苏教版 高三数学 一轮复习---9.9 曲线与方程

§9.9曲线与方程
2020高考会这样考 1.考查曲线方程的概念；2.考查直接法、定义法、相关点法求轨迹方程；
3.和向量、平面几何知识相结合求动点轨迹，并研究轨迹的有关性质．
复习备考要这样做 1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程；2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法．
1．曲线与方程
如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，
并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个
曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；
方程组无解，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的
交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
[难点正本疑点清源]
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，
再由条件确定其待定系数；
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点
的轨迹方程；
(4)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，
y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得
要求的轨迹方程；
(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
1．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →
＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________． 答案 y 2＝x
解析 PB →＝(3－x ，－y )，P A →
＝(－2－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(3－x )(－2－x )＋y 2＝x 2－x －6＋y 2＝x 2－6，∴y 2＝x .
2．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________． 答案 4π
解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得
(x ＋2)2＋y 2＝2
(x －1)2＋y 2，
∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆． 即轨迹所包围的面积等于4π.
3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是__________________． 答案 一条直线和一条射线
解析 原方程可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，
即2x ＋3y －1＝0 (x ≥3)或x ＝4，
故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．
4．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是______________． 答案 2x －y ＋5＝0
解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.
5．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为__________． 答案 抛物线
解析 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线.
题型一 直接法求轨迹方程
例1 已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →
|.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值． 思维启迪：设动点坐标，列式化简即可．
解 (1)设动点P (x ，y )，
则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →
＝(1－x ，－y )， 由已知得－3(x －4)＝6
(1－x )2＋(－y )2， 化简得3x 2＋4y 2
＝12，即x 24＋y 23
＝1.
∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由几何性质意义知，l 与平行于l 的椭圆C 的切线l ′的距离等于Q 与l 的距离的最小值．设l ′：x ＋2y ＋D ＝0.将其代入椭圆方程消去x ，化简得：16y 2＋12Dy ＋3(D 2－4)＝0.
∴Δ＝144D 2－192(D 2－4)＝0⇒D ＝±4， l ′和l 的距离的最小值为|12－4|5.
∴点Q 与l 的距离的最小值为85
5
.
探究提高 (1)用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点，列方程化简．其关键是根据条件列出方程来．
(2)求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．
如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴
于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．
解 设点M 的坐标为(x ，y )， ∵M 是线段AB 的中点，
∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∴P A →＝(2x －2，－4)，PB →
＝(－2,2y －4)．
由已知P A →·PB →
＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，
即x ＋2y －5＝0.
∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 题型二 定义法求轨迹方程
例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，
又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
思维启迪：利用两圆内、外切的充要条件找出点M 满足的几何条件，结合双曲线的定义求解．
解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；
由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3.
∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．
∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74
.
∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x ≤－3
2
)．
探究提高 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．
已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－1
4，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________． 答案 y 2＝x
解析 由已知：MF ＝MB .由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．其轨迹方程为y 2＝x . 题型三 相关点法求轨迹方程
例3 设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →
，当点P 在y 轴上
运动时，求点N 的轨迹方程．
思维启迪：点N 的运动依赖于点P ，可以通过P 、M 、N 三点坐标关系探求点N 的轨迹方程．
解 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →
＝(1，－y 0)，
∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →
得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －x 0＝－2x 0
y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－x y 0＝12y
. ∴－x ＋y 2
4
＝0，即y 2＝4x .
故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x . 探究提高 “相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝f (x ，y )，
y 1＝g (x ，y )；
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是
AB 上一点，且AP →
＝22
PB →，求点P 的轨迹C 的方程．
解 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →
＝22
PB →，
又AP →＝(x －x 0，y )，PB →
＝(－x ，y 0－y )，
所以x －x 0＝－22x ，y ＝2
2(y 0－y )，
得x 0＝⎝
⎛⎭⎫1＋2
2x ，y 0＝(1＋2)y .
因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2
，
所以⎣⎡⎦
⎤⎝
⎛⎭⎫1＋
22x 2
＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2， 化简得x 22
＋y 2
＝1.
∴点P 的轨迹方程为x 22
＋y 2
＝1.
利用参数法求轨迹方程
典例：(14分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，
如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．
审题视角 (1)点M 的运动是由A 点的运动引起的，而A 的变动又和OA 的斜率有关．(2)若OA 的斜率确定，A 的坐标确定，M 的坐标也确定，所以可选OA 的斜率为参数． 规范解答
解 设点M 的坐标为(x ，y )，直线OA 的方程为y ＝kx ，[1分]
显然k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1
k
x .[2分]
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，y 2＝4px ，
解得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫4p k 2，4p k ，
类似地可得B 点的坐标为(4pk 2，－4pk )，[6分]
从而知当k ≠±1时，k AB ＝4p ⎝⎛⎭⎫1k ＋k 4p ⎝⎛⎭⎫1k 2－k 2＝1
1k －k
.
故得直线AB 的方程为y ＋4pk ＝1
1k
－k (x －4pk 2)，
即⎝⎛⎭⎫1k －k y ＋4p ＝x ，① [9分]
直线OM 的方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫
1k －k x .② [10分] 可知M 点的坐标同时满足①②， 由①及②消去k 得4px ＝x 2＋y 2， 即(x －2p )2＋y 2＝4p 2 (x ≠0)，[12分]
当k ＝±1时，容易验证M 点的坐标仍适合上述方程．
故点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)，它表示以点(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆．[14分]
温馨提醒 (1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简捷．但很多考生找不到破解问题的切入口，无从入手．(2)个别考生由于参数选取不恰当，造成计算繁杂冗长，难以求出最终结论．(3)应用参数法求轨迹方程时，首先要选择恰当的参数，参数必须能刻画动点的运动变化，而且与动点坐标有直接的内在联系．如果需要，还应顾及消去参数的方便，选定参数之后，即可当作已知数，运用轨迹条件，求出动点的坐标，即得轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程．
方法与技巧
求轨迹的方法 (1)直接法：
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：
其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义采用设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．
(3)代入法(相关点法)：
当所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动．如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． 失误与防范
1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应法则．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．
2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)
一、填空题(每小题5分，共35分)
1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是下列图中的________．(填序号)
答案 ③
解析 由题意可得x ＋y ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－4＝0，
x ＋y ＋1≥0，
它表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0右上方的部分． 2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是______________．
答案 x 29－y 2
16＝1 (x >3)
解析 如图，AD ＝AE ＝8， BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ， 所以CA －CB ＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的
双曲线的右支，方程为x 29－y 2
16
＝1 (x >3)．
3．动点P 为椭圆x 2a 2＋y
2b 2＝1 (a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦
点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为________． 答案 直线
解析 如图所示，设三个切点分别为M 、N 、Q .
∴PF 1＋PF 2＝PF 1＋PM ＋F 2N ＝F 1N ＋F 2N ＝F 1F 2＋2F 2N ＝2a ， ∴F 2N ＝a －c ，∴N 点是椭圆的右顶点，∴CN ⊥x 轴，∴圆心C 的轨迹为直线．
4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是________． 答案 直线
解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →
＝(－1,3)，
∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，
又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．
5．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→
＋
PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是______________．
答案 x 24a 2＋y 2
4b 2＝1
解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→
， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，
设Q (x ，y )，则OP →
＝－12OQ →＝－12
(x ，y )＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2
，－y
2，又P 在椭圆上， 则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 2
4b 2＝1.
6．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是_________．
答案 x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)
解析 设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形， ∴MP 2＋NP 2＝MN 2，
∴(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4. ∵M ，N ，P 不共线，∴x ≠±2，
∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4 (x ≠±2)．
7．过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨
迹方程是____________．
答案 x 2a 2＋4y 2
b
2＝1
解析 设MN 的中点P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上， ∴x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2
b 2＝1. 二、解答题(共27分)
8．(13分)已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →
，求点P 的轨迹方程．
解 ∵RA →＝AP →
，∴R ，A ，P 三点共线，且A 为RP 的中点，
设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，则由RA →＝AP →
，
得(1－x 1，－y 1)＝(x －1，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 1＝x －1
－y 1＝y
，
即x 1＝2－x ，y 1＝－y ，将其代入直线y ＝2x －4中， 得y ＝2x ，∴点P 的轨迹方程为y ＝2x .
9．(14分)(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M
为PD 上一点，且MD ＝4
5
PD .
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
x P ＝x ，
y P ＝5
4
y ，∵P 在圆上， ∴x 2
＋(54y )2＝25，即轨迹C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)，
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝4
5
(x －3)代入C 的方程，得
x 225＋(x －3)2
25
＝1，即x 2－3x －8＝0. ∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.
∴线段AB 的长度为AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝
(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝
4125×41＝41
5
. B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为____________．
答案 x 2－y 28
＝1 (x >1) 解析 设另两个切点为E 、F ，如图所示，则PE ＝PF ，ME ＝MB ，
NF ＝NB .
从而PM －PN ＝ME －NF ＝MB －NB ＝4－2＝2<MN ，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，
∴b 2＝8.故方程为x 2－y 2
8
＝1 (x >1)．
2．有一动圆P 恒过定点F (a,0) (a >0)且与y 轴相交于点A 、B ，若△ABP 为正三角形，则点P 的轨迹为__________． 答案 双曲线
解析 设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，
由于△ABP 为正三角形，
∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝3
2
R .
而R ＝PF ＝(x －a )2＋y 2，∴|x |＝3
2·(x －a )2＋y 2.
整理得：(x ＋3a )2
－3y 2
＝12a 2
，即(x ＋3a )212a 2－y 2
4a
2＝1.
∴点P 的轨迹为双曲线．
3．点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，过焦点作∠F 1PF 2外角平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹是________． 答案 圆
解析 如图，延长F 2M 交F 1P 延长线于N .
∵PF 2＝PN ，∴F 1N ＝2a .
连结OM ，则在△NF 1F 2中，OM 为中位线，则OM ＝12
F 1N ＝a .∴M 的轨迹是圆．
4．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为__________．
答案 椭圆
解析 如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是AM ＝PM ，
又由于10＝OP ＝OM ＋MP ＝OM ＋MA ，即OM ＋MA ＝10，也就是说，
动点M 到O (0,0)及A (8,0 )的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以
O (0,0)、A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．
5．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是 x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．
答案 x ＝32
解析 设P (x ，y )，由圆O ′的方程为(x －4)2＋y 2＝6及已知AP ＝BP ，故OP 2－AO 2＝O ′P 2
－O ′B 2，
则OP 2－2＝O ′P 2－6，
∴x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6.
∴x ＝32，故动点P 的轨迹方程是x ＝32
. 6. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，
且AM ＝13
AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy
中，动点P 的轨迹方程是____________．
答案 y 2＝23x －19
解析 过P 作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A
1D 1于H ，连结PH 、
PM ，可证PH ⊥A 1D 1，设P (x ，y )，由PH 2－PM 2＝1，
得x 2＋1－⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝1， 化简得y 2＝23x －19
. 二、解答题(共28分)
7．(14分)如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N .求线段QN 的中点P 的轨迹方程．
解 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x
1，y 1)，则N 点的坐标
为(2x －x 1,2y －y 1)．
∵点N 在直线x ＋y ＝2上，
∴2x －x 1＋2y －y 1＝2， ① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2.
∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0， ②
由①、②联立，解得⎩⎨⎧ x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.
又Q 在双曲线x 2－y 2＝1上，∴x 21－y 21＝1，
即⎝⎛⎭⎫32x ＋12y －12－⎝⎛⎭
⎫12x ＋32y －12＝1， 整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，
这就是所求动点P 的轨迹方程．
8．(14分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .
(1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．
解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .
(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1 (k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
又易得点R 的坐标为⎝⎛⎭
⎫－2k ，－1， ∴RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭
⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝
⎛⎭⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝⎛⎭⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4 ＝4⎝
⎛⎭⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， ∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.。