九年级数学下册 相似三角形的性质 同步测试(新版)新人教版

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相似三角形的性质
1. △ABC ∽△DEF ,假设△ABC 与△DEF 的相似比为3∶4 ,那么△ABC 与△DEF 的面积之比为( D )
A ．4∶3
B ．3∶4
C ．16∶9
D ．9∶16
2. 如图27－2－41 ,AB ∥CD ,AO OD ＝23 ,那么△AOB 的周长与△DOC 的周长比是 ( D )
图27－2－41
A.25
B.32
C.49
D.23
3．两个相似多边形的面积比是9∶16 ,其中较小多边形的周长为36 cm ,那么较大多边形的周长为( A )
A ．48 cm
B ．54 cm
C ．56 cm
D ．64 cm
4．如图27－2－42 ,在△ABC 中 ,点D ,E 分别是AB ,AC 的中点 ,那么以下结论不正确的选项是( D )
A ．BC ＝2DE
B ．△ADE ∽△ABC
C.AD AE ＝AB AC
D ．S △ABC ＝3S △ADE
【解析】 ∵在△ABC 中 ,点D ,E 分别是边AB ,AC 的中点 ,∴DE ∥BC ,DE ＝12BC ,∴BC ＝2DE ,故A 正确；∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,故B 正确；∴AD AE ＝AB AC
,故C 正确；∵DE 是△ABC 的中位线 ,∴DE ∶BC ＝1∶2 ,∴S △ABC ＝4S △ADE ,故D 错误．
图27－2－42
图27－2－43
5．如图27－2－43 ,边长为4的等边△ABC 中 ,DE 为中位线 ,那么四边形BCED 的面积为( B )
A ．2 3
B ．3 3
C ．4 3
D ．6 3
【解析】 作DF ⊥BC 于F ,
∵边长为4的等边△ABC 中 ,DE 为中位线 ,
∴DE ＝2 ,BD ＝2 ,∠B ＝60° ,
∴BF ＝1 ,DF ＝BD 2－BF 2＝22－12
＝ 3 ,
∴四边形BCED 的面积为12DF ·(DE ＋BC )＝12
×3×(2＋4)＝3 3.应选B. 6．在△ABC 和△DEF 中 ,AB ＝2DE ,AC ＝2DF ,∠A ＝∠D ,如果△ABC 的周长是16 ,面积是12 ,那么△DEF 的周长、面积依次为( A )
A ．8 ,3
B ．8 ,6
C ．4 ,3
D ．4 ,6
【解析】 ∵AB ＝2DE ,AC ＝2DF ,∴AB DE ＝AC DF ＝2 ,又∠A ＝∠D ,∴△ABC ∽△DEF ,且相似比为2 ,∴△ABC 与△DEF 的周长比为2 ,面积比为4 ,又∵△ABC 的周长为16 ,面积为
12 ,∴△DEF 的周长为16×12＝8 ,△DEF 的面积为12×14
＝3. 7. 如图27－2－44 ,在△ABC 中 ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上 ,且AE AB ＝AD AC ＝12
,那么S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( C )
图27－2－44
A ．1∶ 3 B. 1∶2
C. 1∶3
D. 1∶4
8．△ABC ∽△A ′B ′C ′ ,相似比为3∶4 ,假设△ABC 的周长为6 ,那么△A ′B ′C ′的周长为__8__. 【解析】 ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ,∴△ABC 的周长∶△A ′B ′C ′的周长＝3∶4 ,∵△ABC 的周长为6 ,∴△A ′B ′C ′的周长＝6×43
＝8.
9．△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3 ,△DEF 的周长为1 ,那么△ABC 与△DEF 的面积之比为__9∶1__．
【解析】 ∵△ABC ∽△DEF ,△ABC 的周长为3 ,△DEF 的周长为1 ,∴△ABC 与△DEF 的相似比是3∶1 ,∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1. 图27－2－45
10．如图27－2－45 ,在△ABC中 ,DE∥BC,DE分别交边AB,AC于D,E两点 ,假设AD∶AB ＝1∶3 ,那么△ADE与△ABC的面积比为__1∶9__．
11．一天 ,某校数学课外活动小组的同学们 ,带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的 "圆锥形坑〞的深度 ,来评估这些深坑对河道的影响 ,如图27－2－46是同学们选择(确保测量过程中无平安隐患)的测量对象 ,测量方案如下：
①先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为；
②甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上 ,经过适当调整自己所处的位置 ,当他位于点B时 ,恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线)．经测量：AB＝ ,BC＝．
根据以上测量数据 ,求 "圆锥形坑〞的深度(圆锥的高)．(π ,结果精确到)
图27－2－46
第11题答图
解：如图 ,取圆锥底面圆圆心O ,连接OS ,OA ,
那么∠O＝∠ABC＝90° ,OS∥BC ,
∴∠ACB＝∠ASO ,∴△SOA∽△CBA ,
∴OS
BC
＝
OA
AB
,即OS＝
OA·BC
AB
.
∵OA ＝错误!≈ ,BC ,AB ,
∴OS ≈错误!≈ ,
∴ "圆锥形坑〞的深度约为．
12. △ABC ∽△DEF ,DE AB ＝23 ,△ABC 的周长是12 cm ,面积是30 cm 2. (1)求△DEF 的周长；
(2)求△DEF 的面积．
解：(1)∵DE AB ＝23
, ∴△DEF 的周长＝12×23
＝8(cm)； (2)∵DE AB ＝23
, ∴△DEF 的面积＝30×(23)2＝1313(cm 2)．
13．如图27－2－47 ,四边形ABCD 中 ,AD ∥BC ,对角线AC ,BD 相交于O ,AD ＝1 ,BC ＝4 ,那么△AOD 与△BOC 的面积比等于( D )
图27－2－47
A.12
B.14
C.18
D.116
14．如图27－2－48 ,在△ABC 中 ,BC ＞AC ,点D 在BC 上 ,且DC ＝AC ,∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ,点E 是AB 的中点 ,连接EF .
(1)求证：EF ∥BC ；
(2)假设△ABD 的面积是6 ,求四边形BDFE 的面积． 图27－2－48
【解析】 (1)证明EF 为△ABD 的中位线；(2)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．
解：(1)证明：∵DC ＝AC ,
∴△ACD 为等腰三角形．
∵CF 平分∠ACD ,∴F 为AD 的中点．
∵E 为AB 的中点 ,∴EF 为△ABD 的中位线 ,
∴EF ∥BC .
(2)由(1)得EF ∥BC ,∴△AEF ∽△ABD .
∵EF BD ＝12
,∴S △AEF ∶S △ABD ＝1∶4 , ∴S 四边形BDFE ∶S △ABD ＝ 3∶4.
∵S △ABD ＝6 ,∴S 四边形BDFE ＝92
. 15．[2021·泰安]如图27－2－49 ,四边形ABCD 中 ,AC 平分∠DAB ,∠ADC ＝∠ACB ＝90° ,E 为AB 的中点．
图27－2－49
(1)求证：AC 2
＝AB ·AD ；
(2)求证：CE ∥AD ；
(3)假设AD ＝4 ,AB ＝6 ,求AC AF 的值． 解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ,
∴∠DAC ＝∠CAB .
又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90° ,
∴△ADC ∽△ACB .
∴AD AC ＝AC AB
. ∴AC 2＝AB ·AD .
(2)证明：∵E 为AB 的中点 ,
∴CE ＝12
AB ＝AE , ∠EAC ＝∠ECA .
∵AC 平分∠DAB ,
∴∠CAD ＝∠CAB . ∴∠DAC ＝∠ECA .
∴CE ∥AD .
(3)∵CE ∥AD ,
∴∠DAF ＝∠ECF ,∠ADF ＝∠CEF ,
∴△AFD ∽△CFE ,
∴AD CE ＝AF CF
. ∵CE ＝12
AB , ∴CE ＝12
×6＝3. 又∵AD ＝4 ,由AD CE ＝AF CF 得43＝AF CF
, ∴AF AC ＝47
.
∴AC
AF
＝
7
4
.
16. ：如图27－2－50 ,△ABC中 ,AB＝AC,AD是中线 ,P是AD上一点 ,过C作CF∥AB,延长BP交AC于E ,交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
图27－2－50
证明：连接PC ,
∵AB＝AC ,AD是中线 ,
∴AD是△ABC的对称轴．
∴PC＝PB ,∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB ,∴∠PFC＝∠ABP(两直线平行 ,内错角相等) ,
∴∠PCE＝∠PFC.
又∵∠CPE＝∠EPC ,
∴△EPC∽△CPF.
∴PC
PE
＝
PF
PC
(相似三角形的对应边成比例)．
∴PC2＝PE·PF. ∵PC＝BP ,
∴BP2＝PE·PF.
17. 我们知道 ,三角形的三条中线一定会交于一点 ,这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质 ,如有关线段比、面积比就有一些 "漂亮〞结论 ,利用这些性质可以解决三角形中的假设干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：
(1)假设O 是△ABC 的重心(如图1) ,连结AO 并延长交BC 于D ,证明：AO AD ＝23； (2)假设AD 是△ABC 的一条中线(如图2) ,O 是AD 上一点 ,且满足AO AD ＝23
,试判断O 是△ABC 的重心吗 ?如果是 ,请证明；如果不是 ,请说明理由；
(3)假设O 是△ABC 的重心 ,过O 的一条直线分别与AB ,AC 相交于G ,H (均不与△ABC 的顶点重合)(如图3) ,S 四边形BCHG .S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积 ,试探究
S 四边形BCHG S △AGH
的最|大值．
图27－2－51
解：(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点E ,连接DE ,那么DE 为△ABC 的中位线 ,∴DE ∥AB ,
∴△EDO ≌△BAO ,∴DO AO ＝DE AB ＝12 ,∴AO AD ＝23
.
(2)是 ,证明：
连接BO 并延长交AC 于点E ,过点D 作DF ∥BE 交AC 于点F ,那么△AOE ∽△ADF ,
∴AE AF ＝AO AD ＝23
,
∴AE ＝2EF ,
又∵△CDF ∽△CBE ,
∴CF CE ＝CD CB ＝12
, ∴EF ＝FC ,
∴AE ＝CE ,即点E 为AC 中点 ,
∴点O 为△ABC 的重心．
(3)54
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教学反思
1 、要主动学习、虚心请教 ,不得偷懒 . 老老实实做 "徒弟〞 ,认认真真学经验 ,扎扎实实搞教研 .
2 、要 勤于记录 ,善于 总结、扬长避短 . 记录的过程是个学习积累的过程 , 总结的过程就是一个自我提高的过程 .通过总结 , 要经常反思 自己的优点与缺点 ,从而取长补短 ,不断进步、不断完善 .
3 、要突破创新、富有个性 ,倾心投入 . 要多听课、多思考、多改良 ,要正确处理好模仿 与开展的关系 ,对指导教师的工作不能照搬照抄 ,要学会扬弃 ,在 原有的 根底上 ,根据自身条件创造性实施教育教学 ,逐步形成自己的教学思路、教学特色和教学风格 , 弘扬工匠精神 , 努力追求自身教学的高品位 .。