高中数学模块综合检测创新应用课件新人教A版选修45

17 ． ( 本 小 题 满 分 12 分 )( 辽 宁 高 考 ) 已 知 f(x) ＝ |ax ＋ 1|(a∈R)，不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求 a 的值； (2)若f（x）－2fx2≤k 恒成立，求 k 的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|≤3 得－4≤ax≤2.
A．(－∞，2) B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
解析：选 D a≤x＋x－1 1， 由 x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1≥3，即 x＋x－1 1的最小值 为 3.
9．若实数 x、y 满足x12＋y12＝1，则 x2＋2y2 有(
Hale Waihona Puke )A．最大值 3＋2 2 B．最小值 3＋2 2
C．最大值 6
D．最小值 6
解析：选 B 由题知，x2＋2y2＝(x2＋2y2)·x12＋y12＝3＋2xy22＋ xy22≥3＋2 2，当且仅当xy22＝2xy22时，等号成立，
故选 B.
10．对任意实数 x，若不等式|x＋1|－|x－2|>k 恒成 立，则 k 的取值范围是( )
A．k<3 B．k<－3 C．k≤3 D．k≤－3
(1＋1)1＋13·…·1＋2k1－1> 2k＋1.
那么，当 n＝k＋1 时，
(1 ＋ 1) 1＋13 ·…·1＋2k1－1 1＋2（k＋11）－1 >
1＋2k1＋1＝ 22kk＋＋11(2k＋2)．
∵
22kk＋＋11（2k＋2）2－(
2k＋3)2
＝4k2＋8k＋4－2k（＋41k2＋8k＋3）＝2k1＋1>0，
其中所有真命题的序号是________．
解析：①不正确．a，b 符号不定；②不正确，sin2x ∈(0，1]，利用函数 y＝x＋4x的单调性可求得 sin2x＋sin42x ≥5；③不正确．(x＋y)x1＋9y＝10＋xy＋9yx≥10＋6＝16； ④正确．|x－y|＝|x－2＋2－y|≤|x－2|＋|2－y|＜ε＋ε＝2ε.
由 a<b 知 a－b<0，又已知 a，b 为非零实数， ∴a1b2－a12b<0，即a1b2<a12b. D 项中，ba－ab＝b2－ aba2＝（b＋a）a（ b b－a）， 由于a＋ abb的符号不确定，故 D 项错误．
2．设 a，b∈R，下面的不等式成立的是( )
A．a2＋3ab＞b2 B．ab＋a＞b＋ab
Sn＝lg(1＋1)＋lg1＋13＋…＋lg1＋2n1－1
＝lg（1＋1）1＋13·…·1＋2n1－1， 12lg bn＋1＝lg 2n＋1， 因此要比较 Sn 与12lg bn＋1 的大小，
可先比较(1＋1)1＋13·…·1＋2n1－1与 2n＋1的大小． 取 n＝1，有(1＋1)> 2·1＋1， 取 n＝2，有(1＋1)1＋13> 2·2＋1，… 由此推测，(1＋1)1＋13·…·1＋2n1－1> 2n＋1(n∈N＋)．① 若①式成立，则由对数函数性质可以断定：Sn>12lgbn＋1.下面用 数学归纳法证明①式． (ⅰ)当 n＝1 时，已验证①式成立． (ⅱ)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，①式成立，即
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(注意：当 k＝－3 时，若|x＋1|－|x－2|＝－3，则无法取“>”) 法三：令 y＝|x＋1|－|x－2|，
－3（x≤－1）， 则 y＝2x－1（－1<x<2），
3（x≥2）.
在直角坐标系下作出图象如图所示， 由图得到－3≤y＝|x＋1|－|x－2|≤3. 以下同法二．
二、填空题(本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
12．(天津高考)集合 A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整 数为________．
解析：不等式|x－2|≤5 等价于－5≤x－2≤5，解得 －3≤x≤7，所以集合 A 为{x∈R|－3≤x≤7}，集合 A 中 的最小整数为－3.
答案：－3
13．设 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a， b，c 的大小顺序是________．
∴ 22kk＋＋11(2k＋2)> 2k＋3＝ 2（k＋1）＋1.
因而(1＋1)(1＋13)·…·1＋2k1－11＋2（k＋11）－1 > 2（k＋1）＋1.
2k＋1
这就是说①式当 n＝k＋1 时也成立．
由(ⅰ)，(ⅱ)知①式对任何正整数 n 都成立．
由此证得
1 Sn>2lg
bn＋1.
The End
a＝b
＝1 时，等号成立；
同理：ab2＋a2＋b≥33 ab2·a2·b＝3ab>0，当且仅 当 a＝b＝1 时，等号成立．
所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2， 当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立． 因为 a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
16．(本小题满分 12 分)已知实数 a，b，c，d 满足 a ＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的最值．
(1)当点 x 在点－1 左侧时，如图中的点 R，则(*)恒为－ 3.
(2)当点 x 在点 2 右侧时， 如图中的点 T，则(*)恒为 3. (3)当点－1≤x≤2 时，如图中的点 S， 则－3≤(*)≤3. 由(1)(2)(3)可知，无论 x 为任何实数， (*)的范围是－3≤(*)≤3.
因此若使|x＋1|－|x－2|>k，只需 k<－3.
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解析：选 C A 项中 a2－b2＝(a＋b)(a－b)， 由 a<b 知 a－b<0. 但 a＋b 的符号不确定，故 A 项错误． B 项中，ab2－a2b＝ab(b－a)， 由 a<b 知 b－a>0， 但 ab 的符号不确定，故 B 项错误． C 项中，a1b2－a12b＝a1bb1－1a＝aa－2b2b，
解析：选 B (x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y ＋z)＋xz≥2 xyz（x＋y＋z）＝2.
5．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5 的解集为( ) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(－∞，－1]∪[2，＋∞) C．(－∞，－2]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
＝1，b1＋b2＋…＋b10＝100.
(1)求数列{bn}的通项 bn； (2)设数列{an}的通项 an＝lg1＋b1n，记 Sn 是数列{an} 的前 n 项和，试比较 Sn 与12lg bn＋1 的大小，并证明你的结 论．
解：(1)设数列{bn}的公差为 d， 由题意得b110＝b1＋ 1，10（102－1）d＝100，解得bd1＝＝21. ， ∴bn＝2n－1. (2)由 bn＝2n－1，知
又 f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当 a≤0 时，不合题意．
当 a>0 时，－4a≤x≤2a，得 a＝2. (2)记 h(x)＝f(x)－2f2x，
1，x≤－1，
则 h(x)＝－4x－3， －1<x<－21， －1，x≥－12，
所以|h(x)|≤1，因此 k≥1.
18．(本小题满分 14 分)已知数列{bn}是等差数列，b1
6．若 logxy＝－2，则 x＋y 的最小值是( )
33 2 A. 2
23 3 B. 3
33 C. 2
22 D. 3
解析：选 A ∵logxy＝－2，∴y＝x12， ∴x＋y＝x＋x12＝x2＋x2＋x12≥3 3 14＝323 2. 故应选 A.
7．不等式|x－1|＋|x－2|≥5 的解集为( ) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4]∪[1，＋∞)
解析：选 D 由题意不等式|x－1|＋|x＋2|≥5 的几何意义 为数轴上到 1，－2 两个点的距离之和大于等于 5 的点组成的 集合，而－2，1 两个端点之间的距离为 3，由于分布在－2，1 以外的点到－2，1 的距离要计算两次，而在－2，1 内部的距 离则只计算一次，因此只要找出－2 左边到－2 的距离等于 5－2 3＝1 的点－3，以及 1 右边到 1 的距离等于5－2 3＝1 的点 2， 这样就得到原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
11 ． 函 数 y ＝ 5 x－1 ＋ 10－2x 的 最 大 值 为 ________．
解析：y＝5 x－1＋ 10－2x ＝5 x－1＋ 2· 5－x ≤ [（x－1）＋（5－x）]·（25＋2） ＝ 4·27＝6 3. (当且仅当 2· x－1＝5 5－x即 x＝12277时取等号)
答案：6 3
A．N M B．M＝N C．M⊆N D．M N
解析：选 C 由绝对值不等式的性质知 |f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|， ∴集合 N 与集合 M 成 M⊆N 关系．
4．若 x，y，z 是正数，且满足 xyz(x＋y＋z)＝1，则 (x＋y)·(y＋z)的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C.ab＜ab＋ ＋11
D．a2＋b2≥2(a－b－1)
解析：选 D 法一：取 a＝0，b＝1 验证排除 A、B， 再取 a＝4，b＝3 时，可排除 C，故选 D.
法二：a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1 ＝(a－1)2＋(b－1)2≥0.
3．已知函数 f(x)、g(x)，设不等式|f(x)|＋|g(x)|<a(a>0) 的解集是 M，不等式|f(x)＋g(x)|<a(a>0)的解集为 N，则 集合 M 与 N 的关系是( )
解析：选 C 原不等式可化为x（<11－，x）＋（2－x）≥5， ①
或1（≤xx－≤12），＋（2－x）≥5，② 或x（>x2－，1）＋（x－2）≥5.③ 解不等式组①得 x≤－1，不等式组②无解， 解不等式组③得 x≥4. 因此，原不等式的解集为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
8．当 x>1 时，不等式 a≤x＋x－1 1恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
解析：选 B 法一：(1)x－≤（－x1＋，1）＋（x－2）>k， 或(2)－ x＋1<1＋x<（2，x－2）>k，或(3)x（≥x2＋，1）－（x－2）>k. 由(1)得 k<－3.由(2)得－1<x<2 时，k<2x－1.
而 2x－1∈(－3，3)，∴k≤－3.由(3)得 k<3. 依题意，要对任意 x 都使该不等式成立， ∴k<－3 时，(1)(2)(3)都可以满足． 故选 B. 法二：根据绝对值的几何意义： |x＋1|可看作点 x 到点－1 的距离， |x－2|可看作点 x 到点 2 的距离， 因此|x＋1|－|x－2|即为数轴上任一点 x 到点－1 的距离与 到点 2 的距离的差，记作(*)， 要使它大于 k 恒成立就要讨论点 x 的位置：
解：由柯西不等式得， (2b2＋3c2＋6d2)21＋13＋16≥(b＋c＋d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2， 由条件可得，5－a2≥(3－a)2，
解得 1≤a≤2，当且仅当
2b ＝ 1
3c ＝ 1
6d 时等号成 1
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立，即 b＝12，c＝13，d＝16时，amax＝2； b＝1，c＝23，d＝13时，amin＝1.
解析：用分析法比较，a>b⇔ 3＋ 5> 2＋ 6⇔8＋ 2 15>8＋2 12，同理可比较得 b>c.
答案：a>b>c
14．下列四个命题中： ①a＋b≥2 ab；②sin2x＋sin42x≥4；③设 x，y 都是 正数，若1x＋9y＝1，则 x＋y 的最小值是 12；④若|x－2| ＜ε，|y－2|＜ε，则|x－y|＜2ε.
答案：④
三、解答题(本大题共有 4 小题，共 50 分) 15．(本小题满分 12 分)已知 a，b 是不相等的正实数． 求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
证明：因为 a，b 是正实数，所以 a2b＋a＋b2≥
3 3
a2b·a·b2＝3ab>0，当且仅当
a2b＝a＝b2，即