest settling time and minimum cost.Meanwhile ，the optimal program is given by referring to an improved ant colony algorithm together with the improved TOPSIS method.At last ，this paper proposes a simulation example.Key words ：resource scheduling;optimal path;ant colony algorithm
[责任编辑：箫姚]
用改进的蚁群算法算得的非劣解如表4所示。

由此可以得到决策矩阵
X ＝111118102126117
10413092114
111111111111111111111111111111111111
6采用改进的TOPSIS 法，可得（117，104）为最优解，即在该环境下选择路径1->2->5->7->10->14->13->15是最优的。

六、结论
本文考虑在“出救点”和“应急点”已经给出的情形下，研究从出救点到应急点的资源调度的最优路径选择问题。

讨论在城市交通网络上，通过任一道路的时间都为确定的数，建立了“时间最短、费用最少”的最优路径选择优化模型，针对该问题对蚁群算法进行改进，以求解“时间最短”和“费用最少”的非劣方案集，再采用改进型TOPSIS 方法对方案集进行排序，以得到最优方案。

最后的仿真算例验证了该算法的有效性。

北京理工大学学报
（社会科学版）
2010年第6期。