高考数学一轮复习专题训练—函数的奇偶性与周期性

第3节函数的奇偶性与周期性
考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那
偶函数
关于y轴对称么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，
奇函数
关于原点对称那么函数f(x)是奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0). (2)若f (x ＋a )＝
1
f （x ）
，则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1
f （x ），则T ＝2a (a >0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称.
(3)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )或f (a ＋x )＝f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数.( ) (2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )
(3)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期.( ) (4)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫
a ＋
b 2，0对称.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误. (2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，且在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错误.
2.下列函数中为偶函数的是( )
A.y ＝x 2sin x
B.y ＝x 2cos x
C.y ＝|ln x | D .y ＝2－
x 答案 B
解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项的定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.
3.设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，3
2时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫
112＝________. 答案 18
解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫
－12 ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123
＝18.
4.(2020·江苏卷改编)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是( )
A.8
B.－8
C.4
D.－4
答案 D
解析 f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.
5.(2021·日照一中月考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 022)＝( ) A.－3 B.0 C.1 D.3
答案 B
解析 由于f (x )为奇函数，且f (x )＝f (3－x )， ∴f (3＋x )＝f (－x )＝－f (x )，从而知周期T ＝6， ∴f (2 022)＝f (0)＝0.
6.(2020·全国大联考)已知f (x )＝e x ＋e ax 是偶函数，则f (x )的最小值为________. 答案 2
解析 ∵f (x )＝e x ＋e ax 是偶函数，
∴f (1)＝f (－1)，得e ＋e a ＝e －
1＋e －
a ，则a ＝－1. 所以f (x )＝e x ＋e －
x ≥2e x ·e －
x ＝2. 当且仅当x ＝0时取等号， 故函数f (x )的最小值为2.
考点一 函数的奇偶性及其应用
角度1 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；
(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；
(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1).
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，
x 2－3≥0得x 2＝3，解得x ＝±3，
即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log2(－x＋（－x）2＋1)＝log2(x2＋1－x)
＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数.
感悟升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
角度2函数奇偶性的应用
【例2】(1)(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax，若f(ln 2)＝8，则a＝________.
(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________.
答案 (1)－3 (2)(－2，0)∪(2，5]
解析 (1)由题意得，当x >0，－x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－e －ax
)＝e
－ax
，所以f (ln 2)
＝e
－a ln 2
＝eln 2－a ＝2－a ＝8＝23，即2－
a ＝23，所以a ＝－3.
(2)由图象知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2，0)∪(2，5].
感悟升华 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【训练1】 (1)(2021·百校联盟质检)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x sin x B.y ＝x ln x
C.y ＝e x －1e x ＋1
D.y ＝x ln(x 2＋1－x )
(2)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝________. 答案 (1)B (2)－7
解析 (1)A 中，y ＝x sin x 为偶函数，D 中，y ＝x ln(x 2＋1－x )是偶函数. B 中，函数y ＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，非奇非偶函数. C 中，f (－x )＝e －
x －1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )，则y ＝e x －1
e x ＋1为奇函数.
(2)因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 故f (x )＝2x －1(x ≥0)，
则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.
考点二 函数的周期性及其应用
1.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，
x ，0≤x <1，则
f ⎝⎛⎭⎫
32＝________. 答案 1
解析 由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭
⎫－122
＋2＝1. 2.(2021·成都质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0，2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132＝( ) A.－94
B.－1
4
C.14
D.94
答案 A
解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫8－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－9
4
. 3.已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( ) A.－50 B.0 C.2 D.50
答案 C
解析 法一 ∵f (x )在R 上是奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x ). ∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x ).
因此f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为4的函数， 由于f (1－x )＝f (1＋x )，f (1)＝2，
故令x ＝1，得f (0)＝f (2)＝0，
令x ＝2，得f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2， 令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0， 故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 法二 由题意可设
f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.
4.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点个数为________. 答案 7
解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0， 则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，
故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.
感悟升华 1.求解与函数的周期有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 考点三 函数性质的综合运用
角度1 函数的单调性与奇偶性
【例3】(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()
A.a<b<c
B.c<b<a
C.b<a<c
D.b<c<a
(2)(2020·新高考山东、海南卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是()
A.[－1，1]∪[3，＋∞)
B.[－3，－1]∪[0，1]
C.[－1，0]∪[1，＋∞)
D.[－1，0]∪[1，3]
答案(1)C(2)D
解析(1)易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.
(2)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.
感悟升华 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)>f (x 2)的形式，再结合单调性，脱去“f ”变成常规不等式，转化为x 1<x 2(或x 1>x 2)求解. 角度2 函数的奇偶性与周期性
【例4】 (1)(2021·贵阳调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当－1≤x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)＝( ) A.14 B.15 C.－15
D.－14
(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3
a ＋1，则实数a 的取值
范围为( ) A.(－1，4) B.(－2，0) C.(－1，0) D.(－1，2)
答案 (1)B (2)A
解析 (1)依题意，知f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，则f (4＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且周期为4.
又2<log 25<3，则－1<2－log 25<0， 所以f (log 220)＝f (2＋log 25)＝f (log 25－2)
＝－f (2－log 25)＝－(22－log 25－1)＝－⎝⎛⎭⎫45－1＝1
5. (2)因为f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数. ∴f (5)＝f (－1)＝f (1)<1. 从而2a －3a ＋1
<1，解得－1<a <4.
感悟升华 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. 角度3 函数的奇偶性与对称性相结合
【例5】 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－5)＝2，则f (2 021)＝________. 答案 2
解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数.
由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以 f (2 021)＝f (5＋252×8)＝f (5)＝f (－5)＝2.
感悟升华 函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 【训练2】 (1)(2020·银川调研)已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1
|x |＋1＋1
x 2
＋3，则不等式f (lg x )>3的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫1
10，10 B.⎝
⎛⎭⎫－∞，1
10∪(10，＋∞) C.(1，10)
D.⎝⎛⎭
⎫1
10，1∪(1，10) (2)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________. 答案 (1)D (2)2
解析 (1)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 且f (－x )＝f (x )，则y ＝f (x )是偶函数，
易知f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，f (1)＝log 22＋4＝3， 所以不等式f (lg x )>3可化为0<|lg x |<1，
即－1<lg x <1，且lg x ≠0，解得1
10<x <10，且x ≠1，
所以所求不等式的解集为⎝⎛⎭
⎫1
10，1∪(1，10). (2)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则f (x )＝－f (－x )＝－f (6＋x )， 则f (x )的最小正周期是12，
故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.
活用函数性质中三类“二级结论”
通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质.
一、抽象函数的周期性问题
(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝±1
f （x ）
(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .
【例1】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 023)＋f (2 024)＝( ) A.3 B.2 C.1 D.0
答案 C
解析 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (－2 023)＝－f (2 023)， 因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )， 所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，
即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次，又当x ∈(0，3)时，f (x )＝x ＋1，
∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1)＝2， f (2 024)＝f (337×6＋2)＝f (2)＝3.
故f (－2 023)＋f (2 024)＝－f (2 023)＋3＝1. 二、函数的对称性问题
(1)若函数y ＝f (x )为奇函数(或偶函数)，则函数y ＝f (x ＋a )的图象关于点(－a ，0)对称(或关于直线x ＝－a 对称).
(2)若函数y ＝f (x ＋a )为奇函数(或偶函数)，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称(或关于直线x ＝a 对称).
(3)函数y ＝f (x )的图象关于点A (a ，b )对称的充要条件是f (x )＋f (2a －x )＝2b .
【例2】 (1)(2020·鹰潭二模)已知偶函数f (x )的图象关于点(1，0)对称，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 2＋1，则f (2 021)＝( ) A.2 B.0 C.－1
D.1
(2)(2021·长沙质检)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭
⎫14－
1
2，c ＝log 12
2，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A.f (b )<f (c )<f (a ) B.f (a )<f (c )<f (b ) C.f (c )<f (b )<f (a ) D.f (c )<f (a )<f (b )
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为偶函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称， 所以f (－x )＝f (x )，f (2＋x )＋f (－x )＝0，
所以f (x ＋2)＝－f (－x )＝－f (x )，
则f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是以4为周期的函数， 所以f (2 021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝f (－1). 又当－1≤x ≤0时，f (x )＝1－x 2， 故f (2 021)＝f (－1)＝1－(－1)2＝0.
(2)依题意，定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝f (－x )，即函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (0)＝0.
又f (x )在区间[1，2]上单调递减，则f (x )在区间[0，1]上单调递增，则f (1)>0. 由0<a ＝ln 2<1，得f (a )>f (0)＝0，
b ＝⎝⎛⎭⎫14－
1
2＝4＝2，则f (b )＝f (2)＝f (0)＝0， c ＝log 12
2＝－1，则f (c )＝f (－1)＝－f (1)<0，
所以f (c )<f (b )<f (a ). 三、奇函数的最值问题
已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.
【例3】 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.
答案 2
解析 显然函数f (x )的定义域为R ， 且f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2
＋1＝1＋2x ＋sin x
x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin x
x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，
∴g (x )为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，
∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.
A 级 基础巩固
一、选择题
1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( ) A.y ＝|log 3x | B.y ＝x 3 C.y ＝e |x | D.y ＝cos |x |
答案 C
解析 对于A ，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 中，y ＝x 3是奇函数. 对于C ，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，
对于D ，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.
2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2 021)＝( ) A.2 0212 B.1 C.0 D.－1
答案 B
解析 根据题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即函数是周期为4的周期函数，则f (2 021)＝f (1＋2 020)＝f (1)＝12＝1.
3.(2021·衡水中学检测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (32a －
1)≥f (－3)，则a 的最大值是( ) A.1 B.12 C.14
D.34
答案 D
解析 ∵f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 由f (32a －
1)≥f (－3)＝f (3)， 得32a －
1≤3，解之得a ≤34，
故实数a 的最大值为3
4
.
4.若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A.f (2)>f (3) B.f (2)>f (5) C.f (3)>f (5) D.f (3)>f (6)
答案 D
解析 ∵y ＝f (x ＋4)为偶函数， ∴f (－x ＋4)＝f (x ＋4)，
因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称， ∴f (2)＝f (6)，f (3)＝f (5).
又y ＝f (x )在(4，＋∞)上为减函数， ∴f (5)>f (6)，所以f (3)>f (6).
5.(2021·昆明诊断)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋x x 2＋1－1，若f (a )＝－1
3，则f (－a )＝( ) A.1
3 B.23 C.－13
D.－53
答案 D
解析 f (x )＝－sin 2x ＋x
x 2＋1－1，
设g (x )＝f (x )＋1＝－sin 2x ＋
x
x 2＋1，易知g (x )为奇函数，
∴g (a )＝f (a )＋1＝23，则g (－a )＝－g (a )＝－2
3，
因此f (－a )＋1＝－23，故f (－a )＝－5
3
.
6.若定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝log 1
2(1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，3
2内是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0 D.增函数且f (x )<0
答案 D
解析 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝log 1
2(1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0. 又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭
⎫－1
2，0上函数也单调递增，且f (x )<0. 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为3
2，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0. 二、填空题
7.已知奇函数f (x )在区间[3，6]上是增函数，且在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________. 答案 9
解析 由于f (x )在[3，6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.
8.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－
5)＝f (4.5)，则a ＝________. 答案 2.5
解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，
得f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )， 所以f (x )是周期为2的周期函数.
又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)， 即－1＋a ＝1.5，解得a ＝2.5.
9.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的.如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1
t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e
解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭
⎫ln 1
t ， 由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1
t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1). 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1
e ≤t ≤e.
三、解答题
10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ). 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象知⎩
⎪⎨⎪⎧a －2>－1，
a －2≤1，所以1<a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1，3].
11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x ).当x ∈[0，2]时，f (x )＝2x －x 2.
(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式. (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ). ∴f (x )是周期为4的周期函数.
(2)解 ∵x ∈[2，4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0，2]，
∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，
即当x ∈[2，4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.
B 级 能力提升
12.(2021·日照模拟)设函数f (x )＝12(e x －e －
x )＋3x 3(－2<x <2)，则使得f (2x )＋f (x －1)>0成立的x
的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2) C.⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎭⎫13，2
答案 C
解析 根据题意，有f (－x )＝12(e －
x －e x )－3x 3＝－⎣⎡⎦⎤12（e x －e －x ）＋3x 3＝－f (x )， 即函数f (x )为奇函数，
又f ′(x )＝12(e x ＋e －
x )＋9x 2>0，所以f (x )在(－2，2)上为增函数，
则f (2x )＋f (x －1)>0⇔f (2x )>f (1－x )， 因此⎩⎪⎨⎪⎧－2<2x <2，－2<x －1<2，2x >1－x ，解得1
3
<x <1，
故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.
13.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1
f （x ）
对任意x ∈R 恒成立，则f (2 021)＝________. 答案 1
解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1
f （x ）
， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝
1f （x ＋2）
＝1
1f （x ）
＝f (x )，
则函数f (x )的周期是4， 所以f (2 021)＝f (505×4＋1)＝f (1). 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 021)＝f (－1)＝f (1).
当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f （－1），
得f (1)＝1
f （1）.
由f (x )>0，得f (1)＝1， 所以f (2 021)＝f (1)＝1.
14.设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；
(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，
f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，
所以f (x )是以4为周期的周期函数，
所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，
得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，
即f (1＋x )＝f (1－x ).
故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.
又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.
当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4× ⎝⎛⎭
⎫12×2×1＝4.。