河南省安阳市内黄一中分校高一数学下学期第一次月考试卷(含解析)

河南省安阳市内黄一中分校2014-2015学年高一下学期第一次月考
数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）
A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）
C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）
2．若ABCD是正方形，E是CD的中点，且=，=，则=（）
A．+B．﹣C．+D．﹣
3．若，则等于（）
A．B．C．D．
4．有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是（）
A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④
5．函数y=sin（﹣2x）的单调递减区间是（）
A．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z
C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z
6．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
7．若α是第三象限角，则y=+的值为（）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
8．若tanα=2，则的值为（）
A．0 B．C．1 D．
9．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5
10．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）
A．B．C．D．10
11．若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
12．已知函数的定义域为，值域为[﹣5，1]，则函
数g（x）=a bx+7在[b，a]上，（）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值1 D．有最小值1
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的值是．
14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ中边上的一点，且，则y=．
15．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．
16．当x∈[，]时，函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数
y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
18．已知f（θ）=cosθ﹣sinθ∈（0，π）
（1）若，求f（θ）的值；
（2）θ∈（0，π），解不等式f（θ）＞0．
19．已知||=3，||=6，与的夹角为θ，
（1）若∥，求•；
（2）若（﹣）⊥，求θ．
20．已知tan（π﹣α）=2，计算
．
21．设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值．
22．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象过点P（，0），图象上与点P最近的一个最高点是Q（，5）
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的单调递增区间；
（3）求使y≤0的x的取值范围．
河南省安阳市内黄一中分校2014-2015学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（）
A．2kπ+45°（k∈Z）B．k•360°+π（k∈Z）
C．k•360°﹣315°（k∈Z）D．kπ+（k∈Z）
考点：终边相同的角．
专题：规律型．
分析：题目要写出与的终边相同的角，只要在该角基础上加2π的整数倍即可，但角度
值和弧度制不能混用．
解答：解：与的终边相同的角可以写成2kπ+π（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混
用，所以只有答案C正确．
故选C．
点评：本题考查了终边相同的角的概念，解答的关键是明确终边相同的角相差2π的整数倍，同时注意角度值和弧度制不能混用．
2．若ABCD是正方形，E是CD的中点，且=，=，则=（）
A．+B．﹣C．+D．﹣
考点：向量加减混合运算及其几何意义．
专题：计算题．
分析：利用向量的加、减法法则将用基向量表示出即可．
解答：解：如图，=﹣=+﹣=+﹣=b﹣a．
故选B．
点评：考查向量的加法原理与向量的减法原理，以及平面向量基本定理．
3．若，则等于（）
A．B．C．D．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题．
分析：用诱导公式可得=cos[﹣（）]=，即可得答案．
解答：解：=cos[﹣（）]=，
故选：C．
点评：本题考查利用诱导公式进行化简求值，得到=cos[﹣（）]，是解题的关键．
4．有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②横坐标变为原来的，再向左平移；
③横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的；
其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为的图象的是（）
A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：计算题．
分析：直接利用函数的图象的平移变换，由正弦曲线y=sinx的图象变为
的图象，即可得到选项．
解答：解：正弦曲线y=sinx的图象向左平移，得到函数的图象，再将横坐标变为原来的，变为的图象；
将正弦曲线y=sinx的图象横坐标变为原来的，得到函数y=sin2x的图象，再向左平移，变为的图象；
故选A．
点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意两种变换的方式的区别．
5．函数y=sin（﹣2x）的单调递减区间是（）
A．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z
C．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用诱导公式可得本题即求函数y=sin（2x﹣）的单调递增区间．令 2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，求得x的范围，可得函数y=sin（﹣2x）的单调递减区间．
解答：解：函数y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）的单调递减区间，即函数y=sin（2x ﹣）的单调递增区间．
令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，
故函数y=sin（2x﹣）的单调递增区间，
即函数y=sin（﹣2x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
故选：D．
点评：本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想，属于基础题．
6．已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）
A．﹣B．﹣C．D．
考点：三角函数中的恒等变换应用．
分析：用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论．
解答：解：sin4α﹣cos4α
=sin2α﹣cos2α
=2sin2α﹣1
=﹣，
故选B．
点评：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．
7．若α是第三象限角，则y=+的值为（）
A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
考点：三角函数值的符号．
专题：三角函数的求值．
分析：首先，根据α是第三象限角，确定的取值情况，然后，再结合三角函数在各个象
限的符号进行求解即可．
解答：解：∵α是第三象限角，
∴π+2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z，
∴+kπ＜＜+kπ，
①当k为偶数时，k=2n，n∈Z，
+2nπ＜＜+2nπ，此时为第二象限角；
∴sin＞0，cos＜0，
∴y=+=0，
②当k为奇数时，k=2n+1，n∈z，
+2nπ＜＜+2nπ，此时为第四象限角．
∴sin＜0，cos＞0，
∴y=+=0，
故选：A．
点评：本题综合考查了象限角的概念，角在各个象限内的符号等知识，属于中档题．8．若tanα=2，则的值为（）
A．0 B．C．1 D．
考点：同角三角函数间的基本关系；弦切互化．
分析：根据齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）直接可得答案．
解答：解：利用齐次分式的意义将分子分母同时除以cosα（cosα≠0）得，
故选B．
点评：本题主要考查tanα=，这种题型经常在考试中遇到．
9．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5
考点：向量的加法及其几何意义．
分析：解题时应注意到，则M为△ABC的重心．
解答：解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，
则==，
所以有，故m=3，
故选：B．
点评：本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．
10．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）
A．B．C．D．10
考点：平行向量与共线向量；向量的模．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：由向量平行与垂直的充要条件建立关于x、y的等式，解出x、y的值求出向量
的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．
解答：解：∵，且，
∴x•2+1•（﹣4）=0，解得x=2．
又∵，且，
∴1•（﹣4）=y•2，解之得y=﹣2，
由此可得，，
∴=（3，﹣1），
可得==．
故选：B
点评：本题给出向量互相平行与垂直，求向量的模．着重考查了向量平行、垂直的充要条件和向量模的公式等知识，属于基础题．
11．若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：设与的夹角为θ，0≤θ≤π，由，可得=0，再利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=﹣，由此可得θ的值．
解答：解：设与的夹角为θ，则0≤θ≤π，∵，∴=0．
再由=（）•=+=1+1×2×cosθ=0，可得cosθ=﹣，
∴θ=，即θ=120°，
故选C．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．
12．已知函数的定义域为，值域为[﹣5，1]，则函
数g（x）=a bx+7在[b，a]上，（）
A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值1 D．有最小值1
考点：正弦函数的定义域和值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：此题考查正弦型函数的值域问题，配合指数函数的单调性最值问题，设t=2x+，x∈，那么t∈[，]是关键
解答：解：∵已知函数的定义域为，值域为[﹣5，1]
∴不妨设t=2x+，x∈，那么t∈[，]
∴h（t）=f（x）=2asint+b，a＞b
∴f（x）max=h（）=2asin+b=1①
f（x）min=h（）=2asin+b=﹣5②
由①②解得，
∴a=2，b=﹣3
又∵g（x）=2﹣3x+7在[﹣3，2]上单调递减
∴g（x）min=g（2）=2
即，函数g（x）=a bx+7在[b，a]上有最小值2
故选：B．
点评：此题考查正弦型函数的值域问题，需要采用换元的思想，是一道基础题目，也是2015届高考常见题型．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的值是﹣．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可得解．
解答：解：=sin（3π）=﹣sin=﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ中边上的一点，且，则y=﹣8．
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：三角函数的求值．
分析：根据三角函数的第二定义，我们可得sinθ=（r表示点P到原点的距离），结合p （4，y）是角θ中边上的一点，且，我们可以构造出一个关于y的方程，解
方程即可求出y值．
解答：解：若P（4，y）是角θ中边上的一点，
则点P到原点的距离r=
则=，则y=﹣8
故答案为：﹣8
点评：本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，其中根据三角函数的第二定义将已知条件转化为一个关于y的方程是解答本题的关键．
15．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意和向量的运算可得=，结合=λ1+λ2，可得λ1，λ2的值，求和即可．
解答：解：由题意结合向量的运算可得=
==
==，
又由题意可知若=λ1+λ2，
故可得λ1=，λ2=，所以λ1+λ2=
故答案为：
点评：本题考查平面向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，属中档题．
16．当x∈[，]时，函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域为[，2]．
考点：三角函数的最值．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：利用同角三角函数间的关系与二次函数的配方法可求得y=2+，
x∈[，]⇒﹣≤sinx≤1，从而可求函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域．
解答：解：∵y=3﹣sinx﹣2cos2x
=2sin2x﹣sinx+1
=2+，
∵x∈[，]时，
∴﹣≤sinx≤1，
∴当sinx=时，y min=；
当sinx=﹣时，y max=2；
∴函数y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域为[，2]．
故答案为：[，2]．
点评：本题考查复合函数的值域，着重考查二次函数的配方法与正弦函数的单调性与值域，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数
y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：（1）依题意可得，解之即可．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得g（x）的解析式，令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a 的最小值．
解答：解：（1）因为ω＞0，y=f（x）=2sinωx在上单调递增，
∴，解得0＜ω≤．
∴ω的取值范围为（0，]．
（2）令ω=2，将函数y=f（x）=2sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）+1的图象，
令g（x）=0，求得sin（2x+）=﹣，
∴2x+=2kπ+，或 2x+=2kπ+，k∈z，
求得x=kπ+或x=kπ+，k∈z，
故函数g（x）的零点为x=kπ+或x=kπ+，k∈z
∴相邻两个零点之间的距离为或．
若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，
所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，
∴b﹣a﹣14π≥．
另一方面，在区间[，14π++]恰有30个零点，
因此b﹣a的最小值为14π+=．
点评：本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于中档题．
18．已知f（θ）=cosθ﹣sinθ∈（0，π）
（1）若，求f（θ）的值；
（2）θ∈（0，π），解不等式f（θ）＞0．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）利用三角函数的基本关系式解之；
（2）在（0，π）解不等式f（θ）＞0．
解答：解：（1）因为sin，θ∈（0，π），所以cos，
所以f（θ）=cosθ﹣sinθ=或f（θ）=；
（2）f（θ）＞0，即cosθ﹣sinθ＞0，所以cosθ＞sinθ，又θ∈（0，π），所以θ∈（0，）．
所以f（θ）＞0的解集为（0，）．
点评：本题考查了三角函数的基本关系式以及三角不等式的解法．
19．已知||=3，||=6，与的夹角为θ，
（1）若∥，求•；
（2）若（﹣）⊥，求θ．
考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）当∥时，夹角为θ=0°或180°，由数量积的定义可得；（2）由垂直可得（﹣）•=0，可得cosθ的方程，解方程可得cosθ，可得θ．
解答：解：（1）||=3，||=6，与的夹角为θ
当∥时，夹角为θ=0°或180°，
∴•=||||cosθ=±18；
（2）∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，
∴=9﹣3×6×cosθ=0，
解得cos，∴θ=60°
点评：本题考查平面向量的夹角公式，涉及向量的平行和垂直，属中档题．
20．已知tan（π﹣α）=2，计算
．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：已知等式利用诱导公式化简求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形将tanα的值代入计算即可求出值．
解答：解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=2，即tanα=﹣2，
∴原式====．
点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及诱导公式的作用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
21．设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值．
考点：向量的共线定理．
专题：计算题．
分析：利用向量的运算法则求出；将三点共线转化为两个向量共线；利用向量共线的充要条件列出方程；利用平面向量的基本定理列出方程，求出k的值．
解答：解：∵
若A，B，D三点共线，则共线，
∴
即
由于不共线可得：
故λ=2，k=﹣8
点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理．22．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象过点P（，0），图象上与点P最近的一个最高点是Q（，5）
（1）求函数的解析式；
（2）指出函数的单调递增区间；
（3）求使y≤0的x的取值范围．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+即可解得函数的增区间．
（3）由y=sinx的满足y≤0的x的取值范围是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z，即y=5sin（2x﹣）≤0时，有2x﹣∈[2kπ﹣π，2kπ]，从而解得x的取值范围．
解答：解：（1）由题意可得A=5，=，求得ω=2
∴y=5sin（2x+φ）
将（，5）代入解析式得：5=5sin（+φ）
∴+φ=2kπ+，k∈z
∴φ=﹣+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜π
令k=0，则有φ=﹣
∴y=5sin（2x﹣）
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），
得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]．k∈Z．
（3）∵y=sinx的满足y≤0的x的取值范围是[2kπ﹣π，2kπ]，k∈z
∴y=5sin（2x﹣）≤0时，有2x﹣∈[2kπ﹣π，2kπ]，
∴x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．
点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．。