chap7 Fluid-dynamics-VII-1

Z

1

p z

uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
伯努利方程
z 1 p 1 u2 C
2g
实际工程问题并不限于一元流动，还有大量问题属于二元流动和三元流动，即运动参 数沿两个或三个坐标轴都发生变化。
第七章 理想流体二元不可压缩流动
实际工程问题并不限于一元流动，还有大量问题属于二元流动和三元流动，即运动参 数沿两个或三个坐标轴都发生变化。
§7-1流体微团运动的分析，势流和涡流
一、流体微团运动分析
平面上点A附近的矩形流体微团ABCD ，经过某瞬时dt后移至A’B’C’D’位置，
可能有四种情况：1、平移运动；2、单
纯的线变形运动，微团横向伸长而纵向
缩短；3、单纯的角变形运动，A点位置
不变，但围绕A点互相垂直的两边各有
转动，转动的方向相反，转角大小相等
dz

1 2
ux z

uz x
0
dz
把式（7-3），（7-4），（7-5）代入得
u x u x0 ydz - zdy xxdx xydy xzdz
角变形率
xy

yx

1 2

u y x

u x y

yz
zy

u x y

x

1 2

u z y

u y z

y

1 u x 2 z

u z x

左手律
（7-4） （7-5）
用流体微团运动的基本关系来表达空间中邻近两点间的速度变化关系。取空间任一
点O处的速度分量为 ux0 , uy0 , u z0 ，距O点ds处某点的速度分量为 ux , uy , uz 。有

y

1 2

u x z

uz x


0
或
u x z

u z x

（7-7）
z

1
2

u y x

u x y


0
或
u y

u x

x y
由数学分析知道式(7-7)是使 u xdx u ydy u zdz 为某一函数 的全微分的必要和
表明了作用在总流上的重力、压力、惯性力和阻力的平衡关系。
const,
z1

p1

V12 2g

z2

p2

V22 2g
hw

1 g
2 V ds 1 t
惯性水头
1 2 V ds 液流由于当地加速度而引起的惯性力在断面1-1至2-2距离上对
g 1 t 单位重量液体所作的功
式(7-9) 代表此标量场与流速场之间的关系。称函数 为速度势。对有势流动，只需求 出速度势 ，即可由式（7-9）求出各速度分量。
ux


x
,
uy


y
,
uz


z
例7-2圆管中层流运动，取管轴线与ox轴重合时其流速特性为
u x u m k y2 z2 uy 0, uz 0
一、流体微团运动分析 研究流体的二元或三元流动，必须以整个流场为对象，分析
空间中任一坐标点处的运动参量的变化，这就必须分析流体 微团的运动特点，而后建立整个流场中的运动规律。
流体的主要特征是具有连续变形的性质。
刚体质点的运动只表现为移动和旋转
流体质点的运动则除了移动和旋转以外，突出地表现为变形 运动。
，各边长不变；4、单纯的旋转运动，A
点位置不变，微团质点围绕A点向同方
向转动相同的角度。
线变形和角变形合称为变形运动
流体微团的基本运动形式:平移、旋转和变形运动； 变形运动正是流体的主要特征。
下面进一步分析这些运动形式和流速变化之间的关系。设微团ABCD的边长为dx和 dy,如图所示。
设A点处的流速为u x及u y，
最常遇到的是绕流问题，或是流体绕过静止物体如桥墩、海上钻井平台、水上输油管 道；或是物体在流体中运动使流体绕过物体，如水下航行的潜艇，空中飞行的飞机。 再如离心式水力机械作为转子的叶轮旋转过程中，流体绕过格栅的运动，将形成更复 杂的流场。
关于绕流的研究，如果计入流体的粘性，将在数学分析上遇到很大困难。1904年 普朗特提出的附面层理论，使绕流的研究大为简化。据此，对绕流的研究，一般先分 析附面层外部的流场的理想流体的运动，而后结合理论分析和实验验证确定绕流阻力 的大小。

1 2

u z y

u y z


zx
xz

1 u x 2 z
u z x



旋转角速度
z

1 2

u y x

u x y

x

1 2

u z y

u y z

y
率、角变形率和旋转角速度。
解 因是平面流场，u z 0，
线变形率
xx
u x x
2xy 2 1 2 4
yy

u y y
2xy
2 1 2 4
角变形率
xy

yx

1 2

u y x

u x y


1 2
uz

u z0


x
dy
-

y
dx


zz
dz


zx
dx


zy
dy

各式右边第一项为平移速度，第二、三两项为旋转引起的速 度增量；第四项为线变形引起的速度增量；第五、六两项为角度 变形引起的速度增量。
可见流场中任一点的流速都可以由平移、旋转和变形三部分组成 。
例7-1设有平面流场 ux x2y y2, uy x2 y2x ，求此流场在点（1，2）处的线变形
针旋转为正)。
把单位时间的角变形之半定义为角变形率，以 xy 表示xoy平面上角变形率即
xy

1 2
1
2
1 2

u y x

u x y

(7-2)
综上，二元流动时
平移速度
ux, uy
线变形率 角变形率 旋转角速度
xx

u x x
,
yy

u y y
2x - y2
x2 2y
旋转角速度
1 x 2 y2 2x y 1 1 4 2 3 3
2
2
2
z

1 uy
2

x

ux y



1 2

2x-y2

x2
2y


x-y

1 2
x2 y2
其中 u m为管中心最大速度问此流场是否有旋？
1 5 3 1 22
二、势流和涡流
按照流体微团运动是否存在旋转，将流动划分为两大类型：无旋流动和有旋流 动。
1、无旋流动
此时，旋转角速度为零，称为势流。根据流体微团运动分析，势流的存在条件是
x

1 2

uz y

u y z


0
或
uz y

u y z
充分条件。因而有势流动中必然存在以下关系
u xdx u ydy u zdz d x dx y dy z dz
（7-8）
由此可见
ux


x
,
uy


y
,
uz


z
可以验证，势流是无旋的。
（7-9）
即在势流中必存在一个标量场x, y,z 。若为不稳定流动，则 x, y,z, t。
则B、C、D各点处的流速
分量将如图所示。经过时
间dt后，该微团运Biblioteka 到图示 ABCD 的位置。此时
A至 A 的水平和垂直移动
距离将分别是u xdt和 u ydt 而B至 B的水平移动距离？
由向同于的理B线在处变y方水形向平率的分（线速单变比位形A时处率间快为、单uxyxy位dx长,故u度yyA的B线边变长形在）x方为向要uxx拉，伸以uxxxxd表xd示t，，亦即即微 xx团在uxxx方。
xx

ux x
dxdt
dxdt= ux x
xx

u x x
yy

u y y
围绕点A原来相互垂直的两边AB和AD，经时间dt后，方位发生变化。因B点在y方
向的分速度比A点在y方向的分速度具有增量 u y dx ，故AB边产生一个逆时针方向的 x
转动，成为 AB。若令单位时间的转角速度为 1 ，则AB的转角为
线的旋转角速度，定义为围绕z轴的旋转角速度,以 z 表示（z轴垂直于xoy平面)，即
z

1 2
1
2
1 2

u y x

u x y

(7-1)
当AB旋转角速度 1 为正，AD旋转角速度 2为负， 夹角将减小；若 2为正, 1 为负，则夹角将增大(设顺时
前面各章所述有关流体的运动，曾涉及到三元流动的一般表达方法，但分析的重 点主要是一元流动。
欧拉运动方程

X


1

p x

ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
Y

1

p y

u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
上节课内容复习与回顾
一元不稳定流动与水击现象：
(VA) A 0
连续性方程：
s
t
若 const , A与t无关 VA Q f (t)
(一定瞬时，流量沿程不变)
z 1 p 1 (V V V ) 40 0
运动方程： s s g t s D
(1)流体压缩状态。 增压波；
(2)恢复静止，阀 门处负 ，p 减压 波开始；
(3)液体处于膨胀 状态(减压)；
(4)开始恢复初 始(关前)状态
相长
0

2l c
水击压力 p cVo
水击传播速度
c c0 1 D E e E0
c0
E

(液内声速)
➢ 返回
第七章 理想流体二元不可压缩流动

1 u x 2 z

u z x

同理，对其他两个速度分量也可写出类似的关系式，而该点的速度可表达为
ux

u x0


y
dz
-
z
dy


xx
dx


xy
dy


xz
dz
u y u y0 zdx - x dz yydy yzdz yxdx（7-6）
yy

u y y
,
zz

uz z
将以上关系式代入 u x 式进行整理
ux

ux0


ux x

dx
0

1 2

ux y

uy x
dy 0

1 2

ux y

uy x
0
dy

1 2

ux z

uz x
0
角变形率 旋转角速度
xy

yx

1 2

u y x

u x y

yz

zy

1 2

u z y

u y z


zx
xz

1 u x 2 z

u z x



z

1 2

u y x
1dt


uy x
dxdt


dx

ux x
dxdt

忽略分母中的高阶微量，可得
1

u y x
同理AD边转到
AD的方位，其旋转角速度为 2


ux y
如果1 2 ，则微团作单纯旋转运动。实际上，可能会同时发生角变形，两边的 转角可能不等。习惯上把原来相互垂直的两边的旋转角速度的平均值亦即夹角的分角
u x u x0 du x ，u y u y0 du y，u z u z0 du z。将 u x 按泰勒级数展开有
ux

u xo


u x x
0
dx



u x y
0
dy


u x z
0
dz
线变形率
xx

ux x
,
第七章 理想流体二元不可压缩流动
本章着重分析附面层外部理想流体的运动。在具体分析这类问题时，又常先忽略 某些端部影响，把三元流动作为二元流动处理，即视为流体绕过无限长的中心轴线垂 直于来流方向的柱形物体所形成的平面流动。在实际问题中只要柱形物体有足够的长 度，这种近似的处理是可行的。
§7-1流体微团运动的分析，势流和涡流
xy

yx

1
2

uy x

ux y

z

1 2

uy x

ux y

以上关系推广到三元流场则流体微团运动的基本关系式可归纳为：
平移速度 线变形率
ux, uy, uz
xx

ux x
,
yy

u y y
,
zz

uz z
（7-3）