2025届江苏省苏州市胥江实验中学九上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届江苏省苏州市胥江实验中学九上数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．若关于x 的一元二次方程()21630k x x -++=有实数根，则实数k 的取值范围为( )
A ．4k ≤，且1k ≠
B ．4k <，且1k ≠
C ．4k <
D ．4k ≤
2．对于一元二次方程230x x c -+=来说，当94c =
时，方程有两个相等的实数根：若将c 的值在94的基础上减小，则此时方程根的情况是（ ）
A ．没有实数根
B ．两个相等的实数根
C ．两个不相等的实数根
D ．一个实数根
3．如图，一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，其顶点P 在线段MN 上移动．若点M 、N 的坐标分别为(-1，-1)、(2，-1)，点B 的横坐标的最大值为3，则点A 的横坐标的最小值为( )
A ．-3
B ．-2.5
C ．-2
D ．-1.5
4．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=8，tan ∠ABD=34
，则线段AB 的长为（ ）
A 7
B ．7
C ．5
D ．10
5．已知正方形的边长为4cm ，则其对角线长是（）
A ．8cm
B ．16cm
C ．32cm
D ．42
6．在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为M ，P 为圆上一点，坐标为（3，1），则cos ∠POM=（ ）
A ．32
B ．12
C ．33
D ．22
7．剪纸是中国特有的民间艺术.以下四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 、B 的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C 的坐标是（ ）
A ．（1，1）
B ．（﹣1，﹣1）
C ．（1，﹣1）
D ．（﹣1，1）
9．如图，在Rt OAB 中，OA AB =，90OAB ∠=︒，点P 从点O 沿边OA ，AB 匀速运动到点B ，过点P 作PC OB ⊥交OB 于点G ，线段22AB =，OC x =，POC S y =△，则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在()110k y k x =
<上，顶点C 在()220k y k x
=>上，则平行四边形OABC 的面积是（ ）
A ．12k -
B ．22k
C ．12k k +
D ．21k k -
11．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．-1
D ．1
12．若抛物线y=x 2-2x-1与x 轴的一个交点坐标为（m ，0），则代数式2m 2-4m+2017的值为（ ）
A ．2019
B ．2018
C ．2017
D ．2015
二、填空题（每题4分，共24分）
13．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点A ，画过A 点的圆的切线．
画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C （与点A 不重合）处，使其一直角边经过点A ，另一条直角边与圆交于B 点，连接AB ；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A 重合，使一条直角边经过点B ，画出另一条直角边所在的直线AD ． 所以直线AD 就是过点A 的圆的切线．
请回答：该画图的依据是______________________________________．
14．计算：3×12＝______．
15．小刚和小亮用图中的转盘做“配紫色”游戏：分别转动两个转盘各一次，若其中的一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色，此时小刚赢，否则小亮赢．若用P1表示小刚赢的概率，用P2 表示小亮赢概率，则两人赢的概率P1________P2（填写>，=或<）
y x先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______.
16．将抛物线2
17．如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC=__________cm2.
18．小亮和他弟弟在阳光下散步，小亮的身高为1.75米，他的影子长2米．若此时他的弟弟的影子长为1.6米，则弟弟的身高为________米．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
20．（8分）已知关于的方程，若方程的一个根是–4，求另一个根及的值.
21．（8分）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得
△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设BD=a ，AD=b ，AB=c ，请探索a ，b ，c 满足的等量关系．
22．（10分）如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边）
，与y 轴交于点C ． （1）写出A B 、两点的坐标；
（2）二次函数()2
2:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ． ①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；
③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．
23．（10分）如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶_______
24．（10分）如图，在等腰三角形ABC 中，,AB AC AH BC =⊥于点H ，点E 是AH 上一点，延长AH 至点F ，使FH EH =.
求证：四边形EBFC 是菱形.
25．（12分）如图，在△ABC 中，AB =10，AC ＝8，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD ＝4，∠BDE +∠C =180°．求AE 的长．
26．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝m
x
的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△AOB的面积．
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴k-1≠0且△=62-4×（k-1）×3=48-12k≥0，解得k≤4，
∴实数k的取值范围为k≤4，且k≠1，
故选A．
2、C
【分析】根据根的判别式，可得答案.
【详解】解：a=1，b=-3，c=9
4
，
Δ=b2−4ac=9−4×1×9
4
=0
∴当c的值在9
4
的基础上减小时，即c﹤
9
4
,
Δ=b2−4ac＞0
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选C．
【点睛】
本题考查了根的判别式的应用，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
3、C
【分析】根据顶点P在线段MN上移动，又知点M、N的坐标分别为（-1，-2）、（1，-2），分别求出对称轴过点M和N时的情况，即可判断出A点坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
∴此时的A点坐标为（1，0），
当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（0，0），
∴此时A点的坐标最小为（-2，0），
∴点A的横坐标的最小值为-2，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．4、C
【解析】分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．
详解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=3
4
AO
OB =，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选C．
点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．
5、D
【分析】作一个边长为4cm的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可．
【详解】解：如图所示：
四边形ABCD是边长为4cm的正方形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=22
44
=42cm．
所以对角线的长：AC=42cm．
故选D．
6、A
【解析】试题分析：作PA⊥x轴于A，
∵点P的坐标为（3，1），
∴OA=3，PA=1，
由勾股定理得，OP=2，
cos∠POM=OA
OP
=
3
2
，
故选A．
考点：锐角三角函数
7、B
【解析】根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．【详解】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．
8、C
【详解】解:由图可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．
故选C．
9、D
【分析】分两种情况：①当P点在OA上时，即2≤x≤2时；②当P点在AB上时，即2＜x≤1时，求出这两种情况下的
PC长，则y=1
2
PC•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．
【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，AB=∴OB=1．
①当P点在OA上时，即2≤x≤2时，
PC=OC=x，S△POC=y=1
2
PC•OC=
1
2
x2，
是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；OC=x，则BC=1-x，PC=BC=1-x，
S△POC=y=1
2
PC•OC=
1
2
x（1-x）=-
1
2
x2+2x，
是开口向下的抛物线，当x=1时，y=2．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．
10、D
【分析】先过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE
的面积=△COD的面积相等=1
2
|k2|，△AOE的面积=△CBD的面积相等=
1
2
|k1|，最后计算平行四边形OABC的面积．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
根据∠AEB=∠CDO=90°，∠ABE=∠COD ，AB=CO 可得：△ABE ≌△COD （AAS ），
∴S △ABE 与S △COD 相等，
又∵点C 在()220k y k x
=>的图象上， ∴S △ABE =S △COD =
12|k 2|， 同理可得：S △AOE =S △CBD =
12
|k 1|， ∴平行四边形OABC 的面积=2（12|k 2|+12|k 1|）=|k 2|+|k 1|=k 2-k 1， 故选D ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数系数k 的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是
12
|k|，且保持不变． 11、B
【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a 、b 的值即可.
【详解】∵点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，
∴a =﹣2，b =﹣1，
∴a +b =﹣3.
故选B.
【点睛】
关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
12、A 【分析】将()0m ，
代入抛物线的解析式中，可得2210m m --=，变形为2242m m -=然后代入原式即可求出答案． 【详解】将()0m ，代入2
21y x x =--， ∴2210m m --=，
变形得：2242m m -=，
∴2242017220172019m m -+=+=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查抛物线的与x 轴的交点，解题的关键是根据题意得出2242m m -=，本题属于基础题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【详解】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB 为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD 就是过点A 的圆的切线．
故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
14、1．
，
故答案为1.
15、<
【分析】由于第二个转盘红色所占的圆心角为120°，则蓝色部分为红色部分的两倍，即相当于分成三个相等的扇形（红、蓝、蓝），再列出表，根据概率公式计算出小刚赢的概率和小亮赢的概率，即可得出结论．
【详解】解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：
上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可以得到紫色，
所以小刚赢的概率是131124P ==；则小亮赢的概率是213144
P =-=
所以12P P <；
故答案为：<
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
16、()2
12y x =-+
【分析】先确定抛物线y=x 1的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，1），然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】解：抛物线y=x 1的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得对应点的坐标为（1，1），所以新抛物线的解析式为y=（x-1）1+1
故答案为y=（x-1）1+1．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17、9 【解析】
连接BF ，过B 作BO ⊥AC 于O ，过点F 作FM ⊥AC 于M.
Rt △ABC 中,AB=3,BC=6,22223635AC AB BC =+=+=∵∠CAB=∠BAC, ∠AOB=∠ABC, ∴△AOB ∽△ABC,AB BO AC BC ∴
= ,55AB BC BO AC ⋅∴== . ∵EF=BG=2BE=2GF ，BC=2AB ，
∴Rt △BGF 和Rt △ABC 中,2BG BC FG AB
== ,∴Rt △BGF ∽Rt △ABC ，∴∠FBG=∠ACB, ∴AC ∥BF,655FM OB ∴==
∴S △AFC =12
AC×FM=9.
【点睛】
△ACF中，AC的长度不变，所以以AC为底边求面积．因为两矩形相似，所以易证AC∥BF，从而△ACF的高可用BO表示．在△ABC中求BO的长度，即可计算△ACF的面积．
18、1.4
【解析】∵同一时刻物高与影长成正比例，
∴1.75：2=弟弟的身高：1.6，
∴弟弟的身高为1.4米．
故答案是：1.4.
三、解答题（共78分）
19、2.4秒或18 11
秒
【分析】设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；则PB=（6-t）cm，BQ=2tcm，分两种情况：①当PB BQ AB BC
=
时，②当PB BQ
BC AB
=时，分别解方程即可得出结果．
【详解】解：
设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∵∠B＝90°，
∴分两种情况：
①当PB BQ
AB BC
=时，
即6t2t
=
68
-
，
解得：t＝2.4；
②当PB BQ
BC AB
=时，
即6t2t
=
86
-
，
解得：t＝18 11
；
综上所述：2.4秒或18
11
秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键.
20、1，-2
【解析】把方程的一个根–4，代入方程，求出k，再解方程可得.
【详解】
【点睛】
考察一元二次方程的根的定义，及应用因式分解法求解一元二次方程的知识.
21、 (1)见解析；（1）△DEF是正三角形；理由见解析；（3）c1=a1+ab+b1
【解析】试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（1）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠1，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠1=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（1）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA ，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD ，
∴△DEF 是正三角形；
（3）作AG ⊥BD 于G ，如图所示：
∵△DEF 是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt △ADG 中，DG=b ，AG=b ，
在Rt △ABG 中，c 1=（a+
b ）1+（b ）1，
∴c 1=a 1+ab+b 1．
考点：1.全等三角形的判定与性质；1.勾股定理.
22、（1）()()1,0,3,0A B ；（2）①对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形，3k =EF 的长度不会发生变化，值为1．
【分析】（1）令2430x x -+=，求出解集即可；
（2）①根据二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质求解即可；②根据()22432y kx kx k k x k =-+=--，可得到结果；③根据已知条件列式2438kx kx k k -+=，求出定值即可证明．
【详解】解：（1）令2430x x -+=，
∴()()130x x --=，
∴11x =，23x =，
∵点A 在点B 的左边，
∴()()1,0,3,0A B ；
（2）①二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质：
（I ）对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；
（II ）都经过()()1,0,3,0A B 两点；
②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形．
∵()2
2432y kx kx k k x k =-+=--，
∴顶点()2,P k -，
∵()()1,0,3,0A B ，∴2AB =，
要使ABP ∆为等边三角形，必满足3k -=，
∴3k =±；
③线段EF 的长度不会发生变化．
∵直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，
∴2438kx kx k k -+=，
∵0k ≠，∴2438x x -+=，∴11x =-，25x =，
∴216EF x x =-=，
∴线段EF 的长度不会发生变化．
【点睛】
本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数、等边三角形的性质求解是关键．
23、2.4.
【解析】试题解析：
如图所示：AC =130米，BC =50米，
则22120AB AC BC =
-=米， 则坡比501:2.4.120
BC AB ===
故答案为：2.4.
24、见解析.
【分析】根据等腰三角形的三线合一可得BH=HC ，结合已知条件FH EH =，从而得出四边形EBFC 是平行四边形，再根据AH CB ⊥得出四边形EBFC 是菱形．
【详解】证明：,AB AC AH CB =⊥，
BH HC ∴=
FH EH =，
∴四边形EBFC 是平行四边形
又AH CB ⊥，
∴四边形EBFC 是菱形.
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
25、AE=5
【分析】根据∠BDE +∠C =180°可得出C=ADE ，继而可证明△ADE ∽△ACB ，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵BDE+C=180° BDE+
ADE=180° ∴C=ADE ∵A= A
∴ADE ACB ∴AE AD AB AC
= ∴4108
AE = ∴AE=5
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定及性质，利用已知条件得出
C=ADE ，是解此题的关键． 26、（1）2y x =，y ＝x ﹣1；（2）32
；（3）x ＞2或﹣1＜x ＜0 【解析】（1）将A 坐标代入反比例解析式中求出m 的值，确定出反比例解析式，再讲B 坐标代入反比例解析式中求出a 的值，确定出B 的坐标，将A 与B 坐标代入一次函数求出k 与b 的值，即可确定出一次函数解析式； （2）对于一次函数，令y=0求出x 的值，确定出C 的坐标，即OC 的长，三角形AOB 面积=三角形AOC 面积+三角形BOC 面积，求出即可；
（3）在图象上找出一次函数值大于反比例函数值时x的范围即可．
【详解】（1）把A（2，1）代入y＝m
x
，得：m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝2
x
，
把B（﹣1，n）代入y＝2
x
，得：n＝﹣2，即B（﹣1，﹣2），
将点A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y＝kx+b，
得：
21
2
k b
k b
+=
⎧
⎨
-+=-
⎩
，
解得：
1
1 k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣1；
（2）在一次函数y＝x﹣1中，令y＝0，得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
则S△AOB＝1
2
×1×1+
1
2
×1×2＝
3
2
；
（3）由图象可知，当x＞2或﹣1＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。