弓长岭区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

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弓长岭区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 12,e e 是平面内不共线的两向量,已知12AB e ke =- ,123CD e e =-
,若,,A B D 三点共线,则的值是
( )
A .1
B .2
C .-1
D .-2
2. 直线: (为参数)与圆:(为参数)的位置关系是( )
A .相离
B .相切
C .相交且过圆心
D .相交但不过圆心 3. 已知在数轴上0和3之间任取一实数,则使“2log 1x <”的概率为( ) A .
14 B .18 C .23 D .112
4. 命题“设a 、b 、c ∈R ,若ac 2>bc 2则a >b ”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3
5. 在△ABC 中,b=,c=3,B=30°,则a=( ) A

B .
2
C


2
D .2
6. 函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数,且在02[,]上的解析式为(1),01
()sin ,12
x x x f x x x ì-#ï=íp <?ïî,则
1741
()()46f f +=( ) A .716 B .916 C .1116 D .1316
【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识,意在考查转化和化归思想和基本运算能力.
7. 函数f (x )
=﹣x 的图象关于( ) A .y 轴对称 B .直线y=﹣x 对称
C .坐标原点对称
D .直线y=x 对称
8. 设n S 是等差数列{}n a 的前项和,若5359a a =,则95
S
S =( ) A .1 B .2 C .3 D .4 9. 如果是定义在上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( ) A .
B .
C .
D .
10.若函数()y f x =的定义域是[]
1,2016,则函数()()1g x f x =+的定义域是( )
A .(]
0,2016 B .[]0,2015 C .(]1,2016 D .[]1,2017
11.已知函数f (x )=x 3+(1﹣b )x 2﹣a (b ﹣3)x+b ﹣2的图象过原点,且在原点处的切线斜率是﹣3,则不
等式组所确定的平面区域在x 2+y 2
=4内的面积为( )
A .
B .
C .π
D .2π
12.以A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数,则这种分数是可约分数的概率是( )
A .
B .
C .
D .
二、填空题
13.已知圆O :x 2+y 2=1和双曲线C :

=1(a >0,b >0).若对双曲线C 上任意一点A (点A 在圆O
外),均存在与圆O 外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ,则

= .
14.已知等差数列{a n }中,a 3=
,则cos (a 1+a 2+a 6)= .
15.若曲线f (x )=ae x +bsinx (a ,b ∈R )在x=0处与直线y=﹣1相切,则b ﹣a= .
16.定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者,则函数},2min{)(2x x x f -=的取值范围是
17.设抛物线2
4y x =的焦点为F ,,A B 两点在抛物线上,且A ,B ,F 三点共线,过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ,若3
2
PF =,则M 点的横坐标为 .
18.计算:
×5﹣1
= .
三、解答题
19.已知=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),设函数f(x)=﹣.
(1)写出函数f(x)的周期,并求函数f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)在区间[π,]上的最大值和最小值.
20.我市某校某数学老师这学期分别用m,n两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均为60人,入学数学平均分和优秀率都相同,勤奋程度和自觉性都一样).现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩,并作出茎叶图如图所示.
(Ⅰ)依茎叶图判断哪个班的平均分高?
(Ⅱ)现从甲班所抽数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,用ξ表示抽到成绩为86分的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)学校规定:成绩不低于85分的为优秀,作出分类变量成绩与教学方式的2×2列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?”
下面临界值表仅供参考:
P(K2≥k)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)
21.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,[)200,220,
[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数.
1111]
22.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;
(Ⅱ)若PA=AB ,求PB 与AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时,求PA 的长.
23.已知定义域为R 的函数是奇函数.
(1)求f (x );
(2)判断函数f (x )的单调性(不必证明); (3)解不等式f (|x|+1)+f (x )<0.
24.(本小题满分12分)已知函数2
()(21)ln f x x a x a x =-++(a R ∈).
(I )若1
2
a >,求)(x f y =的单调区间; (II )函数()(1)g x a x =-,若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立,求实数a 的取值范围.
弓长岭区高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】
考点:向量共线定理. 2. 【答案】D
【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为:直线:圆

圆心(2,1),半径2. 圆心到直线的距离为:
,所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上,所以直线不过圆心。

故答案为:D 3. 【答案】C 【解析】
试题分析:由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点:几何概型.
4. 【答案】C
【解析】解:命题“设a 、b 、c ∈R ,若ac 2>bc 2,则c 2>0,则a >b ”为真命题; 故其逆否命题也为真命题;
其逆命题为“设a 、b 、c ∈R ,若a >b ,则ac 2>bc 2”在c=0时不成立,故为假命题 故其否命题也为假命题
故原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2个 故选C
【点评】本题考查的知识点是四种命题的真假判断,不等式的基本性质,其中熟练掌握互为逆否的两个命题真假性相同,是解答的关键.
【解析】解:∵b=,c=3,B=30°,
∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ,可得:3=9+a 2

3
,整理可得:a 2

3
a+6=0,
∴解得:
a=

2

故选:C .
6. 【答案】
C
7. 【答案】C
【解析】解:∵f (﹣x )=
﹣+x=﹣f (x )

是奇函数,所以f (x )的图象关于原点对称
故选C .
8. 【答案】A 【解析】1111]
试题分析:19951553
9()9215()52
a a S a a a S a +===+.故选A .111] 考点:等差数列的前项和. 9. 【答案】B
【解析】【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数,y=x 是奇函数,故是偶函数。

故答案为:B 10.【答案】B
【解析】
【解析】解:因为函数f (x )的图象过原点,所以f (0)=0,即b=2.
则f (x )=
x 3﹣x 2+ax ,
函数的导数f ′(x )=x 2
﹣2x+a ,
因为原点处的切线斜率是﹣3, 即f ′(0)=﹣3, 所以f ′(0)=a=﹣3, 故a=﹣3,b=2,
所以不等式组为
则不等式组
确定的平面区域在圆x 2+y 2
=4内的面积,
如图阴影部分表示,
所以圆内的阴影部分扇形即为所求.
∵k OB =﹣
,k OA =

∴tan ∠BOA==1,
∴∠BOA=,
∴扇形的圆心角为
,扇形的面积是圆的面积的八分之一,
∴圆x 2+y 2
=4在区域D 内的面积为
×4×π=

故选:B
【点评】本题主要考查导数的应用,以及线性规划的应用,根据条件求出参数a ,b 的是值,然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键.
12.【答案】D
【解析】解:因为以A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成个分数,
由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数,
故这种分数是可约分数的共有个,
则分数是可约分数的概率为P==,
故答案为:D
【点评】本题主要考查了等可能事件的概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
二、填空题
13.【答案】1.
【解析】解:若对双曲线C上任意一点A(点A在圆O外),
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD,
可通过特殊点,取A(﹣1,t),
则B(﹣1,﹣t),C(1,﹣t),D(1,t),
由直线和圆相切的条件可得,t=1.
将A(﹣1,1)代入双曲线方程,可得﹣=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查双曲线的方程和运用,同时考查直线和圆相切的条件,属于基础题.
14.【答案】.
【解析】解:∵数列{a n}为等差数列,且a3=,
∴a1+a2+a6=3a1+6d=3(a1+2d)=3a3=3×=,
∴cos(a1+a2+a6)=cos=.
故答案是:.
15.【答案】2.
【解析】解:f (x )=ae x +bsinx 的导数为f ′(x )=ae x
+bcosx , 可得曲线y=f (x )在x=0处的切线的斜率为k=ae 0
+bcos0=a+b , 由x=0处与直线y=﹣1相切,可得a+b=0,且ae 0
+bsin0=a=﹣1,
解得a=﹣1,b=1, 则b ﹣a=2.
故答案为:2.
16.【答案】(],1-∞ 【解析】
试题分析:函数(){}
2
min 2,f x x x =-的图象如下图:
观察上图可知:()f x 的取值范围是(],1-∞。

考点:函数图象的应用。

17.【答案】2
【解析】由题意,得2p =,(1,0)F ,准线为1x =-,设11(,)A x y 、22(,)B x y ,直线AB 的方程为(1)y k x =-,
代入抛物线方程消去y ,得22
2
2
(24)0k x k x k -++=,所以2122
24k x x k
++=,121x x =.又设00(,)P x y ,则01212112()[(1)(1)]22y y y k x k x k =+=-+-=,所以021x k =,所以212
(,)P k k

因为0213
||112
PF x k =+=+=,解得22k =,所以M 点的横坐标为2.
18.【答案】 9 .
【解析】解:×5﹣1=×=×=(﹣5)×(﹣9)×=9,
∴×5﹣1=9,
故答案为:9.
三、解答题
19.【答案】
【解析】解:(1)∵=(sinx,cosx),=(sinx,sinx),
∴f(x)=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=(1﹣cos2x)+sin2x﹣=﹣cos2x+sin2x﹣=sin
(2x﹣),
∴函数的周期为T==π,
由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+(k∈Z)解得kπ﹣≤x≤kπ+,
∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],(k∈Z);
(2)由(1)知f(x)=sin(2x﹣),
当x∈[π,]时,2x﹣∈[,],
∴﹣≤sin(2x﹣)≤1,
故f(x)在区间[π,]上的最大值和最小值分别为1和﹣.
【点评】本题考查向量的数量积的运算,三角函数的最值,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性,考查计算能力,此类题目的解答,关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度,属于中档题.
20.【答案】
【解析】
【专题】综合题;概率与统计.
【分析】(Ⅰ)依据茎叶图,确定甲、乙班数学成绩集中的范围,即可得到结论;
(Ⅱ)由茎叶图知成绩为86分的同学有2人,其余不低于80分的同学为4人,ξ=0,1,2,求出概率,可得
ξ的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据成绩不低于85分的为优秀,可得2×2列联表,计算K 2
,从而与临界值比较,即可得到结论.
【解答】解:(Ⅰ)由茎叶图知甲班数学成绩集中于60﹣9之间,而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间,所
以乙班的平均分高┉┉┉┉┉┉
(Ⅱ)由茎叶图知成绩为86分的同学有2人,其余不低于80分的同学为4人,ξ=0,1,2
P (ξ=0)=
=
,P (ξ=1)=
=
,P (ξ=2)=
=
┉┉┉┉┉┉
则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
数学期望E ξ=0×+1×
+2×
=人﹣┉┉┉┉┉┉┉┉
(Ⅲ)2×2列联表为
甲班 乙班 合计 优秀 3 10 13 不优秀
17
10 27 合计
20 20 40
┉┉┉┉┉
K 2=
≈5.584>5.024
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关.┉┉
【点评】本题考查概率的计算,考查独立性检验知识,考查学生的计算能力,属于中档题.
21.【答案】(1)0.0075x =;(2)众数是230,中位数为224. 【解析】
试题分析:(1)利用频率之和为一可求得的值;(2)众数为最高小矩形底边中点的横坐标;中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数.1
试题解析:(1)由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=, ∴0.0075x =.
考点:频率分布直方图;中位数;众数.
22.【答案】
【解析】解:(I)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,
又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
(II)设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°,PA=AB=2,
所以BO=1,AO=OC=,
以O为坐标原点,分别以OB,OC为x轴、y轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则
P(0,﹣,2),A(0,﹣,0),B(1,0,0),C(0,,0)
所以=(1,,﹣2),
设PB与AC所成的角为θ,则cosθ=|
(III)由(II)知,设,

设平面PBC的法向量=(x,y,z)
则=0,
所以令,
平面PBC的法向量所以,
同理平面PDC的法向量,因为平面PBC⊥平面PDC,
所以=0,即﹣6+=0,解得t=,
所以PA=.
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
23.【答案】
【解析】解:(1)因为f(x)是R上的奇函数,
所以f(0)=0,即=0,解得b=1;
从而有;…
经检验,符合题意;…
(2)由(1)知,f(x)==﹣+;
由y=2x的单调性可推知f(x)在R上为减函数;…
(3)因为f(x)在R上为减函数且是奇函数,从而不等式
f(1+|x|)+f(x)<0等价于f(1+|x|)<﹣f(x),
即f(1+|x|)<f(﹣x);…
又因f(x)是R上的减函数,
由上式推得1+|x|>﹣x,…
解得x∈R.…
24.【答案】
【解析】【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识,意在考查转化与化归思想的运用和综合分析问题解决问题的能力.
请。

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