2017年高考数学人教版理科一轮复习课件：第2章 函数、导数及其应用 3 函数的奇偶性与周期性

第三页，编辑于星期六：二点 四十六分。
[小题热身] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐 标原点对称的。( √ ) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0。( × ) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对 称。( √ ) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对 称。( √ )
f(－x)＝a－x1－1＋12＝a1x－1 1＋12＝1－axax＋12 ＝－1－1－axa－x 1＋12＝－1＋1－1 ax＋12＝－ax－1 1＋12＝－f(x)， 即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数。
第十六页，编辑于星期六：二点 四十六分。
(4)∵f(x)＝xx11－＋xx
x＜0 x＞0
的正数，那么这个⑯_最__小__正__数_____就叫做f(x)的最小正周期。
(3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝
1 fx
，则T
＝2a；若f(x＋a)＝－f1x，则T＝2a。
(4)若f(x)为奇函数且周期为T，则fT2＝0。
第十二页，编辑于星期六：二点 四十六分。
11－ ＋xx＝－(x＋1)
1－x 1＋x
＝－
1＋1x＋21x－x＝－ 1＋x1－x＝－
1＋x1－x2 1－x
＝－(1－x)
11－＋xx＝(x－1)
11＋ －xx＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数。
第十五页，编辑于星期六：二点 四十六分。
(3)∵f(x)的定义域为x∈R，且x≠0，其定义域关于原点对称，并 且有
奇偶性
定义
偶函数
如果函数f(x)的定义域内①任_意__一__个_x都有 ②f(_－__x_)＝__f，(x那) 么函数f(x)是偶函数
奇函数
如果函数f(x)的定义域内④任_意__一__个_x都有 f(⑤－_x_)＝__－__f，(x)那么函数f(x)是奇函数
图象特点 关于③_y_轴__对称
关于⑥_原__点_对称
第二十四页，编辑于星期六：二点 四十六分。
解析：(1)方法一：因为f(x)是奇函数， 所以f(－1)＝－f(1)， 即sian－－11＝－3sai＋n11，于是a－1＝3(a＋1)， 解得a＝－2，且这时f(x)＝xs2i－nx4， 容易验证f(x)是奇函数。 方法二：∵y＝sinx是奇函数，f(x)是奇函数， ∴y＝(x＋2)(x＋a)＝x2＋(2＋a)x＋2a是偶函数， ∴2＋a＝0，即a＝－2。
第二十五页，编辑于星期六：二点 四十六分。
(2)由已知可得fe12＝lne12＝－2， 所以ffe12＝f(－2)。 又因为f(x)是奇函数， 所以ffe12＝f(－2)＝－f(2)＝－ln2，故选D。
第二十六页，编辑于星期六：二点 四十六分。
悟·技法 函数奇偶性的问题类型及解题思路
(1)已知函数的奇偶性，求函数值：将待求值利用奇偶性转化为 已知区间上的函数值求解。
第十九页，编辑于星期六：二点 四十六分。
解析：①f(x)＝x3－x的定义域为R，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x3－x是奇函数。
②由x＋ x2＋1＞x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋ x2＋1)的定义域为R，
又f(－x)＝ln(－x＋
－x2＋1)＝lnx＋
第十三页，编辑于星期六：二点 四十六分。
考点一 函数奇偶性的判定
【典例1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由。 (1)f(x)＝x2－|x|＋1 x∈[－1,4]；
(2)f(x)＝(x－1)
1＋x 1－x
x∈(－1,1)；
(3)f(x)＝ax－1 1＋12 (a＞0，a≠1)；
(4)f(x)＝xx11－＋xx
x＜0 x＞0。
第十四页，编辑于星期六：二点 四十六分。
解析：(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点 对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数。
(2)∵f(x)＝(x－1)
11＋ －xx ，已知f(x)的定义域为－1＜x＜1，其定
义域关于原点对称。
又f(－x)＝(－x－1)
第一页，编辑于星期六：二点 四十六分。
考纲要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函 数的周期性
第二页，编辑于星期六：二点 四十六分。
考情分析 1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常与函数的单调性、 零点等性质交汇命题 2．题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大
A．－2 B．2 C．－98 D．98
解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)， 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)， f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2。故选A。 答案：A
第九页，编辑于星期六：二点 四十六分。
一、必记3●个知识点 1．函数的奇偶性
[知识重温]
第二十一页，编辑于星期六：二点 四十六分。
⑤函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，其关于原点对称， 并且有当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝－(－x)[1＋(－x)]＝x(1－x)＝f(x)， 当x＜0时，－x＞0， f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数。 所以①②③④⑤中共有4个奇函数。
第六页，编辑于星期六：二点 四十六分。
3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的 是( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x。 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D。 答案：D
第七页，编辑于星期六：二点 四十六分。
(2)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值，常常利用待 定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的 对等性得参数的值或方程求解。
(3)应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对 称区间上的图象及判断另一对称区间上的单调性。
第二十七页，编辑于星期六：二点 四十六分。
第十页，编辑于星期六：二点 四十六分。
2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦相__同____，偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性⑧_相__反___(填“相同”、“相 反”)。 (2)在公共定义域内 (ⅰ)两个奇函数的和函数是⑨奇__函__数__，两个奇函数的积函数是⑩ __偶__函__数。 (ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是⑪_偶__函__数_。 (ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫_奇__函__数_。 (3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝⑬_0_____。
二、必明2●个易误点 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对 称。定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个必要条件。 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有 f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－ x0)＝f(x0)。
1 x2＋1
＝－ln(x＋ x2＋1)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数。
第二十页，编辑于星期六：二点 四十六分。
③f(x)定义域为R， 且f(－x)＝aa－－xx－＋aaxx＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数。 ④由11＋－xx＞0得－1＜x＜1， f(x)＝lg11－＋xx的定义域为(－1,1)， 又f(－x)＝lg11＋－xx＝lg11－＋xx－1＝－lg11－＋xx＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数。
第二十二页，编辑于星期六：二点 四十六分。
2．若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则 ()
A．函数f(g(x))是奇函数 B．函数g(f(x))是奇函数 C．函数f(x)g(x)是奇函数 D．函数f(x)＋g(x)是奇函数
解析：根据函数奇偶性的定义可知， f(g(－x))＝f(g(x))， 所以f(g(x))是偶函数，同理可以判断g(f(x))是偶函数，函数f(x)＋ g(x)的奇偶性不确定，而f(－x)g(－x)＝[－f(x)]g(x)＝－f(x)g(x)，所以 f(x)g(x)是奇函数。 答案：C
第十一页，编辑于星期六：二点 四十六分。
3．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝⑭__f_(_x_) _，那么就称函数y
＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中⑮_存__在__一__个__最_ 小
悟·技法 判断函数奇偶性的三种方法
(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即 可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原 点的对称区域，再判断f(－x)是否等于±f(x)或判断f(x)±f(－x)是否等于 零，或判断ff－xx(f(x)≠0)是否等于±1等。
(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点 (或y轴)对称。
4．若函数f(x)＝2x＋1xx－a为奇函数，则a＝(
)
A.12 B.23 C.34 D．1
解析：由题意，得f(－1)＝－f(1)，即
311－a，解得a＝12，选A。 答案：A
－1 －1×－1－a
＝－
第八页，编辑于星期六：二点 四十六分。
5．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2) 时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
直线x＝a对称。
(4)正确。函数y＝f(x＋b)关于点(0,0)中心对称，则函数y＝f(x)关
于点(b,0)中心对称。
第五页，编辑于星期六：二点 四十六分。
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的
值是( )
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解析：由题意得a－1＝－2a且b＝0，故a＝13，a＋b＝13，选B。 答案：B
的定义域关于原点对称，
∵当x＞0时，－x＜0，
∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)
＝－f(x)(x＞0)。
当x＜0时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)
＝－f(x)(x＜0)。
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数。
第十七页，编辑于星期六：二点 四十六分。
(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； 奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零) 为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。(注：利用上 述结论时要注意各函数的定义域)
第十八页，编辑于星期六：二点 四十六分。
通·一类 1．下列函数： ①f(x)＝x3－x； ②f(x)＝ln(x＋ x2＋1)； ③f(x)＝aaxx－＋aa－－xx(a＞0且a≠1)； ④f(x)＝lg11＋－xx； ⑤f(x)＝x－1x－1x＋，xx，＞x0＜0， 其中有__4______个奇函数。
第四页，编辑于星期六：二点 四十六分。
解析：(1)正确。根据函数奇偶性的定义，f(x)，f(－x)必须同时有
意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义
域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性。
(2)错误。若函数f(x)在点x＝0处没有定义，如f。
(3)正确。函数y＝f(x＋a)关于直线x＝0对称，则函数y＝f(x)关于
通·一类
3．设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝x2－4(x＞0)，则f(x－2)＞
0的解集为( )
A．(－4,0)∪(2，＋∞)
第二十三页，编辑于星期六：二点 四十六分。
考点二 函数奇偶性的应用
【典例2】(1)(2016·佛山统考)若函数f(x)＝
sinx x＋2x＋a
是奇函
数，则实数a的值等于__－__2__。
(2)已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则f
1 fe2
的值为
( D)
1 A.ln2
B．－ln12 C．ln2 D．－ln2