中考数学试题中的应用性问题与解题技巧的研究
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２０１８年 第 ２期 （下）
中学数 学研 究
４１
中考数 学试题 中的应 用性 问题 与解题 技巧 的研究
安徽 省合 肥师范学院数学－９统计学院 （２３０６０１） 阮征
一 、 引 言 中考数学试题 是命 题人员集体智 慧的结 晶，也是广大数
毛收入 ＝卖 出价 一购进价： 增 长率 ＝增加数量 ／原本数量 ×ｌＯＯ％；
２０１８年 第 ２期 （下）
解 （１）根据题 葸有 ＡＦ／／ＢＣ，所 以 ＺＡＣＢ ＝ ＺＧＡＦ， 长度就增加 ｄｃｍ．如 图 ３所示，已知每个 菱形 图案 的边长为
又 ＺＡＢＣ ＝ ＺＡＦＧ ＝ ９０。，所 以 ＡＡＢＣ ＡＧＦＡ 所 以 ｌＯＶ￣ｃｍ，其 中一个 得
Ｂ －３＿２（ｍ）， ＣＤ
＝ （２＋３）＿３．２＝１＿８（ｍ）．
（２）设楼梯应建ｎ个台阶，则｛【ｍ２礼＞２～，解得 ０．２ｎ ＜ ３．２
１４＜ ｎ ＜ １６．所 以楼 梯 应 建 １５个 台 阶 ．
图 ３
（２００７年安徽省第 ２３题） 按下 图 ２所示 的流程，输入 一个数据
ｌ
＾
１
（１）若 ｄ＝ ２６ｃｍ，则该纹饰要用 ２３１个菱形 图案 ，求纹饰
的长度 Ｌ；
（２）当 ｄ＝２０ｃｍ 时，若保持 （１）中纹饰 长度不变 ，则需要
多少个这样 的菱形图案？
．
解 （１）菱 形 图案 水平方 向的对角 线长 为 ２ Ｘ １０ ×
ＣＯＳ３０。＝ ３０ｃｍ．根 据 题 意，Ｌ ＝ ３０＋ ２６ Ｘ （２３１一 １）＝
是每个数学教师的 当务之急 ．
（一）中考数学应用性 问题常考 的热点聚焦 １．基 本关 系 （复利问题）
图 １
基数 ×（１＋平 均增 长率 ） ＝ ｎ次增长后的到达数； 基数 ×（１－平 均增 长率 ： ｎ次增长后的到达数；
（１）要使墙 角 Ｆ 到楼 梯 的竖直距 离 ＦＧ 为 １．７５ｍ，楼梯 底 端 到墙角 Ｄ 的距离 ＣＤ是多少米 ？
２．其他公 式
（２）在 （１）的条 件下 ，为保 证上楼 时 的舒 适感，楼梯 的每
本金 ×利率 ×所定期数 ：利息 （单利 问题）；
个 台阶小于 ２０ｃｍ，每个 台阶宽 要大 于 ２０ｅｒａ，问汪老师 应该
本金 ＋ 利息 ＝本息 ；
将 楼梯 建儿个 台阶？为什么？
４２
中学数学 研究
考查 学生 对 “双基”的掌握 、数学思考水平 、解决 问题 的能力； 试题 素材 的背景要 密切联系学生 的实际生活，贴 近学生 的认 知水 平；更 要注 重学生 动手操作 能力和创 新探究 能力．近年 来，各地 中考命题 出现 了信息类 、环保类 、建模 类 、学科 综合 类 等众多 新型应 用题，在近几 年安徽 省 中考数学试 题 中，我 们可 以发 现 中考数 学命题 改革 的趋势 中应用性 问题 已成为 中考数学 的必考题 和经 典题 型，出应用性题 目的宗 旨是引导 学生从 已有的知识 和生 活经验 出发，在解题过程 中体 会数学 与生活 的密切联 系以及感受生活 中的数学美 ．
性问题简要概 括为方程与方程组 、不等式与不等式组 、函数 、
概率 与统计 、几 何五 大类，而初 中数学 的各 个领域 恰好涵 盖
在这五大类应用性 问题 中，并且与我们 的 日常生活息息相关，
所 以关 注热 点问题 、把握 中考 动 向，让学生 把握好应 用性 问
题 的解 题方法 和技巧 ，使 学生在 这类题 目上不失 分 、少失 分
波利亚强调指 出Ｉ‘‘中学数学教学首要 的任务 就是加强解 题训 练．”有 很多初 中生总是 为学 习数学烦恼 ，参 加 中考 时， 他们 的数 学总是很难考 到 自己理想 的分数，这其 中很 大的原 因就 在于他 们的数 学基础 薄弱 、解题 技巧欠 缺，只记得那 些 死板僵 化 的方法。而不会 灵活运 用，对应用 性题 目表现 出束 手无策．所 以研究 中考数学 中的应用性 问题及其解题 技巧具 有非常重大 的意义 ．
６０１０ｃｍ ．
（２）当 ｄ＝２０ｃｍ 时，设需要 个 这样 的菱形 图案，则有 ：
二 、剖 析 中考数 学 应用性 问题
剖析安徽 省近几年 的中考数 学真题，可 以将考查 的应 用
２．不等式模型 ３．函数模型 ４．统 计 模 型 ５．几 何 模 型 （三）中考数 学应 用性 问题 的解题 思路 中考数 学中的应用性 问题 的解题 思路可 以概括 为阅读、 理解 材料 给出的信 息、将实际 问题转化 为数学 问题 、利用 所 学知识 解决 问题 、最后再 运用 到实 际问题等 步骤，这是解 决 应用 性问题最 常用 的建模 思想，当然，不 同的应用 性问题 运 用到 的解题方法和思路也是不 同的． 三 、试 题再 现 （２００６年安徽 省 第 １８题 ）汪老 师要装 修 自己带 阁楼 的 新居 （下 图 １为新居剖 面图），在建造客厅到 阁楼 的楼梯 ＡＣ 时，为避 免 上楼 时墙 角 Ｆ碰 头，设计 墙角 Ｆ 到楼 梯 的竖 直 距离 ＦＧ为 ｌ，７５ｍ 。他量得客 厅高 ＡＢ ＝ ２．８ｍ，楼梯洞 口宽 ＡＦ ＝ ２ｍ，阁楼阳台宽 ＥＦ ： ３ｍ．请你帮助汪老师解决下列 问 题 ：
， 根据 Ｙ与 的关 系式 就输 出一个 数据 Ｙ，这样可 以将一 组数据 变换成 另 一组新 的数 据．要使 任意一组都 在 ２０一 ｌｏｏ（含 ２０和 １００）之 间 的数据， 变 换成 一组 新数 据后 能满 足下 列两 个要求 ： （Ｉ）新数据都在 ６０一ｌｏｏ（含 ６０和 １００） 之 间 ：
学教师进行教学研究 的重要素材．如何 深入领悟 中考数学试
降低率 ＝减少数量 ／原本数量 ×１００％．
题 的突 出特色和教学价值也 一直是我们关注 的重 点．而 中考
（二）中 考 应 用 性 问题 的 常 考 模 型
数 学试题 应 以数 学课 程标准 为依据，以学 生发展 为本，全面
１．方程模型
中学数 学研 究
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中考数 学试题 中的应 用性 问题 与解题 技巧 的研究
安徽 省合 肥师范学院数学－９统计学院 （２３０６０１） 阮征
一 、 引 言 中考数学试题 是命 题人员集体智 慧的结 晶，也是广大数
毛收入 ＝卖 出价 一购进价： 增 长率 ＝增加数量 ／原本数量 ×ｌＯＯ％；
２０１８年 第 ２期 （下）
解 （１）根据题 葸有 ＡＦ／／ＢＣ，所 以 ＺＡＣＢ ＝ ＺＧＡＦ， 长度就增加 ｄｃｍ．如 图 ３所示，已知每个 菱形 图案 的边长为
又 ＺＡＢＣ ＝ ＺＡＦＧ ＝ ９０。，所 以 ＡＡＢＣ ＡＧＦＡ 所 以 ｌＯＶ￣ｃｍ，其 中一个 得
Ｂ －３＿２（ｍ）， ＣＤ
＝ （２＋３）＿３．２＝１＿８（ｍ）．
（２）设楼梯应建ｎ个台阶，则｛【ｍ２礼＞２～，解得 ０．２ｎ ＜ ３．２
１４＜ ｎ ＜ １６．所 以楼 梯 应 建 １５个 台 阶 ．
图 ３
（２００７年安徽省第 ２３题） 按下 图 ２所示 的流程，输入 一个数据
ｌ
＾
１
（１）若 ｄ＝ ２６ｃｍ，则该纹饰要用 ２３１个菱形 图案 ，求纹饰
的长度 Ｌ；
（２）当 ｄ＝２０ｃｍ 时，若保持 （１）中纹饰 长度不变 ，则需要
多少个这样 的菱形图案？
．
解 （１）菱 形 图案 水平方 向的对角 线长 为 ２ Ｘ １０ ×
ＣＯＳ３０。＝ ３０ｃｍ．根 据 题 意，Ｌ ＝ ３０＋ ２６ Ｘ （２３１一 １）＝
是每个数学教师的 当务之急 ．
（一）中考数学应用性 问题常考 的热点聚焦 １．基 本关 系 （复利问题）
图 １
基数 ×（１＋平 均增 长率 ） ＝ ｎ次增长后的到达数； 基数 ×（１－平 均增 长率 ： ｎ次增长后的到达数；
（１）要使墙 角 Ｆ 到楼 梯 的竖直距 离 ＦＧ 为 １．７５ｍ，楼梯 底 端 到墙角 Ｄ 的距离 ＣＤ是多少米 ？
２．其他公 式
（２）在 （１）的条 件下 ，为保 证上楼 时 的舒 适感，楼梯 的每
本金 ×利率 ×所定期数 ：利息 （单利 问题）；
个 台阶小于 ２０ｃｍ，每个 台阶宽 要大 于 ２０ｅｒａ，问汪老师 应该
本金 ＋ 利息 ＝本息 ；
将 楼梯 建儿个 台阶？为什么？
４２
中学数学 研究
考查 学生 对 “双基”的掌握 、数学思考水平 、解决 问题 的能力； 试题 素材 的背景要 密切联系学生 的实际生活，贴 近学生 的认 知水 平；更 要注 重学生 动手操作 能力和创 新探究 能力．近年 来，各地 中考命题 出现 了信息类 、环保类 、建模 类 、学科 综合 类 等众多 新型应 用题，在近几 年安徽 省 中考数学试 题 中，我 们可 以发 现 中考数 学命题 改革 的趋势 中应用性 问题 已成为 中考数学 的必考题 和经 典题 型，出应用性题 目的宗 旨是引导 学生从 已有的知识 和生 活经验 出发，在解题过程 中体 会数学 与生活 的密切联 系以及感受生活 中的数学美 ．
性问题简要概 括为方程与方程组 、不等式与不等式组 、函数 、
概率 与统计 、几 何五 大类，而初 中数学 的各 个领域 恰好涵 盖
在这五大类应用性 问题 中，并且与我们 的 日常生活息息相关，
所 以关 注热 点问题 、把握 中考 动 向，让学生 把握好应 用性 问
题 的解 题方法 和技巧 ，使 学生在 这类题 目上不失 分 、少失 分
波利亚强调指 出Ｉ‘‘中学数学教学首要 的任务 就是加强解 题训 练．”有 很多初 中生总是 为学 习数学烦恼 ，参 加 中考 时， 他们 的数 学总是很难考 到 自己理想 的分数，这其 中很 大的原 因就 在于他 们的数 学基础 薄弱 、解题 技巧欠 缺，只记得那 些 死板僵 化 的方法。而不会 灵活运 用，对应用 性题 目表现 出束 手无策．所 以研究 中考数学 中的应用性 问题及其解题 技巧具 有非常重大 的意义 ．
６０１０ｃｍ ．
（２）当 ｄ＝２０ｃｍ 时，设需要 个 这样 的菱形 图案，则有 ：
二 、剖 析 中考数 学 应用性 问题
剖析安徽 省近几年 的中考数 学真题，可 以将考查 的应 用
２．不等式模型 ３．函数模型 ４．统 计 模 型 ５．几 何 模 型 （三）中考数 学应 用性 问题 的解题 思路 中考数 学中的应用性 问题 的解题 思路可 以概括 为阅读、 理解 材料 给出的信 息、将实际 问题转化 为数学 问题 、利用 所 学知识 解决 问题 、最后再 运用 到实 际问题等 步骤，这是解 决 应用 性问题最 常用 的建模 思想，当然，不 同的应用 性问题 运 用到 的解题方法和思路也是不 同的． 三 、试 题再 现 （２００６年安徽 省 第 １８题 ）汪老 师要装 修 自己带 阁楼 的 新居 （下 图 １为新居剖 面图），在建造客厅到 阁楼 的楼梯 ＡＣ 时，为避 免 上楼 时墙 角 Ｆ碰 头，设计 墙角 Ｆ 到楼 梯 的竖 直 距离 ＦＧ为 ｌ，７５ｍ 。他量得客 厅高 ＡＢ ＝ ２．８ｍ，楼梯洞 口宽 ＡＦ ＝ ２ｍ，阁楼阳台宽 ＥＦ ： ３ｍ．请你帮助汪老师解决下列 问 题 ：
， 根据 Ｙ与 的关 系式 就输 出一个 数据 Ｙ，这样可 以将一 组数据 变换成 另 一组新 的数 据．要使 任意一组都 在 ２０一 ｌｏｏ（含 ２０和 １００）之 间 的数据， 变 换成 一组 新数 据后 能满 足下 列两 个要求 ： （Ｉ）新数据都在 ６０一ｌｏｏ（含 ６０和 １００） 之 间 ：
学教师进行教学研究 的重要素材．如何 深入领悟 中考数学试
降低率 ＝减少数量 ／原本数量 ×１００％．
题 的突 出特色和教学价值也 一直是我们关注 的重 点．而 中考
（二）中 考 应 用 性 问题 的 常 考 模 型
数 学试题 应 以数 学课 程标准 为依据，以学 生发展 为本，全面
１．方程模型