山东数学高考题理数

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
数学（理科）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

祝考试顺利 注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

考公式：
柱体的体积公式：V=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。

锥体的体积公式：V=13
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的
概率
()(1)(01,2)k k
n k n n P k C P P k n -=-=，，，
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）集合A=｛0，2，a ｝,B=｛1,a 2｝.若A B=｛0，1，2，4，16｝，则a 的值为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 （2）复数
31i
i
--等于 （A ）1+2i （B ）1-2i （C ）2 +i （D ）2 – i (3) 将函数y=sin 2x 的图像向左平移4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是
（A ）y=cos2x （B ）y=2
2cos x （C ）y=1+sin 24x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
（D ）y=2
2sin x
（4）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的
体
积为
（A ）223π+ （B ）423π+
（C ）232π+ （D ）23
4π+
（5）已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ┸”是“βm ┸”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）函数x x e y e －x
－x
＋e ＝－e
的图象大致为
（7）设p 是ABC 所在平面内的一点，2BC BA
BP ＋＝，则
（A ）PA PB ＋＝0 （B ）PC PA
＋＝0 （C ）PB PC ＋＝0 （D ）PA
PB PC ＋＋＝0 （8）某工厂对一批产品进行了抽样检测。

右图是根据抽样检
测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[]96106，，样本数据分组为
[)[)[)[)[)969898100100102102104104106
，，，，，，，，， 已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 （A ）90 （B ）75 （C ）60 （D ）45
（9）设双曲线22221x y a b
-=的一条渐近线与抛物线2
1y x =+只有一个公共点，则双曲线的
离心率为 （A ）
5
4
(B) 5 (C) 5 (D) 5
(10) 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0
()(1)(2),0
x x f x f x f x x -≤⎧=⎨
--->⎩，则(2009)f 的值为
（A ）-1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 （11）在区间[]1,1-上随机取一个数x ,cos 2
x π的值介于0到
1
2
之间的概率为 （A ）
13 (B) 2π
(C) 12 (D) 23 （12）设,x y 满足约束条件360,
20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
若目标函数(0,z ax by a b =+＞＞0)的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 （A ）256
(B) 83 (C) 11
3 (D) 4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） (13)不等式 2120x x ---＜的解集为 .
(14)若函数()(0a 1)x
f x a x a a =--≠＞），且有两个零点,则实数a 的取值范围
是 .
(15)执行右边的程序框图,输出的T= .
(16)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程()(0f x m m =＞）在区间[-8，8]上有四个不同的根1,234,,,x x x x 则1234x x x x +++= .
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

（17）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()2cos(2)sin 3
f x x x π
=+
+。

（Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期； （Ⅱ）设A ，B ，C 为ABC ∆的三个内角，若11
cos ,()324
c B f =
=-，且C 为锐角，求sin A 。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为
等腰梯形，AB ∥CD,AB=4,BC=CD=2,1AA ,AB 的中点。

（Ⅰ）证明：直线1EE ∥平面1FCC ； （Ⅱ）求二面角1B FC C --的弦值。

(19)(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进
一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。

某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q .该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ε表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
()I 求2q 的值；
()II 求随机变量ε的数学期量E ε；
()III 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概
率的大小。

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 等比数列{}n a 的前n 项和为，已知对任意的,n N ∈，点(.)n n S 均在函数
(01,,y bx r b b b r ==>≠且均为常数的图象上。

（Ⅰ）求r 的值。

（Ⅱ）当b=2时，记22(log 1)()n bn a n n ==∈
证明：对任意的，不等式成立
1212111
n n
b b b b b b +++••>…（21）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 两县城A 和B 相距20Km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB
上选择
一点C 建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的
总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和。

记C 点到城A 的距离xKm ，建在C 处的垃圾处理厂对城B 的影响度为Y ，统计调查表明；垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城B 的平方成反比，比例系数为4；城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为K ，当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B ）总影响度为0.065
（Ⅰ）将Y 表示成X 的函数；
（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点城A 的距离；若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 设椭圆E ：22
221(,0)x y a b a b
+=
>M N ，O 为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒在两个交点A ，
B 且OA OB
−−→⊥−−→？若存在，写出该圆的方程，关求AB 的取值范围；若不存在，说明理由。