演示文稿三平稳随机过程课件

率轴上是非负值的。限制了自相关函数图形
不能有平顶、垂直边或幅度上的不连续
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数学期望
均方值 方差 协方差
mX RX ()
E[ X 2 (t)] RX (0)
2 X
RX (0) RX ()
CX ( ) RX ( ) RX ()
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例3：已知平稳随机过程 X(t)的自相关函数为 RX(τ)=100e-10| τ |+100cos10 τ +100
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例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求：
(1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZ t EX sin t Y cost
5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
除Guass
SSS
WSS
二阶矩过程
SSCS
二阶矩过程
WSCS
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5.1.4 平稳随机过程相关函数的性质 1) 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 RX ( ) RX ( ) ，同理可得 CX ( ) CX ( )。
5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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5.1.3 循环平稳性
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mX 2 RX 2() 10 所以有
mX mX1 mX2 10
E[ X 2 (t)] RX (0) 300
2 X
RX (0) mX2
300 100 200
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严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度
与时间无关
二维概率密度仅
与时间间隔有关
则称X(t) 为严平稳（或狭义）随机过程 。
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
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(2) 一、二维概率密度及数学特征
➢ 严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关
f X (x1;t1) f X (x1;t1 )
t1
f X (x1;t1) f X (x1;t1 ) f X (x1;0) f X (x1)
rX ( ) 1
rX ( ) 0
表示不相关
表示完全相关
表示正相关，即两个不同时刻起伏值符号相同可能性大。
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相关时间
当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时 刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。
(1) 相关系数从最大值1下降至0.05时所经历的时间间隔
，记 做相关时间, 即:
f X (x1, x2;t1, t2 ) f X (x1, x2;t1 , t2 )
t1
f X (x，1 x2;t1, t2 ) f X (x，1 x2;0, t2 t1) f X (x，1 x2; )
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x，1 x2; )dx1dx2 RX ( )
RX ( ) RX ( T )
5) 不含任何周期分量的非周期平稳过程满足
lim
RX
(
)
RX
()
mX2
6) 若平稳过程含有平均分量为mX，则自相关函数将含有
固定分量mX2，即
RX ( ) CX ( ) mX2
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7) 自相关函数必须满足
RX
( )e j d
0
并对所有的ω成立。即自相关函数在整个频
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t) Asin t B cos t
mY (t) EY t EAsin t B cost 0 RY (t1,t2 ) EY t1Y t2 EAsin t1 B cos t1Asin t2 B cos t2
（优选）三平稳随机过程课件
1 2022/1/6
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平稳随机过程的概念
平稳随机过程的主要特征：过程的统计特性不随时间改变。
实际问题多为非平稳过程，为何单独要研究平稳过程？
* 平稳随机过程分析方法简单，对于平稳随机过程已建立起
了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。
* 实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下 被近似看作平稳过程，或分段看作短时平稳过程。
rX ( 0 ) 0.05
面(积2)(用钜rX形积(（分) 高的一为半r）X (来0)定,义1底相为关时的0 间矩，形即）面积等于阴影
物理意义
0 0 rX ( )d
相关时间 0越小，就意味着相关系数 rX ( )随 增加而降落
的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越 0
大，则表示随机过程随时间变化越慢。
(t , t
)
X
(t) X
(t
)
lim
T
证明：
E[X (t) X (t )2 ] 0
E[ X 2 (t) 2X (t) X (t ) X 2 (t )] 0 2RX (0) 2RX ( ) 0 RX (0) RX ( )
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4) 周期为T的平稳过程
周期为T的函数
X (t) X (t，其T自) 相关函数也是
RZ (t1,t2 ) EZ t1Z t2 EX sin t1 Y cos t1X sin t2 Y cos t2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cos t1 cos t2 EXY sin t1 cos t2 EYX cos t1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
(
)
m
2 X1
2 X1
e 2
0 rX1 ( )d
e 2 d
0
2
由
RX2 ( ) 知
mX2
0
2 X2
RX2
0
rX2
( )
RX
2
(
)
m
2 X
2
2 X2
e
1
2 0
0 rX2 ( )d
e
0
1
d 2
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5.2 遍历性或各态历经性
1 遍历性过程的定义
➢ 严遍历性的定义 如果一个随机过程 X(t),它的各种时间平均（时间足够
求X(t)的均值、均方值和方差。
解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ)
式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过程 为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平稳等 价。
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❖ 平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动 不变性，即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影 响；
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
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例4：已知平稳随机过程 X1(t)的自相关函数为 RX1 ( ) 3e 2
平稳随机过程 X2(t)的自相关函数为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
RX
2
(
)
2 X
e
1
求它们的相关系数和相关时间
0
X
d
解：
由 RX1 ( ) 3e 2 知
mX1 0
2 X1
RX1
0
3
1 0
rX1 ( )
R
X1
* 非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
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5.1 平稳随机过程
5.1.1 严平稳 (1) 定义
t1 t2
tn
如果对于任意的n和 n 维概率密度满足：
，随机过程
t1
X(t)的
t2
tn
t
fX (x1, x2 ,, xn ; t1, t 2 ,, t n )
fX (x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn )
均值、均方值、 方差及 E[ X k (t)] 与时间无关
相关函数仅与时间 间隔有关
宽平稳随机过程
均值与时间无关，相关函数 仅与时间间隔有关
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5.1.5 平稳过程的相关系数和相关时间
➢ 相关系数
rX
(
)
CX CX
( )
(0)
RX
( )
2 X
mX2
此值在[－1，1]之间。
rX ( ) 0
CX (t1, t2 ) CX ( ) RX ( ) mX2
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(3)严平稳的判断
按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度，可是求n维概率密度是比较困难的。
不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具 体方法有两个：
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)与] 时间 t无关。
因此，Z(t)不是严平稳的。
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例2. 设随机过程X(t)=t2+Asint+Bcost，其中A和B都是一元随机变 量，且E[A]=E[B]=0，D[A]=D[B]=10，E[AB]=0，试分别讨论
X(t)和Y(t)=X(t)-mX(t)的平稳性。
解： mX (t) EX t E t2 Asin t B cost
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cos t1 cos t2 2 cost2 t1 2 cos
RZ (0) 2
因此，Z(t)是宽平稳的。
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E Z 3t E X sin t Y cost3
E X 3 sin3 t E Y 3 cos3 t 3E X 2Y sin2 t cost 3E XY 2 sin t cos2 t EX 3 EY 3 2 EXY 2 EX 2Y 0 E Z 3t 2 sin3 t cos3 t
证明： RX ( ) E[ X (t) X (t )] E[ X (t ) X (t)] RX ( )
2) 平稳过程的均方值就是自相关函数在
0 时的值 RX (0) E[ X 2 (t)]
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3) 平稳过程自相关函数的最大值在 0处， RX (0) RX ( ) ，同理可得 CX (0) CX ( )
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cos t1 cos t2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
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5.1.3 循环平稳性
第十四页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第十五页，共78页。
5.1.3 循环平稳性
第十六页，共78页。
长）依概率1收敛于相应的统计平均,则称X(t)具有严 格遍历性,并称它为严遍历过程。
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宽遍历性的定义
设X(t)是一个平稳随机过程，且满足：
A( X (t)) X (t) lim 1
T 2T
T
T X (t)dt E[ X (t)] mX
时间均值
依概率1成立
均值遍历
X
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相同的
统计特性。
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5.1.2 宽平稳随机过程
若随机过程 X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
2 (t) E[ X 2 (t)] X
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。
t1
E[ X (t)] x1 f X (x1)d x1 mX
E[ X 2 (t)]
x12
fX
(x1)d x1
X2
t1
t
D[X (t)]
(x1
mX )2
fX
(x1)d x1
2 X
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➢ 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的时
间间隔有关，而与时间起点无关
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论研 究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理条 件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号是平 稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一个 较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号来处 理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms的分 帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题