无锡市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题含解析

无锡市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末预测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以
线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
A B
C D ．
13
【答案】A 【解析】
以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222
x y a +=，
直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
d a =
=，
整理可得2
23a b ，即()222
3,a a c =-即2223a c =，
从而22
22
3
c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===
， 故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
2====，则,a b 的值分别是（ ） A ．48，7 B ．61，7
C ．63，8
D ．65，8
【答案】C 【解析】 【分析】
仔细观察已知等式的数字可发现=根据此规律解题即可. 【详解】
===,
=故当8n =时,28,8163b a ==-=, 故选C. 【点睛】
本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 3．若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得不等式22ln 30x x x mx +-+≥成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．
1
32e e
+- B ．
3
2e e
++ C ．4 D ．2e 1-
【答案】A 【解析】
2230xlnx x mx +-+≥
3
2m lnx x x
∴≤++
设()32h x lnx x x =++
，则()()()22
31231x x h x x x x +='-=+- 当
1
1x e
≤<时，()0h x '<，()h x 单调递减 当1x e <≤时，()0h x '>，()h x 单调递增
存在1x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，32m lnx x x ≤++成立 ()max m h x ∴≤，
1123h e e e ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =-++
()1h h e e ⎛⎫
∴> ⎪⎝⎭
1
32m e e
∴≤+-
故选A
点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础．
4．设三次函数()f x 的导函数为()f x '，函数()y x f x '=⋅的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）
A ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -
B ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f
C ．()f x 的极大值为(3)f ，极小值为(3)f -
D ．()f x 的极大值为(3)f -，极小值为(3)f 【答案】C 【解析】 【分析】
由()y x f x '=⋅的图象可以得出()y f x '
=在各区间的正负，然后可得()f x 在各区间的单调性，进而可得
极值. 【详解】 由图象可知：
当3x =-和3x =时，()=0x f x ⋅'，则(3)=(3)=0f f ''-； 当3x <-时，()0x f x '⋅>，则()0f x '<； 当30x -<<时，()0x f x '⋅<，则()0f x '>； 当03x <<时，()0x f x '⋅>，则()0f x '>； 当3x >时，()0x f x '⋅<，则()0f x '<.
所以()f x 在(,3)-∞-上单调递减；在(3,0),(0,3)-上单调递增；在(3,)+∞上单调递减. 所以()f x 的极小值为(3)f -，极大值为(3)f . 故选C. 【点睛】
本题考查导数与函数单调性的关系，解题的突破点是由已知函数的图象得出()f x '
的正负性. 5．命题 ，
；命题
，函数
的图象过点
，则
（ ）
A ．假真
B ．真假
C ．假假
D ．真真
【答案】A 【解析】 试题分析：∵，∴
，∴
或，∴不存在自然数，∴命题P 为假命题；
∵
，∴函数
的图象过点
，∴命题q 为真命题．
考点：命题的真假．
6．已知椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两
点，则1F AB ∆的内切圆半径为( ) A 2
B 22
C 32
D 42
【答案】C 【解析】
分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出1F AB ∆的面积S ，利用椭圆的定义求出三角形的周长c ，代入内切圆半径2S
r c
=
，从而可得结果. 详解：椭圆22
:143
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，
则2F 的坐标为()1,0，过2F 且斜率为1的直线为1y x =-，即1x y =+，
代入22
143
x y +=，得27690y y +-=，
则2126479122y y +⨯⨯-==
， 故1F AB ∆的面积1212
227
S c y y =
⋅⋅-=
， 1F AB ∆的周长48c a ==，
故1F AB ∆的内切圆半径232
7
S r c =
=
，故选C. 点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆
的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
7．下列关于曲线2
4:14
x y Γ+=的结论正确的是（ ）
A ．曲线Γ是椭圆
B ．关于直线y x =成轴对称
C ．关于原点成中心对称
D ．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4
【答案】C 【解析】 【分析】
A 根据椭圆的方程判断曲线2
4:14
x y Γ+=不是椭圆；B 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，判断
曲线Γ是否关于直线y x =对称； C 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，判断曲线Γ是否关于
原点对称； D 根据||2x ，||1y ，判断曲线24:14
x
y Γ+=所围成的封闭面积是否小于1．
【详解】
曲线2
4:14
x C y +=，不是椭圆方程，∴曲线Γ不是椭圆，A ∴错误；
把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，方程变为2414
y
x +=，∴曲线Γ不关于直线y x =对称，B 错误；
把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，方程不变，∴曲线Γ关于原点对称，C 正确；
||2x ，||1y ，∴曲线2
4:14
x C y +=所围成的封闭面积小于428⨯=，
令x y =∴=
所以曲线Γ上的四点,,（,（围成的矩形面积为
4>， 所以选项D 错误. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．
8．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步
行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A ．60里 B ．48里
C ．36里
D ．24里
【答案】C 【解析】 【分析】
每天行走的里程数{}n a 是公比为1
2
的等比数列，且前6和为378，故可求出数列的通项n a 后可得45a a +. 【详解】
设每天行走的里程数为{}n a ，则{}n a 是公比为
1
2
的等比数列， 所以16126112378112
a a a a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
++
+==-，故1192a =（里）
，所以4534111921923622a a +=⨯+⨯=（里），选C. 【点睛】
本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题. 9．设复数z 满足(1)3i z i -=+，则||z =( ) A
B
C
D
【答案】C 【解析】
由()13i z i -=+，得()()()()
31312111i i i z i i i i +++=
==+--+
，则z ==，故选C.
10．设S 为复数集C 的非空子集，若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集．下列命题：①集合{|,S a bi a b =+为整数，i 为虚数单位）}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集.其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意直接验证①的正误；令x ＝y 可推出②是正确的；举反例集合S ＝{0}判断③错误；S ＝{0}，T ＝{0，1}，推出﹣1不属于T ，判断④错误．
【详解】
解：由a ，b ，c ，d 为整数，可得（a+bi ）+（c+di ）＝（a+c ）+（b+d ）i ∈S ；
（a+bi ）﹣（c+di ）＝（a ﹣c ）+（b ﹣d ）i ∈S ；（a+bi ）（c+di ）＝（ac ﹣bd ）+（bc+ad ）i ∈S ； 集合S ＝{a+bi|（a ，b 为整数，i 为虚数单位）}为封闭集，①正确； 当S 为封闭集时，因为x ﹣y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，②正确； 对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；
取S ＝{0}，T ＝{0，1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0﹣1＝﹣1不属于T ，故T 不是封闭集，④错误． 故正确的命题是①②， 故选B ． 【点睛】
本题是新定义题，考查对封闭集概念的深刻理解，对逻辑思维能力的要求较高.
11．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）
A ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩
B ．2x t
y t =+⎧⎨=-⎩
C ．22x t
y t =⎧⎨=-⎩
D ．22x t
y t =⎧⎨=-⎩
【答案】D 【解析】 【分析】
由倾斜角求得斜率,由斜截式得直线方程,再将四个选项中的参数方程化为普通方程,比较可得答案. 【详解】
因为直线l 倾斜角是arctan 2π-,
所以直线l 的斜率tan(tan 2)tan arctan 22k arc π=-=-=-, 所以直线l 的斜截式方程为:22y x =-+,
由22x t
y t =+⎧⎨
=-⎩
消去t 得24y x =-+,故A 不正确;
由2x t y t
=+⎧⎨=-⎩消去t 得2y x =-+,故B 不正确; 由22x t y t
=⎧⎨
=-⎩消去t 得1
22y x =-+,故C 不正确;
由22x t
y t
=⎧⎨=-⎩消去t 得22y x =-+,故D 正确; 故选:D. 【点睛】
本题考查了直线方程的斜截式,参数方程化普通方程,属于基础题.
12．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．
516
B ．38
C ．
716
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可． 【详解】
设“东方魔板”的面积是4， 则阴影部分的三角形面积是1， 阴影部分平行四边形的面积是
12
则满足条件的概率1
13248
P +
=
= 故选：B 【点睛】
本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．用数学归纳法证明2135(21)n n ++++-=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上加上的项为
_______． 【答案】21k + 【解析】 【分析】
分n=k 和n=k+1写出等式左边的项，对比可得增加的项。

【详解】
当n=k 时，左边是()13521k ++++-，
当1n k =+时左边是()()1352121k k +++
+-++,
所以增加的项为21k +，填21k +。

【点睛】
运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．
14．若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为__________．
【答案】3 4
【解析】
分析：先确定4位同学中选出3位同学事件数，再确定甲被选中事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.
详解：因为4位同学中选出3位同学共有3
44
C=种，甲被选中事件数有2
33
C=,所以甲被选中的概率为
3
4
.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
15．的展开式中常数项为；各项系数之和为.（用数字作答）
【答案】10；32
【解析】
【分析】
【详解】
的展开式的通项为
由得故展开式中常数项为
取即得各项系数之和为.
16．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征
文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图，又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为________.
【答案】3400 【解析】 【分析】
计算高三所占扇形圆心角度数，再根据比例关系求得高三年级的交稿数. 【详解】
根据扇形统计图知，高三所占的扇形圆心角为36014480136--=. 且高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为136
2000340080
⨯=（份）
，故选：D. 【点睛】
本题考查扇形统计图的应用，解题时要根据扇形统计图的特点列等式求解，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()3
65f x x x =-+.
（1）求过()0,3点的切线方程；
（2）若方程()f x a =有3个不同的实根，求a 的取值范围。

（3）已知当()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）33y x =-+；（2）(542,545-+；（3）3k ≤- 【解析】 【分析】
求导带入求出切线斜率()0f '，再利用点斜式写出切线。

求出()f x 的单调区间，极值，则a 在极小值与极大值之间。

参变分离，求最值。

【详解】
(1)设切点为(
)
3
,65a a a -+
()236f x x ='-
()236k f a a ∴='=-切
切线过()0,3
3365362a a a a k a a
-+--+∴==切 32
3362363662a a a a a a a a -+-=⇒-=-+ 3221a a ⇒=⇒=
363k ∴=-=-切
:33l y x ∴=-+切
(2)对函数()365f x x x =-+求导，得函数()2
36f x x ='-
令()0f x '>，即2360x ->，解得x >x <()0f x '<
，即2360x -<，解得x <，
()
f x ∴的单调递增区间是(,-∞及
)+∞，单调递减区间是(
当x =()f x 有极大值5+
当x ，()f x 有极小值5-∴
当55a -<<+
直线y a =与()y f x =的图象有3个不同交点，
此时方程()f x a =有3个不同实根。

∴实数a 的取值范围为(5-+
(3)()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立， 也就是3651
x x k x -+≤-恒成立， 令()3651
x x g x x -+=-， 则()()()
225151x x x g x x x x +--==+--，
()g x ∴的最小值为3-，3k ∴≤-
【点睛】
本题考查曲线上某点的切线方程，两方程的交点问题以及参变分离。

属于中档题。

18．已知条件p ：方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；条件q ：双曲线22
15y x m
-=的离心率(()
1e a ∈>．
（1）若a=2，P={m|m 满足条件P}，Q={m|m 满足条件q}，求P Q ； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】 (1) 10,3P Q ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭ (2) 161,
15⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）分别求出：p ： 120m m ->>，解得P ，q ：0m >(，解得Q ，再根据集合的交集的概念得到P Q ;（2）根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，即可得出155
,13
a a -． 【详解】 （1）条件p ：方程22
121
x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆， 则120m m ->>，解得103m <<．∴10,3P ⎛⎫= ⎪⎝⎭
．
条件q ：双曲线22
15y x m -=的离心率(()1e a ∈>．0m >，
(
，解得05m <<．∴()0,5Q =． ∴10,3P Q ⎛
⎫⋂= ⎪⎝⎭
． （2）由（1）可得：10,3P ⎛
⎫= ⎪⎝⎭
．
条件q ：双曲线22
15y x m -=的离心率(()1e a ∈>．0m >，
(
，解得()0551m a a <<->．∴()()0,551Q a a =->．
∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件． ∴155,13a a -，解得16115
a <<． ∴实数a 的取值范围是161,15⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理得到如图1所示的频率分布直方图，其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图2所示，以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.
（1）求这批树苗的高度于1.60米的概率，并求图1中,,a b c 的值；
（2）若从这批树苗中随机选取4株，记ξ为高度在(]
1.40,1.60的树苗数量，求ξ的分布列和数学期望； （3）若变量S 满足()06826P S μσμσ-<≤+>.且()220.9544P S μσμσ-<≤+>，则称变量S 满
足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布，如果这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗是否被签收？
【答案】（1）概率为0.15，0.2a =， 1.3b =， 3.5c =（2）详见解析（3）将顺利被公司签收
【解析】
【分析】
（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15，记X 为树苗的高度，结合图1，图2求得()1.20 1.30P X <≤，()1.70 1.80P X <≤，()()1.30 1.40, 1.60 1.70P X P X <≤<≤，
()()1.40 1.50, 1.50 1.60P X P X <≤<≤，即可求得答案；
（2）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]
1.40,1.60的概率为
()1.40 1.600.70P X <≤=，因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，可得随机变量()~4,0.7B ξ，即可求的分布列，进而求得()E ξ；
（3）利用条件，计算出()P X μσμσ-<≤+= (1.40 1.60)0.7P X <≤=，从而给出结论.
【详解】
（1）由图2可知，100株样本树苗中高度高于1.60米的共有15株，
以样本的频率估计总体的概率，可知这批树苗的高度高于1.60米的概率为0.15，
记X 为树苗的高度，结合图1，图2可得：
()()21.20 1.30 1.70 1.800.02100P X P X <≤=<≤=
=， ()()131.30 1.40 1.60 1.700.13100P X P X <≤=<≤=
=， ()()()11.40 1.50 1.50 1.60120.0220.130.352
P X P X <≤=<≤=
-⨯-⨯=， ∴组距为0.1，
∴0.2a =， 1.3b =， 3.5c =. （3）以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗中随机选取1株，高度在(]
1.40,1.60的概率为()1.40 1.600.70P X <≤=，
因为从树苗数量这批树苗中随机选取3株，相当于三次独立重复试验，
∴随机变量()~4,0.7B ξ，分布列为：
∴()40.7 2.8E ξ=⨯=.
（3）由()1.5,0.01N ，取 1.5μ=，0.1σ=，
由（2）可知()()1.40 1.600.70.6826P S P X μσ
μσ-<<+=<≤=>， 又结合（1）可得()()22 1.30 1.700.960.9544P S P X μσ
μσ-<<+=<≤=>， ∴这批树苗的高度近似于正态分布()1.5,0.01N 的概率分布，应该认为这批树苗是合格的，将顺利被公司签收.
【点睛】
本题解题关键是掌握频率直方图基础知识和求二项式分布列，及其正态分布的实际应用,考查了分析能力
和计算能力，属于基础题.
20．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB BC ⊥，PD CD 丄，且2PA =，E 为PD 中点
.
（I ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B-AE-C 的正弦值.
【答案】（I ）见解析（II
）33 【解析】
【分析】
（I ）根据题目所给条件，利用直线与平面垂直的判定方法分别证明出BC ⊥平面PAB 以及CD ⊥平面PAD ，进而得到CD PA ⊥和BC PA ⊥，从而推得线面垂直．
（II ）根据已知条件，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立直角坐标系，分别求出平面ABE 和平面AEC 的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C 的正弦值．
【详解】
解：（I ）证明：∵底面ABCD 为正方形，
∴BC AB ⊥，又PB BC ⊥，AB PB B ⋂=，
∴BC ⊥平面PAB ，∴BC PA ⊥．
同理CD PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD
（II ）建立如图的空间直角坐标系A-xyz ，
则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(2,0,0)B ，(0,0,2)P
易知(0,1,1)E
设()111,,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，
又(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，∴111
020y z x +=⎧⎨=⎩令11y =-，11z =，得(0,1,1)m =-.
设()222,,n x y z =为平面AEC 的一个法向量，又(2,2,0)AC =
∴222
20220y z x y +=⎧⎨+=⎩令11y =-，11z =得(1,1,1)n =- 6cos(,)|||338
m n m n m n ⋅===-⨯. ∴二面角B-AE-C 的正弦值为
3. 【点睛】 本题主要考查了通过证明直线与平面垂直来推出直线与直线垂直，以及利用向量法求二面角的问题，解题时要注意根据图形特征或者已知要求确定二面角是锐角或钝角，从而得出问题的结果．
21
．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点()2,1M ，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为()0m m ≠，l 交椭圆于,A B 两个不同点.
（1）求椭圆的标准方程以及m 的取值范围；
（2）求证直线,MA MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
【答案】（1）{}22
1,22082
x y m m m +=-<<≠且（2）见解析. 【解析】
（1）设椭圆方程为
则 ∴椭圆方程
∵直线l 平行于OM ，且在轴上的截距为m 又 ∴l 的方程为： 由
∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，
∴m 的取值范围是
（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可
设
可得 而
∴k1＋k2=0故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.
点睛：解答本题的第一问是，直接依据题设条件建立含,,a b c 方程组，通过解方程组求出基本量228,2a b ==，进而确定椭圆的标准方程，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助交点的个数建立不等式求出参数m 的取值范围；求解第二问时，依据题意先将问题转化为证明直线,MA MB 的斜率之和为0的问题来处理，再联立直线与椭圆的方程组成的方程组，借助坐标之间的关系进行推证而获解． 22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l ：222212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆O 的极坐标方程为24πρθ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭
. （Ⅰ） 求圆心的极坐标； （Ⅱ）设点M 的直角坐标为(2,1)，直线l 与圆O 的交点为,A B ,求MA MB ⋅的值.
【答案】 (1) 2,
4π⎫⎪⎭
. (2)1.
【解析】
分析：（I ）先把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再写出圆心的直角坐标，再化成极坐标. （Ⅱ）利用直线参数方程t 的几何意义解答.
详解：（I ）由题意可知圆的直角坐标系方程为2222x y x y +=+，所以圆心坐标为（1,1）， 所以圆心的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （II ）因为圆的直角坐标系方程为2222x y x y +=+，直线方程为22221x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
， 得到2210t t +-=所以1MA MB ⋅=. 点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点A 在定点
上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点下方
时,0,|t t PB =-且.。