宁波市效实中学高二数学上学期期中试题

浙江省宁波市效实中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题
参考公式：
柱体的体积公式:V Sh = （其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高)
锥体的体积公式：13
V Sh
=（其中S 表示锥体的底面积,表示锥体的
高)
球的表面积公式:2
=4S R π（其中R 表示球的半径）
球的体积公式 ：3
43
V R π=（其中R 表示球的半径）
台体的体积公式:
11221
()3
V S S S S h
=(其中1
S ，2
S 分别表示台体的上、下底
面积， h 表示台体的高 ）
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每
小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1。

直线l 与平面α不平行,则
A.l 与α相交
B.α⊂l
C.l 与α相交或α⊂l
D.以上结论都不对
2.已知c b a ,,是三条直线，γβα，，是三个平面，下列命题正确的是
A.若,//,//,//βαβαb a 则b a // B 。

若,,γαβα⊥⊥则γβ// C.若,,αβ⊥⊂b b 则βα⊥ D.若,//,ααc b ⊂则c b //
3。

若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为 A 。

2
3 B 。

4
3 C 。

3
3
D.
2
1 4.椭圆5
522
=+ky x
的一个焦点是()2,0，那么实数=k
A 。

1-
B 。

1
C 。

5
D.5-
5。

在正四棱柱1
1
1
1D C B A ABCD -中，2,41
==AB AA ,点F E ,分别为棱1
1
,CC BB 上
的两点,且
112
1,41CC CF BB BE ==
，则
A 。

AF E D ≠1
,且直线AF E D ,1
异面 B 。

AF E D ≠1
，且直线AF E D ,1
相交 C 。

AF E D =1
，且直线AF E D ,1
异面 D 。

AF E D =1
，且直线AF E D ,1
相
交
6。

已知椭圆1592
2=+y x 的右焦点为F ，P 是椭圆上的一点，点(
)3
2,0A ,
当APF ∆的周长最大时，直线AP 的方程为 A.323
3
+-
=x y B.323
3
+=
x y C 。

323+-=x y D 。

323+=
x y
7.在四面体ABCD 中,ABC AD 底面⊥，3,1=
=AB AC ，且︒=∠90BAC ，2=AD ，
若该四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上,则球O 的表面积是 A 。

π
28 B.
π
4 C 。

π3
2
8
D 。

π8
8.把平面图形α
上的所有点在一个平
面上的射影
构成的图形β称为
图形α在这个平面上的射影。

如图，在
长方体
EFGH ABCD -中，
3,4,5===AE AD AB ，则EBD ∆在平面EBC 上的射影的面积
为 A.34
B.34
4
C 。

2413
D.342
9.如图所示，椭圆()2142
22>=+a y a x 分别为
2
1,F F ，
过1F 的直线交椭圆于N M ,两点，交y 1
是线段
MN 的三等分点，则MN F 2∆的周长为
A 。

20 B.10 C 。

52
侧视图
正视图
A
D.54
10.如图，在长方形ABCD 中，AD CD <，现将∆沿AC
折至
1ACD ∆，使得二面角B CD A --1为锐二面角，设直线1AD 与直线BC 所成
角的大小为α,直线1
BD 与平面ABC 所成角的大小为β，二面角
B CD A --1的大小为γ,则α,β，γ的大小关系是
A ．αβγ>>
B ．αγβ>>
C ．γαβ>>
D ．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题 共70分）
二、填空题：本大题共7小题，其中双空题每小题4分，单空题每小题3分，共25分．
11.已知椭圆C 的焦点在x 轴上,它的长轴长为4,焦距为2,则椭圆C 的短轴长为 ▲ ,标准方程为 ▲ . 12。

一圆台的母线长为20cm,母线与轴的夹角为︒30，上底面半径
为15cm,则下底面半径为
▲ ，圆台的高为 ▲ 。

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
底面的面积为 ▲ ，体积为
▲ 。

14.已知直三棱柱1
1
1C B A ABC -中，90ABC ︒
∠=，
12,1,
AB BC CC ===则异面直线1
AB 与1
BC 所成角
的正弦值为 ▲ 。

15。

椭圆1
22
=+ny mx
与直线01=-+y x 相交于B A ,两点，C 是线段AB 的中
点，若22=AB ，OC 的斜率为2，则=-n m ▲ ,离心率=e ▲ .
16.过椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 的右焦点作x 轴的垂线,交椭圆C 于B
A ,两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以A
B 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆
C 的离心率的取值范围是 ▲ .
17.
在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，
︒
︒=∠==∠90,,60APD PD PA DAB ，平面⊥PAD 平面ABCD ，点Q 是PBC ∆内（含
边界）的一个动点，且满足AC DQ ⊥，则点Q 所形成的轨迹长度是 ▲ 。

三、
解答题：本大题共5小题，共45分． 解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤． 18.已知椭圆的左焦点为()0
,3-
F ，右顶点为()0,2D ，设点A 的坐标是
.211⎪⎭
⎫ ⎝⎛， （1）求该椭圆的标准方程;
B
C A
A 1
B 1
C 1
D E
（2）若P 是椭圆上的动点,求线段PA 的中点M 的轨迹方程.
19.已知椭圆1
4:22
=+y x
C 及直线R m m x y l ∈+=，:。

（1）当m 为何值时，直线l 与椭圆C 有公共点;
（2）若直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点,且,OQ OP ⊥O 为坐标系原点，求直线l
的方程。

20。

如图所示，在直三棱柱1
1
1C B A ABC -中，ABC ∆是边长为6的等边
三角形,E D ,分别为BC AA ,1的中点。

(1）证明:1
//BDC AE 平面;
(2）若321
=CC
，求DE 与平面11A ACC 所成
角的正弦值。

21.
如图所示,在多面体ABCDE 中，,,//BC AC AB DE ⊥平面⊥DAC 平面
,ABC ,,2,42DC DA DE AB AC BC ====点F 为BC 的中点。

（1）
证明:⊥EF 平面ABC ;
（2）
若直线BE 与平面ABC 所成的角为
︒60，
求平面DCE
与平面ADC 所成的锐二面角的正弦值.
B
22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:22
22>>=+b a b y a x C 的离心率为2
1，
过点()30，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.
（1)若点B 为椭圆C 的上顶点,且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；
（2)若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点
O 到直线MN 距离的最小值.
错误!错误!错误!
1.
C 2。

C 3。

D 4。

B 5.A 6.D 7。

D 8。

D 9.D 10。

B
10。

过点D 作D O '⊥平面ABC ，过点B 作BO '⊥平面ACD ',连接OB . 过O '作O H CD ''⊥，连接BH ,如图。

则D BO '∠为直线'BD 与平面ABC 所成角，即D BO β'∠=
由BO '⊥平面ACD ',则BO CD ''⊥，又O H CD ''⊥，且BO O H O '''⋂= 所以D C '⊥平面BO H '，则CD BH '⊥
所以BHO '∠为二面角'A CD B --的平面角,即BHO γ'∠= 又
D ABC B AD C
V V ''--=,即11
33
ABC
AD C S OD S O B '''⨯⨯=⨯⨯△△ 且12AD C ABCD
S ABC S S '==
矩形△△ . 所以BO D O ''=。

由sin ,BO BHO BH ''∠=
sin D O
D BO BD ''∠='，由
BH BD '< 所以sin BHO '∠>
sin D BO '∠,即BHO '∠> D BO '∠，也即γβ>.
又在平面AD C '内,
,AD D C O H D C
''''⊥⊥,所以//AD O H ''.
所以α等于直线O H '与BC 所成的角
BHO '∠也为直线O H '与平面BCD '所成的角.
根据上面已证的最小角定理有BHO α'∠<. 所以αγβ>>故选:B
11. 13
4322
2=+y x ， 12.310,25 13.2，4
14.
5
15
15。

2
2
113， 16。

⎥⎦
⎤ ⎝⎛550， 17.352
18. ()()1414212,1412
2
22=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+y x y x
19. ()510
25,251±=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
x y ， 20. ()()
2010
321略， 21. ()()
4
1321略， 22. ()
()2
32733
41，
11。