衡水内部资料-高中数学-双曲线(解析版)

3.2.2 双曲线
考点一双曲线的离心率
【例1】（
2020·云南省下关第一中学高二月考）若实数数列：1，a，81成等比数列，则圆锥曲线
2
21
y
x
a
+=的离心率是（）
A B C D．
1
3
或10
【答案】A
【解析】由1，a，81成等比数列有：281
a=，所以9
a=±，
当9
a=时，方程为
2
21
9
y
x+=，表示焦点在y轴的椭圆，
其中13
a=，
1
c==，故离心率1
1
3
c
e
a
==；
当9
a=-时，方程为
2
21
9
y
x-=，表示焦点在x轴的双曲线，
其中21
a=，
2
c==，故离心率2
2
c
e
a
==,故选择A.
【一隅三反】
1．（2020·江苏南京）在平面直角坐标系xOy 中，若点P (0)到双曲线C ：22
219
x y a -=的一条渐近线
的距离为6，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．4
C D
【答案】A
【解析】双曲线C ：22
219x y a -=的一条渐近线为30x ay -=6=，解得a =
2c e a =
==.故选：A. 2．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b
-=(0,0)a b >>的左、右
焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，212||||PF F F =，1230PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B 1
C D 1
【答案】C
【解析】根据题意作图如下：
设
1222F F PF c ==.
∵1230PF F ∠=
∴1PF =
∵由双曲线焦半径公式知1P PF ex a =+=，22P PF ex a c =-=
∴22a c =-
∴1
2c e a =
==
故选C. 3．（2020·全国）已知1F ，2F 为双曲线22122:1x y C a b
-=的焦点，P 为222
x y c +=与双由线1C 的交点，且
有121
tan 4
PF F ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）
A B ．
2
C D
【答案】C
【解析】由题意知1290F PF ∠=︒， 在12Rt F PF 中，121
tan 4
PF F ∠=
，可设2PF m =，则14PF m =，
由勾股定理得，122F F c ==，
又由122PF PF a -=得23a m =，所以3
c e a ==
. 故选：C
4．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，
则该双曲线的离心率为（ ）
A B C D ．2
【答案】C 【解析】
双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线经过点(1,2)-，
∴点(1,2)-在直线b
y x a
=-上， ∴
2b
a
=．
则该双曲线的离心率为e ==
故选：C ．
考点二 直线与双曲线的位置关系
【例2】已知双曲线
x 2－
y 2
4
＝1，问当直线l 的斜率k 为何值时，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共
点．
【答案】见解析
【解析】①当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.
当4－k 2＝0，即k ＝±2时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线l 与双曲线只有一个公共点．当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52
.
综上可知，当k ＝5
2
或k ＝±2或直线l 的斜率不存在时，过点P 的直线l 与双曲线都只有一个公共点．
【一隅三反】
1．（2018·福建高二期末（理））若直线y kx 2=+与双曲线22
x y 6-=的右支交于不同的两点，则k 的取
值范围是( )
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎛ ⎝⎭
C ．⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6，得x 2－(kx ＋2)2＝6，
化简得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，由题意知2121210
000k x x x x ⎧-≠⎪
∆>⎪⎪
+>⎨⎪⋅>⎪⎪⎩
，，
，
即()
2
2
221640104011001k k k k k ⎧+->⎪⎪
⎪>⎨-⎪
-⎪
>⎪-⎩
，，，
解得3-＜k ＜－1. 答案：D.
2．（2020·天水市第一中学高二月考（理））直线l ：1y kx =+与双曲线C ：22
2x y -=的右支交于不同的
两点，则斜率k 的取值范围是（） A
．( B ．(11)-， C
．(1)- D
．(1)(1-⋃ 【答案】C
【解析】由2221
x y y kx ⎧-=⎨=+⎩ 可得，()221230k x kx ---= ，因为直线:1l y kx =+与双曲线22
:2
C x y -=交于不同的两点，所以， ()
2
2
22412102013
01k k k k k ⎧+->⎪⎪⎪>⎨-⎪-⎪>⎪-⎩
解得12k -<<- ，所以斜率k
的取值范围是12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
，故选C. 3．（2020·四川资阳）直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则实数k 的值为 A ．－1或1 B ．－1 C ．1 D ．1，－1，0
【答案】A
【解析】因为直线l ：kx －y －2k ＝0过定点(2,0),而直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，所以直线l ：kx －y －2k ＝0与双曲线渐近线平行，即实数k 的值为－1或1，选A .
4．（2020·宁波市北仑中学高一期中）过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y
当直线l 与x 轴垂直时，AB 4=，满足题意
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l
：(y k x =-，
联立直线与双曲线方程得：(
2222
y k x x y ⎧=⎪⎨
-=⎪⎩
，整理得：2
2
22(2)320k x
x k -+--=，
所以2122322k x x k +=-，
12x x +=
，又AB =
4=
，解得：2k =±
， 综上：满足这样的直线l 的条数为3条
考点三 弦长
【例3】（2019·全国高三课时练习）过双曲线22
136
x y -=的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，
B 两点，O 为坐标原点，F 1为左焦点． (1)求|AB |；
(2)求△AOB 的面积． 【答案】（1
（2
【解析】(1)
由双曲线的方程得a b =
=
3c ==，F 1(－3，0)，F 2(3，0)．
直线AB
的方程为3)y x =
-． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
，由22
3)3
13
6y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得5x 2＋6x －27＝0. ∴1265x x +=-
，1227
5
x x ⋅=-
. ∴
AB ===
(2)直线AB
30
y
--=.
∴原点O到直线AB
的距离为
3
2
d==.
∴
113
||
222 AOB
S AB d
=⋅==
【一隅三反】
1．（2020·全国）已知直线y＝kx＋1与双曲线
2
21
4
y
x-=交于A，B两点，且|AB|＝
，则实数k的值
为() A．
±7B．±3或±
41
3
C．D．±
3
【答案】B
【解析】由直线与双曲线交于,A B两点，得2
k≠±，将1
y kx
=+代入
2
21
4
y
x-=得22
(4)250
k x kx
---=，则22
44(4)50
k k
∆=+-⨯>，即25
k<.
设11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，则
122
2
4
k
x x
k
+=
-
，
122
5
4
x x
k
=-
-
.
∴AB==
∴k=
3
k=±.故选B.
2．（2018·全国高二课时练习）求双曲线
2
21
4
y
x-=被直线1
y x
=+截得的弦长.【解析】由
2
21
4
1
y
x
y x
⎧
-=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
，得()2
2
4140
x x
-+-=，即2
3250
x x
--=．（*）
设方程（*）的解为1x，2x，则有122 3
x x
+=，
125 3
x x=-，
故
12
d x
=-===．
3．（2020·邢台市第八中学高二期末）已知双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>
>
是
双曲线的一个顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB.
【答案】(1)
22
1
36
x y
-
=；(2)
5
【解析】(1)因为双曲线C：
22
22
1(0,0) x y
a b
a b
-=>
>
是双曲线的一个顶点，所以
c
a
a
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
解得3,
c b
==
22
1
36
x y
-=
(2)双曲线
22
1
36
x y
-=的右焦点为2(3,0)
F
所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为
30°的直线的方程为3)
y x
=-．
联立
)
22
1
36
3
3
x y
y x
⎧
-=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
得2
56270
x x
+-=.
设()()
1122
,,,
A x y
B x y，则
1212
627
,
55
x x x x
+=-=-.
所以
5
AB==.
4．（2020·宾县第二中学高二期末（文））已知曲线22
:1
C x y
-=及直线:1
l y kx
=-．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A B
、两点，O是坐标原点，且
AOB
∆，求实数k的值．
【答案】（1
）()
1-；（2）0k =
或2
k =±
【解析】（1）由2211
x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y ，得()22
1220k x kx -+-=．
∵l 与C 左支交于两个不同的交点
∴()
222
104810
k k k ⎧-≠⎪
⎨∆=+->⎪⎩且121222220,011k x x x x k k +=-=--- ∴k
的取值范围为()
1-
（2）设()()1122,,A x y B x y 、，由（1）得121222
22
,11k x x x x k k
+=-=---． 又l 过点()0,1D -
，∴121
2
OAB S x x ∆=-= ∴(
)
(2
2
12x x -=，即2
22
28811k k k
⎛⎫
-+= ⎪--⎝⎭． ∴0k =
或k =
考点四 点差法
【例4】（1）（2020·黑龙江南岗）已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相
交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2
B
C
D ．3
（2）（2020·河南南阳.高二其他（文））直线l 经过()4,2P 且与双曲线2
212
x y -=交于M ，N 两点，如果
点P 是线段MN 的中点，那么直线l 的方程为（ ） A ．20x y --= B ．60x y +-= C ．2320x y --=
D ．不存在
（3）（2019·黑龙江大庆四中高二月考（理））已知双曲线2
212
x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直
线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k = A ．
12
B ．12
-
C ．2
D ．2-
【答案】（1）B （2）A （3）A
【解析】（1）设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，22
22
221x y a b -=，
所以2222
1212
22
x x y y a b
--=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又
12
12
2y y x x --=，
所以22222b a =⨯，即222b a =
，所以双曲线的离心率c e a ====== 故选：B.
（2）当斜率不存在时，显然不符合题意； 当斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，
因为点P 是线段MN 的中点，所以128x x +=，124y y +=，
代入双曲线方程得2
2112222
121
2
x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222
12122x x y y -=-，
则()
1212121212y y x x k x x y y -+=
==-+，又直线过点P ，所以直线方程为2y x =-，
联立2
2122x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩
，得到28100x x -+=，经检验>0∆，方程有解，
所以直线2y x =-满足题意.故选：A
（3）设直线l 的方程为1y k x b =+，代入双曲线方程2
212
x y -=
得到222
1112102k x bk x b ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，得到11221212
k b
x x k +=-
设()()111212,,,M x k x b N x k x b ++，则()11212,22k x x x x N b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
则21121212b k k x x k =+
=+，故1212
k k ⋅=，故选A ．
【一隅三反】
1．（2020·青海西宁）已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22
221x y a b -=（0a >，0b >）相交于A ，
B 两点，(4,2)M 是弦AB 的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A
B
C ．
3
2
D
．
2
【答案】D
【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，
所以直线的斜率tan
14
π
k ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，
则22
11221x y a b
-=① 2222
221x y a b
-=② 由①-②得
()()()()121212122
2
x x x x y y y y a b -+-+=
则21212
21212
y y b x x k x x a y y -+=
=⋅-+ 因为(4,2)M 是弦AB 的中点，
12128,4x x y y ∴+=+=
因为直线的斜率为1
22814b a ∴=⋅
即222211,22
b b a a == 所以2
2
2
2112c a b a ⎛
⎫=+=+
⎪⎝⎭
232
e ∴=，
则e =
， 故选：D
2．（2020·湖北武汉）已知,A B 分别为双曲线2
2
:13
y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F
作直线PQ 交双曲线于,P Q 两点（点,P Q 异于,A B ），则直线,AP BQ 的斜率之比:AP BQ k k =（ ） A ．1
3
- B ．3- C ．23
-
D ．32
-
【答案】B
【解析】由已知得双曲线:1a Γ=
，b =2c =．
故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．
设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．
由22213x my y x =-⎧⎪
⎨-=⎪⎩
消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，
∴1212
22129
,3131
m y y y y m m +=
=--，
两式相比得1212
34y y m y y +=⨯①， 12121211221122
1(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=
⨯==+--②， 将①代入②得：上式121
21121223
()33(3)4333()4
y y y y y y y y y y +--=
==--+-． 故:3AP BQ k k =-． 故选：B ．
3．（2019·会泽县第一中学校高二月考（理））点(81)P ，
平分双曲线2244x y -= 的一条弦，则这条弦所在直线的方程是__________． 【答案】2150x y --=
【解析】设弦的两端点分别为1122A
x y B x y （，），（，），AB 的中点是121281162P x x y y ∴+=+=（，），，， 把1122A x y B x y （，），（，）代入双曲线22
44x y ，
-= 得221122
22 44
44
x y x y ⎧-⎨-⎩＝＝ ， ∴
121212121212401680x x x x y y y y x x y y +---+=∴---=（）（）（）（），（）（），12
12
2y y k x x -∴==-，
∴这条弦所在的直线方程是2150x y ．--= 故答案为2150x y ．--=．。