§8.2 与动点有关的几何图形折叠题型 五年中考三年模拟 (河南中考数学复习)

ＢＢＭＣ ，∴
ＢＥ１ ＝
５ ３
．
１０ ２ ， 易 得 △ＢＭＥ１ ∽ △ＢＣＦ１ ， ∴
ＢＥ１ ＢＦ１
＝
②作 ＧＥ２ ⊥ＢＣ 于点 Ｅ２ ，则四边形 ＡＢＥ２ Ｇ 为矩形，∴ ＢＥ２ ＝ ＡＧ ＝ ２．
③作 ＧＥ３ ⊥ＢＦ３ 于点 Ｈ，交 ＢＣ 于点 Ｅ３ ，在等腰三角形 ＧＢＦ３
中，ＢＨ ＝ Ｆ３ Ｈ．易证△ＧＨＦ３ ≌△Ｅ３ ＨＢ，∴ ＢＥ３ ＝ ＧＦ３ ＝ ＧＢ ＝ ５ ． ④由折叠的对称性可知，当点 Ｅ（ Ｅ４ ） 与点 Ｃ 重合时，点 Ｆ
Байду номын сангаас答案
５ ３
或２或
５．
例 ２ （２０１８ 洛阳三模，１５） 如图，在菱形 ＡＢＣＤ 中，∠ＤＡＢ ＝
４５°，ＡＢ ＝ ８，Ｐ 为线段 ＡＢ 上一动点，过点 Ｐ 作 ＰＥ⊥ＡＢ 交直线 ＡＤ
于 Ｅ，沿 ＰＥ 将∠Ａ 折叠，点 Ａ 的对称点为点 Ｆ，连接 ＥＦ、ＤＦ、ＣＦ，
当△ＣＤＦ 为直角三角形时，ＡＰ ＝ ．
§ ８．２ 与动点有关的几何图形折叠题型
对应学生用书起始页码 １８４ 页
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题型特点 １．与动点有关的几何图形的折叠问题，是指以动手操作为
背景而设计的一类问题，此类问题通过具体动手操作对图形变 化获得感性认识，再利用数学知识进行归纳、思考、探究，运用逻 辑推理解决问题．与动点有关的几何图形折叠问题具有较强的实 践性与思维性，能够有效考査学生的实践能力、直觉思维能力和 发散思维能力等综合素质．
逐一解决后再将结果汇总，得出问题的完整答案． 命题趋势 １．对于与动点有关的几何图形折叠问题， 学生在解题过程
中能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“ 数学化” 和“ 再创 造”的过程，能不断提高自己的创新意识与综合能力，这也是《 义 务教育数学课程标准（２０１１ 年版） 》 的基本要求之一． 因此，近年 来实践操作型试题受到命题者的重视，多次出现，与动点有关的 几何图形折叠问题在近 ５ 年的河南中招考试中均有考查，主要 以填空压轴题出现．
２．与动点有关的几何图形折叠问题一般包括两部分：操作部分 和探究部分．通常题目提供出一定量的阅读信息或操作方法，在操作 的过程中，学生依据所学知识，体验数学结论与规律的发现过程．而 问题的结果往往具有开放性，通常折叠所成图形形状不确定或不完 整，需要通过分类讨论，进而将复杂问题拆解成若干个问题来考虑，
（ Ｆ４ ） 恰在射线 ＣＤ 上，故 Ｆ４ 不合题意，舍去． ⑤易知 Ｆ５ ，Ｆ６ 不合题意，舍去． ５ 综上所述，ＢＥ 的长为 ３ 或 ２ 或 ５ ．
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２．在 ２０２０ 年的中考题中， 估计与动点有关的几何图形折叠 问题仍会是特殊的四边形或特殊三角形的折叠，求折叠后所形 成的等腰三角形、直角三角形或殊四边形的边长或角度问题．
对应学生用书起始页码 １８５ 页
解答与动点有关的几何图形折叠问题的关键是要学会灵活 地运用数学知识去观察、分析、概括所给的问题，揭示其数学本 质．与折叠相关的问题所依据的核心思想是轴对称的性质：（ １） 对称是全等变换，其对应边相等、对应角相等；（２） 对称轴是对应 点连线的垂直平分线 （ 对应点所连线段被对称轴垂直平分，对 称轴上的点到对应点的距离相等） ．
①作 ＧＭ⊥ＢＦ１ ，交 ＢＣ 于点 Ｅ１ ，在 Ｒｔ△ＧＤＦ１ 中，∠ＧＤＦ１ ＝
９０°，由勾股定理得 ＤＦ１ ＝ ＧＦ２１ －ＧＤ２ ＝ ２，∴ ＣＦ１ ＝ １，在 Ｒｔ△ＢＣＦ１
中，由勾股定理可得，ＢＦ１ ＝ ＢＣ２ ＋ＣＦ２１ ＝ １０ ，∴ 在等腰三角形
ＢＧＦ１
中，ＢＭ ＝
１ ２
ＢＦ１ ＝
在矩形 ＡＢＣＤ 中，点 Ｅ 运动时，△ＧＢＥ 关于
直线 ＧＥ 对称的△ＧＦＥ 的顶点 Ｆ 在以点 Ｇ 为圆心，以 ＧＢ 长为半 径的圆上，圆与矩形任意一边所在的直线的交点即为点 Ｆ，由作 图知，点 Ｆ 分别在射线 ＤＣ，ＢＣ，ＡＤ 上时符合题意，记为 Ｆ１ ，Ｆ２ ， Ｆ３ ，易得三角形 ＢＧＦ 为等腰三角形，作出底边上的高，与 ＢＣ 的 交点记为 Ｅ１ ，Ｅ２ ，Ｅ３ ，即为所求的点，根据条件，由勾股定理，三角 形相似、全等即可求得 ＢＥ 的 长． 解 本 题 的 关 键 是 确 定 点 Ｆ 的 位置．
解析 ∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为矩形， ∴ ＢＣ ＝ ＡＤ ＝ ＡＧ＋ＧＤ ＝ ３，ＤＣ ＝ ＡＢ ＝ １，∠ＢＡＤ ＝ ９０°，
∴ 在 Ｒｔ△ＡＢＧ 中，由勾股定理得，ＧＢ ＝ ＡＢ２ ＋ＡＧ２ ＝ ５ ， 以点 Ｇ 为圆心，ＧＢ 长为半径作圆，交矩形各边所在的直线 于点 Ｆ１ ，Ｆ２ ，Ｆ３ ，Ｆ４ ，Ｆ５ ，Ｆ６ ，连接 ＧＦ１ ，ＧＦ２ ，ＢＦ１ ，ＢＦ３ ，
确定折叠后动点的位置的方法一般是：（ １） 如果折痕运动但 过定点，则折叠后的对应点在定圆上；（２） 如果对应点确定，则折 痕为对应点连线的垂直平分线． 根据折叠后的图形特点，分类讨 论，运用全等，相似，勾股定理，三角函数等多种知识求解．
例 １ （２０１８ 郑州二模，１５） 如图，在矩形 ＡＢＣＤ 中，点 Ｇ 在 ＡＤ 上，且 ＧＤ ＝ ＡＢ ＝ １，ＡＧ ＝ ２，点 Ｅ 是线段 ＢＣ 上的一个动点（ 点 Ｅ 不与点 Ｂ，Ｃ 重合） ，连接 ＧＢ，ＧＥ，将△ＧＢＥ 关于直线 ＧＥ 对称 的三角形记作△ＧＦＥ，当点 Ｅ 运动到使点 Ｆ 落在矩形任意一边 所在的直线上时，则所有满足条件的线段 ＢＥ 的长是 ．
解析 ①如图 １，当 ＤＦ⊥ＡＢ 时，△ＣＤＦ 是直角三角形， 在菱形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ８，