2016届高考数学(理)二轮复习综合练谈考场如何审题—高考审题8环节

审题即弄清题意，是解题的基础，也是正确、迅速解题的前提，要想有效解决问题，关键要过审题关．著名数学教育家波利亚说过：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”事实上，考生常常对此掉以轻心，致使解题失误或陷入繁冗之中．据统计，高考试卷通常控制在2 000个左右的印刷符号，若以每分钟300～400个符号的速度读题审题，约需5～7分钟，考虑到有的题要读两遍以上，仅审题就要约15分钟．能否迅速准确地理解问题，在很大程度上影响和决定了高考成绩的好坏．从这个意义上讲，高考数学谋试在“审”，成试在“审”，一点都不过分．下面从实例出发，就高考数学解题中审题要注意的几个环节综述如下：
逐字逐句，仔细分析是审题的重要策略之一．在数学解题中，经常会出现一些容易看错的或易被忽视的或容易误解的字词，如果麻痹大意，就会导致失误．因此，要善于“斟字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题创造条件．
[例1] (2015·郑州模拟)已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 是1
2
和2的等比中项，c 是1和5的等差中项，则a 的取值范围是________．
[审题] (1)要求a 的取值范围，应建立关于a 的不等式；
(2)由条件“b 是1
2和2的等比中项”和“c 是1和5的等差中项”可分别求出b 和c 的值；
(3)根据△ABC 为锐角三角形，利用余弦定理即可建立关于a 的不等式．但是，题目条件并没有明确a 是否为最大边，故应分类讨论．
[提醒] 本题易误认为a 为最大边，由b 2
＋c 2
－a 2
>0得出结论，从而忽视c 为最大边的情形，掉入漏解陷阱．题目中没有明确a 是否为最大边，由此找到分类的依据．
[解析] 因为b 是1
2和2的等比中项，所以b ＝
1
2
×2＝1； 因为c 是1和5的等差中项，所以c ＝1＋5
2＝3.
又因为△ABC 为锐角三角形，
①当a 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪
⎧12＋32－a 2
>0，a≥3，1＋3>a ，解得3≤a＜10；
②当c 为最大边时，有⎩⎪⎨⎪
⎧12
＋a 2
－32
>0，a ＋1>3，a≤3，解得22＜a≤3.
由①②得22<a<10，所以a 的取值范围是(22，10)． 答案：(22，10) [即时应用]
1．直线l 过点P(5，2)，并且在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的方程为________． [解析] (1)当直线过原点时，方程为2x －5y ＝0；
(2)当直线不过原点时，用直线方程的截距式，设所求方程为x a ＋y
a ＝1，把已知点P(5，2)
的坐标代入方程，得a ＝7.此时所求方程为x 7＋y
7
＝1，即x ＋y －7＝0.
故所求直线方程为2x －5y ＝0和x ＋y －7＝0. 答案：2x －5y ＝0和x ＋y －7＝0
2．已知曲线y ＝13x 3＋4
3
，则过点P(2，4)的切线方程为________．
[解析] 设曲线y ＝13x 3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率
k ＝y′|x＝x 0＝x 2
0，∴切线方程为y －y 0＝x 2
0(x －x 0)，
即y －13x 30－43
＝x 2
0(x －x 0)．
把P(2，4)的坐标代入，即4＝2x 2
0－23x 30＋43，
即x 3
0－3x 2
0＋4＝0， ∴x 3
0＋x 2
0－4x 2
0＋4＝0，
∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2
＝0. 解得x 0＝2或x 0＝－1.
故所求切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 答案：4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0
许多题目都存在关键性的词语，抓住它们就会把握事物的本质属性，找到解题的突破口．因此，审题时，除了熟悉问题的整体背景，注意各个部分之间的区别和联系外，还要特
别注意根据“关键词”展开思维．
[例2] (2015·兰州模拟)李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题，如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB ，对折后(点A 与B 重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(如在第一次操作后，原线段AB 上的14、34均变成1
2，
1
2
变成1等)．那么在线段AB 上(除A ，B)的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是________．
[审题] 本题的关键词是新定义中的“一次操作”，要解决此题，首先要读懂“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度，第一次操作后，在12处为对折点，均匀拉长后12变成1，原线段AB 上的14、34均变成12，这在题目中已有提示．第
二次操作后，在线段12处有两个数14和3
4为对折点，均匀拉长后这两个数都变为1，根据题意，
在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为14和3
4
，这样马上可以得出结论．
[解析] ∵在第一次操作后，原线段AB 上的14、34均变成12，1
2变成1，∴在第二次操作后，
原线段AB 上的14、34均变成1，∴所求点所对应的数之和是14＋3
4
＝1.
答案：1 [即时应用]
1．已知双曲线C ：x 2
－y
2
4
＝1，过点P(1，1)作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则
满足上述条件的直线l 共有________条．
[解析] 当直线l 斜率存在时，令l ：y －1＝k(x －1)，代入x 2
－y 2
4
＝1中整理有(4－k 2)x
2
＋2k(k －1)x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2
＝0，即k ＝±2时，l 和双曲线的渐近线平行，有一个公共点．
当k≠±2时，由Δ＝0，解得k ＝52，即k ＝5
2时，有一个切点．
直线l 斜率不存在时，x ＝1也和曲线C 有一个切点． 综上，共有4条满足条件的直线． 答案：4
2．在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C ，在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于M ，则AM<AC 的概率为________．
[解析] 由于在∠ACB 内任作射线CM ，所以CM 在∠ACB 内等可能分布，如图所示，基本事件的区域应是∠ACB，在线段AB 上取一点C′，使得AC′＝AC ，连接CC′，
故P(AM<AC)＝∠ACC′∠ACB ＝π－
π42π2＝3
4
.
答案：34
有许多数学题，给出的已知条件或结论的形式比较复杂、繁琐．审题时，只要善于对已知或未知进行简化，就会化繁为简找到有效解决问题的方法和途径．
[例3] (2015·太原模拟)已知二次函数f(x)＝ax 2
＋bx ＋c ，其中b>a ，且对任意x∈R 都有f(x)≥0，则M ＝a ＋2b ＋3c
b －a
的最小值为( )
A.
5－232 B.5＋23
2 C.
7－352 D.7＋35
2
[审题] 本题是多元问题，解多元问题的思路是将多元问题转化为二元或一元问题．由条件f(x)≥0恒成立可知⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b 2－4ac≤0，即c≥b 2
4a .从而M ＝a ＋2b ＋3c
b －a ≥a ＋2b ＋3b
2
4a b －a ，故问题转
化为求a ＋2b ＋3b 2
4a b －a 的最小值，可考虑令t ＝b
a ，从而化简并求得a ＋2
b ＋
3b
2
4a b －a 的最小值，即求得问
题的答案．
[解析] 选D 由题意得a>0，b 2
－4ac≤0，即c≥b 2
4a
，
则M ＝a ＋2b ＋3c
b －a ≥a ＋2b ＋3b 24a b －a ＝1＋2·b a ＋34·⎝ ⎛⎭⎪
⎫b a 2
b
a
－1.
令b a ＝t ，则t>1，于是M≥1＋2t ＋34t 2t －1＝34（t －1）2
＋72（t －1）＋
154t －1＝34(t －1)＋154·1
t －1＋72≥352＋72，当且仅当t －1＝5，即b ＝(1＋5)a ，c ＝b 2
4a ＝3＋52
a 时等号成立． 所以M ＝a ＋2
b ＋3
c b －a 的最小值为7＋352.
[即时应用]
1．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋
tan C
tan B 的值是________．
[解析] 由b a ＋a b ＝6cos C ，得b 2＋a 2
＝6abcos C.
根据余弦定理，化简整理得2(a 2
＋b 2
)＝3c 2
， 将tan C tan A ＋tan C
tan B
通过切化弦化简， 得
sin C cos C ·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin Asin B ＝sin C cos C ·sin C
sin Asin B
＝sin 2
C
cos Csin Asin B
.
根据正、余弦定理得sin 2
C cos Csin Asin B ＝c 2
ab·a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2
a 2＋
b 2－
c 2
＝2c
2
32c 2－c
2
＝4. 答案：4
2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2
n ＋1－na 2
n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1，2，3，…)，则它的通项公式a n ＝________．
[解析] 由(n ＋1)a 2
n ＋1－na 2
n ＋a n ＋1a n ＝0，得[(n ＋1)·a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. 又∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即(n ＋1)a n ＋1＝na n .故数列{na n }为常数列． ∴na n ＝a 1＝1，即a n ＝1
n .
答案：1n
审题时，思路不能只停留在原题上，而应积极地将其转换成熟悉和易解的问题．其方法有：把实际问题转换成数学问题，把几何问题转换成代数问题，把代数问题转换成三角问题等，不一而足．因此，我们在审题时，要注意分析题意，善于转换．
[例4] (2015·绍兴模拟)
水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况)，需计算带子的缠绕角度α(α指缠绕中将部分带子拉成如图所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分)．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为________．
[审题] 解决本题的关键是如何将空间图形转化为平面图形，而将空间图形中的点和量与平面图形中的点和量对应起来是解决本题的难点，如果以AB所在的母线把它剪断，拿出其中的一段并压平，画出其平面图形(如下图)，点A与点C是重合点，所以AC的长就是水管的周长，AH的长是带子宽度，通过互余关系，角α转换到△AHC中，使这些已知量都集中在同一个三角形内，再以三角函数来求解问题．
[解析] 如图，沿一条母线剪开，侧面是一个矩形，带子ABCD是一个平行四边形，过点A作AH⊥BC于H，∵∠ABC＝∠CAH＝α，AC＝2π，
∴在Rt△AHC中，cos α＝
1
2π
.
答案：
1 2π
[即时应用]
1．函数y＝x2－2x＋2＋x2－6x＋13的最小值为________．
[解析] 原函数等价于y＝（x－1）2＋（0－1）2＋（x－3）2＋（0－2）2，即求x轴上一点到A(1，1)，B(3，2)两点距离之和的最小值．将点A(1，1)关于x轴对称，得A′(1，－1)，连接A′B交x轴于点P，则线段A′B的值就是所求的最小值，即|A′B|＝
（1－3）2＋（－1－2）2＝13.
答案：13
2．(2015·长春模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有两个零点，其中一
个零点在区间(1，2)内，则
b
a ＋1
的取值范围为________． [解析] 因为a>0，所以二次函数f(x)的图象开口向上，又因为f(0)＝－1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1，2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a>0，f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪
⎧a>0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.
如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子
b
a ＋1
表示平面区域内的点P(a ，b)与点Q(－1，0)连线的斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－0
0－（－1）＝1，直线4a ＋2b －1
＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2，1)．
答案：(－2，1)
有些题目中某些条件给出的并不明显，需要对这些条件进行再加工；也有某些条件虽然题目已经给出，但解题者却没有把它作为条件来使用，从而使解题遇阻，需要对这些条件进行再认识．
[例5] 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(3，＋∞)
[审题] 由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到∠B 的度数，∠B＝60°.设三角形的三个内角为A ，B ，C ；A 为钝角，则A>B>C ，设角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，则m ＝a c ＝sin A sin C
，但是下一步，如何判断m 的范围，就不知如何做了． 注意到，这里有一个隐含条件，即∠B＝60°，∠A>90°，则∠C<30°.于是m ＝a
c ＝
sin A sin C >sin A
sin 30°
＝2sin A ，从而将问题转化为求2sin A 的最大值问题． [解析] 选B 设△ABC 的三边为a ，b ，c ，且a>b>c.
又△ABC 为钝角三角形且三内角的度数成等差数列，所以B ＝60°，且A>90°.故
0°<C<30°，
则m ＝a c ＝sin A sin C >sin A sin 30°
＝2sin A.
又∵A∈(90°，180°)，∴2sin A∈(0，2)． 故m>2. [即时应用]
1．设双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1(0<a<b)的半焦距为
c ，直线l 过(a ，0)，(0，b)两点，已知原点到
直线l 的距离为
3
4
c ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.
23
3
[解析] 选A ∵直线l 过(a ，0)，(0，b)两点， ∴直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.
又原点到直线l 的距离为
34
c. ∴|ab|
a 2＋
b 2
＝34c ，即a 2b 2
a 2＋
b 2＝316
c 2
又c 2＝a 2＋b 2，∴a 2(c 2－a 2
)＝316c 4
即
316
c 4－a 2c 2＋a 4＝0，化简得(e 2－4)(3e 2
－4)＝0， ∴e 2＝4或e 2
＝43，
又∵0<a<b， ∴e 2
＝c 2
a 2＝1＋b
2
a
2>2，
∴e 2
＝4，即e ＝2，故选A.
2．函数f(x)＝x 3
＋3ax 2
＋b 有极值，又在其曲线上极大值点和极小值点分别为A 、B ，若线段AB(不含端点)与曲线交于点M(1，0)，求a ，b 的值．
[解] 由f′(x)＝3x 2
＋6ax ＝0，得x ＝0或x ＝－2a. 即A(0，b)，B(－2a ，4a 3＋b)． 又A ，B ，M 三点共线． ∴
∥
，即(1，－b)∥(1＋2a ，－4a 3
－b)，
∴－4a 3
－b ＝－b(1＋2a)．
又M 在曲线上，∴0＝1＋3a ＋b.
联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧－4a 3
－b ＝－b （1＋2a ），
3a ＋b ＋1＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝－1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
2，b ＝12.
又M 在线段AB 的内部，故0<1<－2a ，即a<－1
2，
∴a＝－1，b ＝2.
数形结合也是审题的一种重要方法．一旦题目与数轴、单位圆、图象、几何图形等存在联系，就可通过画图利用其直观性和几何性来帮助分析、思考，甚至根据图形直接找出答案．因此，我们要养成利用图形的直观性来分析问题的思维习惯．
[例6] (2015·天水模拟)已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t ∈R，恒有|a －te|≥|a－e|，则( )
A ．a⊥e
B ．a⊥(a－e)
C ．e⊥(a－e)
D ．(a ＋e)⊥(a－e)
[审题] 解这个题目时，如果不仔细研究已知条件之间的关系，很容易采用下面的解法， 即从不等式|a －te|≥|a－e|的计算入手，有a 2
－2te·a＋t 2e 2
≥a 2
－2e·a＋e 2
，即t 2
－2e·at＋2e·a－e 2
≥0，
因为该不等式对任意t∈R 恒成立，所以Δ＝4(e·a)2
－8e·a＋4e 2
≤0，因而(e·a－1)2
≤0.
于是e·a－e 2
＝0，所以e·(a－e)＝0，e⊥(a－e)．故选C.
这是一个非常好的解法，但是运算量还是大了一些．如果认真思考已知条件，向量a≠e，且不等式|a －te|≥|a－e|对任意实数t 都成立，可以从向量本身的意义来思考，并借助图形解决．
如图，＝a ，＝e ，则
＝a －e ，设
＝a －te ，由题设，|
|恒不小于|
|，
显然，仅当
⊥
时才能实现，因此，e⊥(a－e)．
[解析] 选C 如图，设＝a ，＝e ，D 为直线AC 上的一点，且
＝te ，则＝a
－e ，
＝a －te ，由题意|a －te|≥|a－e|，知|
|≥|
|，即|
|是点B 到直线AC 上
点的距离的最小值，故
⊥
，即e⊥(a－e)．
[即时应用]
1．已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x ＋2)＝f(－x)，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x ，则满足f(2x)<f(x)的x 的取值范围是________．
[解析]
f(x)的图象关于直线x ＝1对称，
所以f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ，x≥1，
2－x ，x ＜1，f(2x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x≥1
2，2－2x ，x<12.
如图可知不等式f(2x)<f(x)的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x|0<x<23.
答案：⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|0<x<23
2．已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，若平面区域M 由所有满足＝λ＋μ
(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则M 的面积为________．
[解析] 由向量的平行四边形法则，可知点P 构成的区域为图中阴影部分的平行四边形BDEF 及其内部，它与平行四边形ABDC 是全等的，于是易求得其面积为3.
答案：3
结论是解题的最终目标，解决问题的思维很多情形下都是在目标意识下启动和定向的．审视结论要探索已知条件和结论间的联系与转化规律，善于从结论中捕捉解题信息，确定解题方向．
[例7] 已知α，β为锐角，且⎩
⎪⎨⎪⎧3sin 2
α＋2sin 2
β＝1 ①，
3sin 2α－2sin 2β＝0 ②，求α＋2β的值．
[审题] 由α＋2β的构成特点，可知本题化简变形时，不宜按照常规对α，β的三角函数都采用降次，而需要把已知表达式中的含α的三角函数升次，含β的三角函数降次，即把α和2β的表达式拼凑出来．
[解] 由①得，3sin 2
α＝cos 2β，③
由②得，3sin αcos α＝sin 2β，④
③÷④得，sin αcos α＝cos 2βsin 2β
⇒cos(α＋2β)＝0， 因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<3π2，故α＋2β＝π2
. [即时应用]
1．已知函数f(x)＝x 21＋x 2，那么f(1)＋f(2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f(2 015)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 015＝________． [解析] ∵f(x)＝x 21＋x 2，∴f(a)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a 21＋a 2＋11＋a 2＝1.∴f(1)＋f(2)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋f(3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f(4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋…＋f(2 015)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝12
＋1×2 014＝4 0292. 答案：4 0292
2．设L 为曲线C ：y ＝ln x x
在点(1，0)处的切线． (1)求L 的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．
[解] (1)设f(x)＝ln x x ，则f′(x)＝1－ln x x 2. 所以f′(1)＝1，即L 的斜率为1.
又L 过点(1，0)，所以L 的方程为y ＝x －1.
(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)＞0(∀x ＞0，x≠1)．
g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x 2
－1＋ln x x 2. 当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；
当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．当x ＝1时，g(x)取得最小值．
所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x ＞0，x≠1)．
所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．
解题，常常会困惑于找不到突破口，此时可考虑从特殊的点、特殊的值、特殊的图形等出发进行试探，取得部分成果，发现规律，从而获得解题途径．
[例8]
如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点
P 、Q ，若＝λ，＝μ，则1λ＋1μ
＝________. [审题] 由题目条件可知，直线PQ 过定点M ，但斜率未知，即直线方程未定，而所要求
的结果为定值，故1λ＋1μ
的值与P 、Q 的位置无关，从而可采用特殊直线求解． [解析] 由题意可知，1λ＋1μ
的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ
＝2. 答案：2
[即时应用]
1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP⊥BD，垂足为P ，且AP ＝3，则·＝________．
[解析] 把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则·＝18.
答案：18
2．如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴的一个交点A 在点(－2，0)和(－1，0)之间(包括这两点)，顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点，则a 的取值范围是________．
[解析] 当交点A 在(－2，0)，且顶点C 在F(3，2)时，抛物线的开口最大．设这时的解
析式为：y ＝a(x －3)2＋2，把点(－2，0)代入解析式得0＝25a ＋2，解得a ＝－225，当交点在(－
1，0)，且顶点C 在D(1，3)时，抛物线的开口最小．设这时的解析式为：y ＝a(x －1)2＋3，
把点(－1，0)代入解析式得0＝4a ＋3，解得a ＝－34
. 所以a 的取值范围是－34≤a≤－225
. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34
，－225。