(全优试卷)福建省福州市高三上学期第三次质量检查数学(文)试题 Word版含答案

福州八中2016—2017学年高三毕业班第三次质量检查
数学(文)试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2016.11.14
参考公式：
样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式
s =
13V S h = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式
球的表面积、体积公式
V Sh =
24S R =π，343
V R =π
其中S 为底面面积，h 为高
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）
1.已知集合{}|2A x N x =∈>，集合{}|,B x N x n n N =∈<∈，若A B 的元素的
个数为6，则n 等于
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2.复数3
12
i
i +等于
A ．
12 B ．1
2- C ．3
2
i
D ．12
i
3.已知函数()()21
log 4,412,4
x x x f x x -⎧-<=⎨+≥⎩则()()20log 32f f +=
A ．19
B ．17
C ．15
D ．13
4．已知)1,2(=a ，10=⋅b a ，25=+b a ，则b =
A ．B
C ．5
D ．25
5．设α，β是两个不同的平面，直线m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.若函数()2sin(4)(0)f x x ϕϕ=+<的图象关于直线24
x π
=对称，则ϕ的最大值
为 A ．53
π-
B ．23
π-
C ．6
π-
D ．56
π-
7.若,x y 满足约束条件30
0x y a x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩
且目标函数2z x y =+的最大值为10，则a 等于 A ．-3 B ．-10 C ．4 D ．10
8.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记 为(mod )N n m =，例如104(mod6)=．下面程序框 图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》． 执行该程序框图，则输出的n 等于 A ．17 B ．16
C ．15
D ．13
9. 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列， S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝ A ．2 B ．－2
C. 1
2
D ．－12
10.已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+ 的点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行， 则实数a =
A ．
1
e e
- B ．
21
e e
- C ．
1
2e e
- D ．
21
2e e
- 11. 在等腰直角三角形ABC 中, AB=AC=2，点P 是边AB 上 异于,A B 的一点,光线从点P 出发,经,BC CA 发射后又回到
原点P (如图1).若光线QR 经过ABC ∆的重心,则AP 等于 A ．12 B ．1
C ．
43 D ．
23
12. 已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CD 上的动点（不含端点），过M 作//MH DE 交CE 于H ，作//MG AD 交BD 于G ，连结GH ．设CM x =(03)x <<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）
13. 偶函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．
14. 已知正三棱柱的高与底面边长均为2， 其直观图和正(主)视图如右，则它的左(侧)视图 的面积是 ．
C
D
直观图
正视图
15.在ABC ∆中，,3sin 8sin 3
B C A π
==，且ABC ∆的面积为ABC ∆的周
长为 ．
16. 记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2x
y =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值
域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中，点),(1+n n a a 在直线2+=x y 上，且首项1a 是方程
01432=+-x x 的整数解.
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）数列}{n a 的前n 项和为n S ，等比数列}{n b 中，11a b =，22a b =，数列}{n b
的前n 项和为n T ，当n n S T ≤时，请直接写出n 的值.
18．（本小题满分12分）
已知函数()f x x ω，π
()sin()(0)3
g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为
π.
（Ⅰ）若()f α=
[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平
面AEF ⊥平面EFCB ，2EF =，四边形EFCB 的等腰梯形，//EF BC ，O 为EF 的中点． （1）求证：AO CF ⊥； （2）求O 到平面ABC 的距离．
20. （本小题满分12分）
如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆，圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 位
于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向tan ∠BCO ＝4
3.
(1)求新桥BC 的长．
(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
21.（本小题满分12分）
已知函数2
(1)()ln 2
x f x x -=-．
(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；
（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有 ()()1f x k x >-．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）
已知直线l
的参数方程为233x t y t ⎧=-+
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t
为参数）
，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的方程为)2sin 4
π
ρθθ=--．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）点P Q 、分别为直线l 与曲线C 上的动点，求PQ 的取值范围．
23.（本小题满分10分） 设函数()f x x a =-．
（1）当2a =时，解不等式()71f x x ≥--； （2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，
11
(0,0)2a m n m n
+=>>，
求证：43m n +≥．
福州八中2016—2017学年高三毕业班第三次质量检查
数学(文)试卷参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）
DCACB BCADB DA
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的横线上）
13. 3 14. 15. 18 16. 3
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题12分）
解：（I ）根据已知11=a ，21+=+n n a a 即d a a n n ==-+21， ……2分
所以数列}{n a 是一个等差数列，12)1(1-=-+=n d n a a n ………4分
（II ）数列}{n a 的前n 项和2n S n =
……………6分
等比数列}{n b 中，111==a b ，322==a b ，所以3=q ，1
3-=n n b
……9分
数列}{n b 的前n 项和2
133131-=--=n
n n T
……10分
n n S T ≤即22
1
3n n ≤-，又*N n ∈，所以1=n 或2
…12分
18.（本小题12分）
（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π，
所以
2||
ωπ
=π，解得2ω=． ………… 3分
由 ()
f α=
2α= 即 cos 22α=， ………… 4分 所以 π
22π4
k α=±
，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888
α∈--. ………… 6分
（Ⅱ）解：函数 π
()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-
ππ
2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+-
1sin 2cos 222x x =
+π
sin(2)3
x =+， ……8分 由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， …………10分 解得 5ππ
ππ1212
k k x -
+≤≤． ……11分 所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.………12分
19．（本小题12分）
（1）证明：因为AEF ∆等边三角形，O 为EF 的中点，所以
AO EF ⊥． ．．．．．．．．．．．．．．1分
又因为平面AEF ⊥平面,EFCB AO ⊂平面AEF ，平面AEF
平面
EFCB EF =，
所以AO ⊥平面EFCB ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又CF ⊂平面EFCB ，所以
AO CF ⊥．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）解：取BC 的中点G ，连接OG ．
由题设知，OG BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由（1）知AO ⊥平面EFCB ，又BC ⊂平面EFCB ，所以OA BC ⊥， 因为OG
OA O =，所以BC ⊥平面AOG ．．．．．．．．． 8分
过O 作OH AG ⊥，垂足为H ，则BC OH ⊥，因为AG BC G =，所以OH ⊥平面
ABC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为OG AO =
=OH =
O 到平面ABC （另外用等体积法谈亦可）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20. （本小题12分）
解： 方法一：
(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC
轴， 建立平面直角坐标系xOy .--1分
由条件知A (0, 60), C (170，0)，
直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4
3
.
又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.---2分
设点 B 的坐标为(a ，b )，
则k BC ＝b －0a －170＝－4
3， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，--------4分
所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.--------------------------------------------6分 (2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－4
3(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.
由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d － 680|42＋32
＝680－3d 5.-----8分
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，
r －（60－d ）≥80，
即⎩⎨⎧680－3d
5
－d ≥80，680 － 3d
5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.-----10分
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5最大， 即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大．--------12分 方法二：
(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .
因为 tan ∠FCO ＝4
3
，
所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝3
5.
因为OA ＝60，OC ＝170，
所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503
， 从而AF ＝OF －OA ＝500
3.
因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝4
5
.
又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝400
3， 从而BC ＝CF －BF ＝150.
因此新桥BC 的长是150 m.---------6分
(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)． 因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .
故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5
.
因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，
r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d
5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.
故当d ＝10时， r ＝680 － 3d
5最大，即圆面积最大，
所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大．------12分
21．（I ）()211
1x x f x x x x
-++'=-+=，()0,x ∈+∞．
由()0f x '>得2010
x x x >⎧⎨-++>⎩
解得0x <<．
故
()
f x
的单调递增区间是
⎛ ⎝⎭
．
-------------------3分
（II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()2
1F x x x
-'=．
当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<，所以()F x 在[)1,+∞上单调递减， 故当1x >时，
()()F F 10
x <=，即当1x >时，
()1
f x x <----------6分
（III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．-----7分
当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意．-------8分
当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，
则有()()2111G 1x k x x x k x x
-+-+'=-+-=． 由()G 0x '=得，()2
110x k x -+-+=．
解得10x =<，21x =>．
当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增．
从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-，
综上，k 的取值范围是(),1-∞．
---------12分
22． 解：（1）∵2cos 2sin 2sin 2cos ρθθθθ=+-=，
∴2
2cos ρρθ=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
又sin ,cos y x ρθρθ==，∴222x y x +=，
∴C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）l 的普通方程为(2)2
y x =+，即20x +=．．．．．．．．．．．．．7分
∴圆C 的圆心到l 的距离为
d ==PQ 的最小值为11d -=，
∴PQ 的取值范围为)
1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．解：（1）当2a =时，不等式为217x x -+-≥，∴1217x x x <⎧⎨-+-≥⎩
或12217x x x ≤≤⎧⎨-+-≥⎩或2217
x x x >⎧⎨-+-≥⎩，∴2x ≤-或5x ≥． ∴不等式的解集为(][),25,-∞-+∞． ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分
（2）()1f x ≤即1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤解集是[]0,2，．．．6分 ∴1012
a a -=⎧⎨+=⎩，解得1a =，所以111(0,0)2m n m n +=>>，．．．．．．．．．．．．．．7分
∴1144(4)()3322n m m n m n m n m n
+=++=++≥．（当且仅当
21,4m n +==
时取等号）．．．．．．．．．10分
考数学文答案 第2页 共2页。