[原创]2016年 《南方新中考》 数学 第一部分 第四章 第4讲 第2课时 与圆有关的位置关系[配

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图 4-4-31
(1)求证:∠BCA=∠BAD;
(2)求 DE 的长;
(3)求证:BE 是⊙O 的切线.
数学知识
20
(1)证明:∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD. ∵∠BCA=∠BDA,∴∠BCA=∠BAD. (2)解:∵∠BDE=∠CAB(圆周角定理)且∠BED=∠CBA =90°, ∴△BED∽△CBA. ∴BADC=DABE,即1123=D12E.解得 DE=11434.
PB.若 PB=4,则 PA 的长为________. 解析:连接 CP,PB 的延长线交⊙C 于 P′,如图 4-4-26,
∵CP=5,CB=3,PB=4,∴CB2+PB2=CP2,∴△CPB 为直
角三角形,∴∠CBP=90°,∴CB⊥PB,∴PB=P′B=4.∵∠C
=90°,∴PB∥AC,而 PB=AC=4,∴四边形 ACBP 为矩形,
图 4-4-29
数学知识
16
解:(1)直线 CD 和⊙O 的位置关系是相切.
理由如下:如图 D40,连接 OD.
∵AB 是⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵∠CDA=∠CBD,
图 D40
∴∠DAB+∠CDA=90°.
∵OD=OA,
∴∠DAB=∠ADO.
∴∠CDA+∠ADO=90°.∴∠ODC=90°.即 OD⊥CE.
图 D41
数学知识
21
(3)证明:连接 OB,OD(如图 D41). 在△ABO 和△DBO 中,
ABBO==DBOB,, OA=OD, ∴△ABO≌△DBO(SSS).∴∠DBO=∠ABO. ∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC. ∴OB∥ED. ∵BE⊥ED,∴EB⊥BO.∴BE 是⊙O 的切线.
∴PA=BC=3.在 Rt△APP′中,∵PA=3,PP′=8,∴P′A
= 82+32= 73,∴PA 的长为 3 或 73.
数学知识
8
图 4-4-26 答案:3 或 73. [思想方法]圆是轴对称图形,也是中心对称图形,因此在 确定圆的位置时应该运用分类讨论的思想考虑是否有多种情 况.
数学知识
9
证明:(1)连接OE.∵CD与⊙O相切, ∴OE⊥CD.∴∠CEO=90°. ∵BE∥OC,∴∠AOC=∠OBE,∠COE=∠OEB. ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB. ∴∠AOC=∠COE.
数学知识
13
在△AOC 和△EOC 中, OA=OE, ∠AOC=∠COE, OC=OC,
∴△AOC≌△EOC(SAS). ∴∠CAO=∠CEO=90°. ∴AC与⊙O相切,即AC是⊙O的切线.
【试题精选】 1.(2015 年湖南湘西)⊙O 的半径为 5 cm,点 A 到圆心 O 的 距离 OA=3 cm,则点 A 与圆 O 的位置关系为( ) A.点 A 在圆上 B.点 A 在圆内 C.点 A 在圆外 D.无法确定 答案:B
数学知识
10
2.(2015 年湖南张家界)如图 4-4-27,∠O=30°,C 为 OB 上 一点,且 OC=6,以点 C 为圆心,半径为 3 的圆与 OA 的位置 关系是( )
数学知识
22
做三角形的内心
切线的性质
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线
判定定理
和判定
是圆的切线
数学知识
4
(续表)
知识点
内容 性质定理 圆的切线___垂__直___于过切点的半径
注意 经过切点并垂直于切线的直线必过圆心
切线的性质 和判定
切线长的 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间 概念 线段的长,叫做这点到圆的切线长 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线
图 4-4-28
(1)求证:AC 是⊙O 的切线.
(2)若 BD=OB=4,求弦 AE 的长.
数学知识
12
[ 思 路 分 析 ](1) 连 接 OE , 设 法 证 明 ∠CAO = 90° , 证 明 △AOC≌△EOC即可推理出结论.(2)在Rt△ODE中,根据直角 三角形的性质可得OB=BE,由此可得到△OBE是等边三角形, 再由勾股定理或三角函数关系求出AE的值.
图 4-4-27
A.相离 C.相切
B.相交 D.以上三种情况均有可能
答案:C
[名师点评]判断点(直线)与圆的位置关系的关键是运用点
(直线)到圆心的距离 d 和圆的半径 r 之间的数量关系进行比较.
数学知识
11
切线的判定与性质 例 3:(2015 年黑龙江绥化)如图 4-4-28,以线段 AB 为直径 作⊙O,CD 与⊙O 相切于点 E,交 AB 的延长线于点 D,连接 BE,过点 O 作 OC∥BE 交切线 DE 于点 C,连接 AC.
第2课时 与圆有关的位置关系
数学知识
1
1.探索并了解点与圆的位置关系. 2.知道三角形的内心和外心. 3.掌握切线的概念;探索切线与过切点的半径的关系,会 用三角尺过圆上一点画圆的切线.
数学知识
2
知识点
内容
(1)d<r ⇔点 P 在⊙O 内; 点与圆的位
(2)d=r ⇔点 P 在⊙O 上; 置关系
数学知识
14
(2)在 Rt△DEO 中,BD=OB, ∴BE=12OD=OB=4. ∵OB=OE,∴OB=OE=BE. ∴△BOE 为等边三角形,∴∠ABE=60°. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AEB=90°. ∴AE=BE·tan60°=4 3.
数学知识
15
【试题精选】 3.(2014 年甘肃天水)如图 4-4-29,点 D 为⊙O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且∠CDA=∠CBD. (1)判断直线 CD 和⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)过点 B 作⊙O 的切线 BE,交直线 CD 于点 E.若 AC=2, ⊙O 的半径是 3,求 BE 的长.
∴直线 CD 是⊙O 的切线,即直线 CD 和⊙O 相切.
数学知识
17
(2)∵AC=2,⊙O的半径是3,∴OC=2+3=5,OD=3. 在Rt△CDO中,由勾股定理,得CD=4. ∵CE切⊙O于D,EB切⊙O于B, ∴DE=EB,∠CBE=90°. 设DE=EB=x,在Rt△CBE中,由勾股定理,得 CE2=BE2+BC2,即(4+x)2=x2+(5+3)2. 解得x=6,即BE=6.
[解题技巧]添加有关切线辅助线的原则是:有点连半径,
证垂直;无点作垂直,证半径.
数学知识
18
1.(2011年广东)如图4430,AB与⊙O相切于点B,AO的延长 线交⊙O于点C,连接BC,若∠A=40°,则∠C=_______.
答案:25°
图 4-4-30
数学知识
19
2.(2013 年 广 东 ) 如图4431, ⊙O是Rt△ABC的 外接圆 , ∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC 的延长线于点E.
切线长定理 长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角
数学知识
5
点、直线与圆有关的位置关系 例 1:(2014 年湖南益阳)如图 4-4-25,在平面直角坐标系 xOy 中,半径为 2 的⊙P 的圆心 P 的坐标为(-3,0),将⊙P 沿 x 轴正方向平移,使⊙P 与 y 轴相切,则平移的距离为( )
图 4-4-25
A.1
B.1 或 5C.3来自D.5数学知识
6
解析:当⊙P 位于y 轴的左侧且与y 轴相切时,平移的距 离为 1;当⊙P 位于y 轴的右侧且与y 轴相切时,平移的距离为 5.
答案:B
数学知识
7
例2:(2015年浙江义乌)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=
3,AC=4,点 P 在以 C 为圆心,5 为半径的圆上,连接 PA ,
(3)d>r⇔点 P 在⊙O 外
位置关系
相离
相切
直线和圆的 图形
位置关系
公共点个数
0个
1个
数量关系
d>r
d=r
数学知识
相交
2个 d<r
3
(续表)
知识点
内容
外心
三角形的三个顶点确定的圆叫做外接圆,其圆 心是三角形三边的垂直平分线的交点,这个交
三角形的外 心和内心
内心
点叫做三角形的外心 和三角形的三边都相切的圆叫做内切圆,其圆 心是三角形三条角平分线的交点,这个交点叫
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