人教A版必修二第一章空间几何体综合测试题

人教A 版必修二第一章空间几何体综合测试题
一、单选题
1．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是
A ．棱柱
B ．棱台
C ．棱柱与棱锥的组合体
D ．不能确定
2．下列说法中正确的是（ ） A ．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
B ．若正方体的棱长扩大到原来的2倍，则其体积扩大到原来的6倍
C ．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
D ．用一个平面去截圆锥，若该平面过圆锥的轴，则所得的截面是一个等腰三角形 3．用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（ ） A ．6 B ．6 C ．2 D ．3 4．已知正四棱锥P ABCD -的高为7，且2AB =，则正四棱锥P ABCD -的侧面积为（ ）
A ．22
B ．4
C ．62
D ．82 5．图所示几何体的左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A ．2π
B ．8π
C ．12π
D ．16π
7．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
832，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．6π
C ．12π
D ．24π
9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是1BB 、BC 的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的（ ）
A．①③B．②④C．②③④D．③④
10．若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//
AC O B
''''，A C B C
''⊥''，1
A C
B C
''=''=，2
O B''=，则原四边形AOBC的面积为（）
A．3
2
B．3 C．32D．62
11．如图，过球的一条半径OP的中点1O，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为（）
A ．9:
B ．9:16
C ．3:8
D ．3:16
12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E ，F 为1AA ，11B C 的中点，点P 是面ABCD 上一动点，3EP =，则FP 的最小值为（ ）
A ．21
B ．22
C ．26
D ．5
二、填空题
13．将一钢球放入底面半径为3cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm ，则钢球的半径是______cm .
14．如图，已知A ，B ，C 三点都在球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，且2ABC π
∠=，3CAB π
∠=，3BC =，则球O 的表面积为______．
15．已知三棱锥P ABC -的四个表面是都是直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，则该三棱锥的体积为__________.
16．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若正方体的体积为3
3，则这个球的体
积为________.
三、解答题
17．如图所示，该几何体是由一个长方体木块锯成的.
（1）判断该几何体是否为棱柱；
（2）画出它的三视图.
18236，
（1）求这个长方体的对角线长。

（2）求这个长方体的的体积
19．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD AB ==2.
（Ⅰ）求PB 的长；
（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的表面积.
20．如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60,45,~ABD BDC ADP BAD ∠=∠=∆∆。

（1）求线段PD 的长；
（2）若11PC R =，求三棱锥P-ABC 的体积。

21．如图是某几何体的三视图及尺寸，
（1）求此几何体的表面积？
（2）求此几何体的体积？
22．正四棱台两底面边长分别为3和9.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
参考答案
1．A
【分析】
运用图形判断，结合棱柱的概念．
【详解】
如图，∵平面AA1B1B∥平面DD1C1C，∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形（水面与两平行平面的交线）因此呈棱柱形状．
故选A
【点睛】
本题考查了空间几何体长方体的性质及概念，考查空间想象能力，属于中档题．
2．D
【分析】
利用圆台的形成可判断A选项的正误；利用正方体的体积公式可判断B选项的正误；利用棱台的定义可判断C选项的正误；利用圆锥的轴截面可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，将直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，
其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台，
若将直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴，
其余三边旋转形成的面所围成的旋转体不是圆台，A选项错误；
对于B选项，设正方体的棱长为a，则正方体的体积为3a，
将正方体的棱长扩大到原来的2倍，则棱长变为2a，
8a，B选项错误；
正方体的体积为3
对于C选项，有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
且侧棱延长后会交于一点，这样的几何体叫棱台，
若两个面互相平行，其余各面都是梯形，
且侧棱延长后不交于一点，这样的几何体不是棱台，C 选项错误；
对于D 选项，圆锥的轴截面为等腰三角形，D 选项正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查圆台、棱台、圆锥轴截面的理解，同时也考查了正方体体积公式的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
3．B
【分析】
先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.
【详解】
根据斜二测画法的特征，可得底不变，为212，
所以直观图的面积是
12=244
⨯⨯. 故选：B.
【点睛】 本题考查根据斜二测画法求直观图面积，考查基本求解能力，属于基础题型.
4．D
【分析】
=.
【详解】
正四棱锥的底面边长为2，
则侧面的高为h ==
所以侧面积为1
422S =⨯⨯⨯=.
故选：D
【点睛】
本题考查了正四棱锥的结构特征应用问题，属于基础题.
5．A
直接根据三视图定义得到答案.
【详解】
根据图形知：几何体的左视图是A 选项.
故选：A.
【点睛】
本题考查了三视图，属于简单题.
6．B
【分析】
本题可根据圆柱的侧面积公式得出结果.
【详解】
因为圆柱的底面半径和高都是2，
所以圆柱的侧面积2228S ππ=⨯⨯⨯=，
故选：B.
【点睛】
本题考查圆柱的侧面积的计算，若圆柱的底面半径为r ，高为h ，则侧面积2S rh π=，考查计算能力，是简单题.
7．B
【分析】
沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的侧视图首先应该是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案．
【详解】
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D 不正确；
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故A ，C 不正确；
故选：B
【点睛】
本题考查了空间几何体三视图问题，考查了空间想象能力.
8．B
由长方体的结构特征可得，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即可求解.
【详解】 长方体的长、宽、高分别为321、、，
则其对角线长为3216++=，
又长方体的顶点都在一个球面上，
所求的球半径6R =， 所以表面积为246R ππ=.
故选：B
9．A
【分析】
根据题意依次向六个面投影即可得答案.
【详解】
解：向ABCD ，1111D C B A 面投影得如图1，与选项中①相同；
向11BCC B ，11ADD A 面投影得如2；
向11CDD C ，11ABB A 面投影得如图3；与选项中③相同；
故选：A .
10．C
【分析】
根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可
根据图像可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，且'''4A O B π∠=
，B C O'B'⊥''，1A C B C ''=''=，2O B ''=，''2A O ∴=，2''22AO A O ==， ''1AC A C ==，''2OB O B ==，且AO OB ⊥，//AC OB ，所以，
原四边形AOBC 的面积为11()(12)223222
S AC OB AO =+⨯=⨯+⨯=
故选：C
【点睛】
关键点睛：根据题意，得到四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形是解题关键，进而可以得出原四边形AOBC 的面积为1()2S AC OB AO =
+⨯，属于基础题 11．D
【分析】
设球O 的半径为R ，圆1O 的半径为r ，利用球的截面的性质求得圆1O 的半径，进而利用圆的面积公式和球的表面积公式作出运算，即可求解.
【详解】
设球O 的半径为R ，圆1O 的半径为r ，
根据球的截面圆的性质，可得2221()2R R r =+，解得
2234R r =， 由球的表面积公式，可得球的表面积为24S R π=，
由圆的面积公式，可得圆1O 的面积为22134
S r R ππ==， 所以截面圆的面积与球的表面积之比为212334416
R S S R ππ==. 故选：D.
【分析】
画出图象，根据条件可求得AP 的长，即可得P 点在面ABCD 上的轨迹，根据正方体的性质，在Rt FPQ 中，求得22216FP PQ FQ PQ =+=+，当PQ 最小时，FP 最小，结合图象，可求得PQ 最小值，即可求得答案.
【详解】
如图所示：
连接AP ，因为1AA ⊥平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，
所以1AA AP ⊥，
由题意得14AA =，E 为1AA 的中点，所以AE =2，
在Rt AEP △中，225AP EP AE =-，
所以P 在面ABCD 上的轨迹是以A 5
取BC 中点Q ，连接FQ ，PQ ，AQ ，
因为11//,B F BQ B F BQ =,
所以四边形1BQFB 为平行四边形，
所以1//FQ B B ，又1B B ⊥平面ABCD ，
所以FQ ⊥平面ABCD ，又PQ ⊂平面ABCD ，
所以FQ PQ ⊥，
在Rt FPQ 中，22216FP PQ FQ PQ =+=+，
所以当PQ 最小时，FP 最小，
在Rt ABQ △
中，AQ ==，PQ 的最小值为
所以PF
=
故选：A
【点睛】 解题的关键是先得到P 点的轨迹，再根据勾股定理，得到PF 的表达式，数形结合，即可求解，考查逻辑分析，数形结合的能力，属基础题.
13．3
【分析】
设球的半径为r cm ，由球的体积3
43r π等于水面升高的体积，即可列方程求钢球半径.
【详解】
由题意知：水面升高的体积等于钢球的体积，设钢球的半径为r cm ，则： 3449363
r πππ=⨯=，解得：3r =， 故答案为：3
14．8π
【分析】
设球的半径为R ，ABC 外接圆的半径为r ，球心到截面ABC 的距离为h ，先由正弦定理求得1r =，然后由222R r h =+，求得R ，代入球的表面积公式求解.
【详解】
设球的半径为R ，ABC 外接圆的半径为r ，球心到截面ABC 的距离为h ,
由题意得：22sin sin 3
BC r CAB ===∠， 解得1r =，
因为2222R r h =+=，
解得R =
所以球O 的表面积为248S R ππ==,
故答案为：8π
15．43 【分析】 首先说明AB BC ⊥，再根据13P ABC ABC V PA S -=
⋅△计算可得； 【详解】
解：因为三棱锥P ABC -的四个表面是都是直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
所以PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA BC ⊥
若AC AB ⊥，则2225BC AC AB =+=，2225PC PA AC =+=，
2222PB PA AB =+=，则PBC 不为直角三角形，故AB BC ⊥
因为PA
AB A =，所以BC ⊥面PAB ，PB ⊂面PAB ，所以BC PB ⊥， 所以2223BC AC AB =
-= 所以1223232
ABC S =⨯⨯= 所以1143223333
P ABC ABC V PA S -=⋅=⨯⨯= 故答案为：433
16．92
π
【分析】
列出关于球的半径和棱长的方程组，解这个方程组可得正方体的棱长.
【详解】
设正方体的棱长为a ，其外接球的半径为R ，则
32R a ==⎪⎩
，整理得到a =32R =， 所以这个球的体积为3442793382
V R πππ==⋅=， 故答案为：92
π. 【点睛】
方法点睛：求多面体的外接球的面积和体积，关键是求球的半径，或找球心的位置，常用方法有：
（1）三条棱两两互相垂直的三棱锥，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；
（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；
（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.
17．（1）是；（2）三视图见解析.
【分析】
（1）根据棱柱的结构特征，以及题中所给直观图，即可得出结果；
（2）根据题中直观图，可直接作出该棱柱的三视图.
【详解】
（1）是棱柱.该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且每相邻两个矩形的公共边都互相平行.
（2）该几何体的三视图如图所示.
【点睛】
本题主要考查几何体的结构特征与三视图，熟记棱柱的结构特征即可，属于常考题型. 18．6 6
【解析】
【分析】
（1）设此长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则236ab bc ac ===，，a ，b ，c ，再利用长方体的对角线长222(2)(3)1++
（2）由（1）知a ，b ，c ，利用长方体体积公式即可得到结果．
【详解】
（1）设此长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则236ab bc ac =
==，，可得6abc =解得3c =2，b=1．
这个长方体的对角线长222(2)(3)1++6．
（2）由（1）可知：6．
【点睛】
熟练掌握长方体的侧面积、对角线长及体积计算公式是解题的关键．
19．（Ⅰ）3842+【解析】
试题分析：（Ⅰ）连结BD ．证明 PD ⊥BD ，在直角三角形PDB 中，求解PB 即可；（Ⅱ）说明△PDA ，△PDC 为全等的直角三角形，利用四棱锥P-ABCD 的表面积S=2S △PDA+2S △PAB+S 正方形ABCD 求解即可
试题解析：（Ⅰ）解： 连结BD .
因为 PD ⊥底面ABCD ，
所以 PD BD ⊥.
因为 底面ABCD 是正方形，2AB =，
所以 22BD =. 在直角三角形PDB
中，
2223PB PD BD =+=.
（Ⅱ）解：因为 PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形， 从而△PDA ，△PDC 为全等的直角三角形，
所以 22PA PC ==.
由（Ⅰ）知 23PB =， 所以 22222AB PA PB BC PC +==+， 从而 △PAB ，△PCB 为全等的直角三角形.
所以，四棱锥P ABCD -的表面积22PDA PAB ABCD S S S S ∆∆=++正方形
2112222
AD PD AB PA AB =⨯⋅+⨯⋅+ 842=+.
考点：点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
20．（1）()()22234sin 60431sin 3022R BD AD DP R BA BD R ⨯
====⨯; （2）23113131····33P ABC ABC V S
PD R R -++===. 【解析】
（1）BD 是圆的直径∴90BAD ∠=又~ADP BAD ,
∴AD DP BA AD =,()()22234sin 6043
1sin 30
22R BD AD DP R BA BD R ⨯====⨯; (2 ) 在Rt BCD 中，cos 452CD BD R ==
2222229211PD CD R R R PC +=+==∴PD CD ⊥又90PDA ∠= ∴PD ⊥底面ABCD
()211321231·sin 6045?22222224ABC S AB BC R R R ⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭ 三棱锥P ABC -的体积为23113131····33344P ABC ABC V S
PD R R R -++===. 21．（1）()
323π+；（2）π.
【分析】 （1）根据三视图，作出几何体的直观图，由直观图求出表面积. （2）由锥体的体积公式：13V S h =
底
即可求解. 【详解】
（1）∵如图所示可知，
圆锥的高为1，底面圆的直径为23
∴圆锥的母线为2，
∴根据圆锥的侧面积公式：ππ3223πrl ==， 底面圆的面积为：23πr =，
∴该几何体的表面积为(323π+.
故表面积为()323π+
（2）圆锥的高为1，底面圆的直径为23
211π3π3
V =⨯⨯⨯= 故体积为π. 22．（1）723；（2）
94
. 【分析】 （1）设1O 、O 分别为上、下底面的中心，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，求出斜高即可求出侧面积； （2）求出侧面积，即可求出斜高，即可由勾股定理求出高.
【详解】
（1）如图，设1O 、O 分别为上、下底面的中心，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，
由题意知145C CO ∠=，112(93)32CE CO EO CO C O =-=-=-= 又2sin 453232EF CE =⋅==， ∴斜高222211(32)333C F C E EF =+=
+= ∴1(4349)337232
S =⨯⨯+⨯⨯=侧 （2）由题意知，223990S S +=+=上底下底，∴
1(39)4902
h ⨯+⋅⨯=斜， ∴902151244h ⨯==⨯斜，又9332EF -==，2294h h EF =-=斜.。