棱柱和棱椎的外接球和内切球

简单几何体的外切球与内接球的计
算
欧阳家百（2021.03.07）
一、棱柱与球
1、正棱柱具备内切球的条件：侧棱长与底面边长有一定的运算关系。

分析正三、四、六棱柱具备内切球时，基侧棱长与底面边长的比例。

其中正三棱柱的侧棱与底面连长比值为：1，正四棱柱的侧棱与底面连长的比值为1：1；正六棱柱的侧棱与底面连长的比值为.
2、直棱柱的外接球球心位置：上下两底中心连线的中点。

[分析原因]
注：长方体和正方体的外接球直径为体对角线，外接球球心为体对角线的中点。

例：直三棱柱中，底面边长分别为4，4，4；侧棱长为3，计算外接球的表面积。

二、棱锥与球
1、棱锥的内切球半径= [分析过程：等体积法]
例：正三棱锥P－ABC中，侧棱长为8，底面边长6，计算内切球半径。

例：四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，侧
棱PA垂直面ABCD，长度为4，计算内切球半径。

2、棱锥的外接球半径的计算。

1、利用外接球球心的意义求普通棱锥的外接球半径
注：棱锥的外接球球心就是确定一点，到棱锥所有顶点的距离都相等，并且该距离就是半径。

[主要体现在折叠过程中找线段相等的条件]
例：已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，沿对角线AC进行折叠，形成三棱锥D-ABC,计算外接球的表面积。

分析：对角线AC的中点就是外接球的球心。

2、正棱锥的外接球球心一定顶点与底面中心连线上（或延长线上），分析原因。

例：已知正三棱锥的侧棱长与底面连长相等，计算外接球与内切球的表面积之比。

[9：1]
注：外接球与内切球半径为3：1，且两球球心重合，长度分别为高的。

例：正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上，若底面边长为4，侧棱长为2
3、共顶点的三条棱两两垂直时，把三棱锥放入所对应的长方体中，它们所对应的外接球
为同一个球，[棱锥的外接球]
例：三棱锥P－ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（14）
例：已知P、A、B、C、D是球O的球面上的五点，正方形ABCD的连长为2，PA垂直面ABCD，PA＝2，则此球的体积为（32）
三、圆锥的内切球以及内接圆柱的相关计算
思路：画轴截面后，找到相似三角形，研究母线，圆锥半径、球半径之间的运算关系
例：若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球面积之比为（3：2）
例：圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积的比值为（）
四、若球与几何体的棱相切时，则对棱之间的距离就是球的直径。

注：对棱之间的距离两条直线的距离
例：若正方体的棱长为6，则与其侧棱都相切的球的直径为：例：若正四面体的棱长为6，则与棱都相切的球的直径为：
例：正三棱锥的侧棱长为6，底面连长为4，则与棱都相切的球的直径为：。