广东省广州市普通高中18届高三数学上学期期末模拟试题03

2018届高三上学期数学期末模拟试题03
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．若集合{}0,4A =，{}2
2,B a =，则“2a =”是“A ∩B ={4}”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．若0.52a =，log 3b π=，22log sin 5
c π=，则
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
3．下列说法中，正确的是
A ．命题“若22ax bx <则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“2,0t R t t ∃∈-≤”的否定是2,0t R t t ∀∈->
C ．命题“p 且q ”为假命题，则命题“p ”和命题“q ”均为假命题
D ．抛物线24y x =的准线方程为1y =-
4．已知向量a =(x －1，2)，b =(y ，－4)，若a ∥b ，则向量,12y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭c 与向量()0,1=-d 的
夹角为
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．135°
5．已知()35
cos ,cos ,513
ααβα=+=-、β都是锐角，则cos β=
A ．6365
-
B ．3365
-
C ．
3365
D ．
6365
6．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则它的俯视图不可能为 ①长方形；②正方形； ③圆；④椭圆，其中正确的是
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
7．函数()cos f x x x =+的大致图象是
8．将函数()sin cos f x x x =的图像向左平移4
π个长度单位，纵坐标不变再将横坐标压缩为原来
的12
，得到函数g (x )的图像，则g (x )的一个增区间可能是 A ．(,0)π-
B. (0,)2π
C. (,)2ππ
D. (,)42
ππ
9．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 10．已知圆222()()x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点,且与直线3420x y ++=相切,
则该圆的方程为 A ．2264
(1)25
x y -+=
B ．2264(1)25
x y +-=
C ．22(1)1x y -+=
D ．22(1)2x y +-=
11．偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当[]0,1x ∈时, ()1f x x =-，则关于x 的方程1
()()9
x
f x =在[]0,3x ∈上解的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．已知数列{}n a 的通项公式1()3
n n a =，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，
记,)A
m n （表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A = A ．931()3 B ．921()3 C ．941()3
D ．1121()3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分）
13．已知双曲线22
221x y a b
-=
的渐近线方程为y =, 则它的离心率为 .
14．曲线211y x =+在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 .
15．若实数,x y 满足10,
0,0,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨
⎪≤⎩
，则()3log 21z x y =++的值域是 .
16．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：11
a a
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩，，．设函数2()(2)(1)f x x x =-⊗-，
R x ∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
_______.
三、解答题（满分74分） 17.（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a 2
+b 2
=6ab cos C ，且sin 2
C =2sin A sin B . （Ⅰ）求角C 的值；
（Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6
f x x x π
ωωω=-->，且()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π，
求()f C 的值.
18.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n a 是12n S 和的等差中项.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若21()2
n b n a =，设n n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
19（本小题满分12分）
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x 万元，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）,当年产量不小于80千件时，
10000
()511450C x x x
=+
-（万元）,每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完，
（Ⅰ）写出年利润L (x )（万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
20．（本小题满分12分，在答题卷上自己画图）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，
∠ADC =90°，BC =1
2
AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点.
（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；
（Ⅱ）已知点M 为线段PC 的中点，证明：PA //平面BMQ .
21．（本小题满分13分）
已知函数f (x )= 13
x 3+12(a +2)x 2
+ax ，x ∈R ,a ∈R .
（Ⅰ）若f ′(0)=－2，求函数f (x )的极值；
（Ⅱ）若函数f (x )在(1,2)上单调递增，求a 的取值范围.
22．（本小题满分13分，在答题卷上自己画图）
已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>，短轴的一个端点到右焦点的距离为3.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)过椭圆C 上的动点P 引圆222:O x y b +=的两条切线PA ，PB ，A ，B 分别为切点，试探究椭圆C 上是否存在点P ，使PA ⊥PB ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择：1.A 2.A 3.B 4.D 5. C 6. B 7.B 8. D 9.C 10.C 11.D 12.A 二、填空：13.2 14. 10 15.［0，1］ 16. (](]2,11,2-⋃ 三、解答题：
又因为2sin 2sin sin C A B =,则由正弦定理得:，22c ab = ……………4分
所以221cos 442
c ab C ab ab ===,所以3C π=.
…………………6分
（Ⅱ）3()sin()cos cos )6
2
3
f x x x x x x ππωωωωω=--=
-=-,
由已知()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π可得
2,2π
πωω
==,
则()),3
f x x π
=- …………………10分
因为3
C π=
,
所以3())3
3
2
f c ππ⨯-=，.…………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）由题意知12,02n n n a S a =+> ，
………………1分
当1n =时，1111
1222a a a =+∴=
； 当2n ≥时，1111
2,222
n n n n S a S a --=-=-；
两式相减得1
122n n n n n a S S a a --=-=-，整理得：1
2n n a
a -=， ………4分
∴数列{}n a 是以12
为首项，2为公比的等比数列.21112221
2---=⨯=⋅=n n n n a a ……5分
（Ⅱ）由2
2422n
b n n a --==得42n b n =-，所以n
n n n n n n a b C 28162242-=-==-，………………7分
则有 n
n n n
n T 2
8162824282028132-+-⋯+-++=
- ① 1322
8162824202821+-+-+⋯++=n n n n n T ② ①－②得 2816)212121(8421--
+⋯++-=n n T 21
111
(1)16822481212
n n n -+-----
=111168444(1)222n n n n n -+---
-=，…………10分 所以82n n
n T =. ………………12分
当80≥x 时，10000()(0.051000)511450250L x x x x =⨯--+-=100001200x x ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭， ……4分 所以2
140250(080),3()100001200(80).
x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨
⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩
……………………………………………… 6分 （Ⅱ）当080x <<时，21()(60)950.3
L x x =--+此时，当60x =时，
()L x 取得最大值(60)950L =万元；………………………………………………8分 当80≥x 时，L(x)=1200－100001200
12002001000x x x
⎛⎫+
≤-=-= ⎪⎝
⎭， 此时，当10000x x =时，即100x =时L (x )取得最大值1000万元.……………… 11分
所以当年产量为100千件．．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.………12分 20．（本小题满分12分）
（1）证明：⑴△PAD 中，PA =PD ，Q 为AD 中点，∴PQ ⊥AD ，（2分）
底面ABCD 中，AD //BC ，BC =1
2
AD ,∴DQ //BC ,DQ =BC ，
∴BCDQ 为平行四边形，由∠ADC =900
，
∴∠AQB =900
，∴AD ⊥BQ ，………………4分 由AD ⊥PQ ,AD ⊥BQ ,BQ ∩PQ =Q ,PQ 、BQ ⊂面PBQ ，
∴AD ⊥平面PBQ . ……………………………………6分
（2）连接CQ ,AC ∩BQ =N ,由AQ //BC ,AQ =BC ,∴ABCQ 为平行四边形，∴N 为AC 中点， 由△PAC 中，M 、N 为PC 、AC 中点，MN //PA ，
由MN ⊂面BMQ ，PA ⊄面BMQ ， PA //面BMQ . ………………………………12分
21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f′(x )=x 2
+(a +2)x +a , 由f′ (0)=－2，得a =－2，………1分
∴f (x )=13
x 3－2x ， f′(x )=x 2
－2，令f′(x )=0，得x = 2 或x =－2，………… 2分
当x变化时，f′(x)，f (x)变化情况若下表：
由上表得()(()
f x f f x f
====
极大极小
7分（Ⅱ）若函数ƒ(x)在（1,2）上单调递增，则ƒ/(x)=x2+(a+2)x+a≥0在x∈（1，2）上恒成立，
∴a≥
22
1
x x
x
+
-
+
,在x∈(1，2)上恒成立. ……………………………………………… 9分令h(x)=－
22
,(1,2)
1
x x
x
x
+
∈
+
,因为h′(x)=
22
22
(22)(1)(2)(1)1
(1)(1)
x x x x x
x x
++-+++
-=-<
++
, ∴h(x)在(1,2)上单调递减，所以h(x) < h(1)=－
3
2
，
∴a≥－
3
2
，因此a的取值范围为[－
3
2
，+∞）.……………………………………13分22. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,
依题意
222
3
c
a
a
a b c
⎧
=
⎪
⎪⎪
=
⎨
⎪=+
⎪
⎪⎩
解得b=2.
所以所求椭圆方程
22
1.
94
x y
+=…………………………………………………………5分
(Ⅱ)如图,设P点坐标为()
00
,
x y.若90
APB
∠=,则有OA AP
=,
即OA=
有2=22
00
8
x y
+=①，
又因为P在椭圆上,所以22
00
4936
x y
+=②，联立①②解得
22
00
364
,
55
x y
==……10分
所以满足条件的有以下四组解
00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以，椭圆C
上存在四点⎝⎭
，⎝⎭
，⎛ ⎝⎭
，
⎛ ⎝⎭
，分别由这四点向圆O 所引的两条切线互相垂直.…………………13分。