高中数学-导数的运算法则练习

高中数学-导数的运算法则练习
一、基础达标
1．设y ＝－2e x
sin x ，则y ′等于
( )
A ．－2e x
cos x B ．－2e x
sin x
C ．2e x
sin x D ．－2e x
(sin x ＋cos x )
答案 D
解析 y ′＝－2(e x
sin x ＋e x
cos x )＝－2e x
(sin x ＋cos x )．
2．当函数y ＝x 2＋a 2
x
(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝
( )
A ．a
B ．±a
C ．－a
D ．a 2
答案 B
解析 y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a
2
x 2＝x 2－a 2
x
2，
由x 2
0－a 2
＝0得x 0＝±a . 3．设曲线y ＝
x ＋1
x －1
在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )
A ．2 B.12 C ．－1
2 D ．－2
答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2
x －1
， ∴y ′＝－
2x －1
2
.∴y ′|x ＝3＝－1
2
.
∴－a ＝2，即a ＝－2.
4．已知曲线y ＝x 3
在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为
( )
A ．(－2，－8)
B ．(－1，－1)或(1,1)
C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，－18
答案 B
解析 y ′＝3x 2
，∵k ＝3，∴3x 2
＝3，∴x ＝±1，
则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2
，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线
y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．
答案 4
解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，
f ′(1)＝
g ′(1)＋2＝4.
6．已知f (x )＝13
x 3
＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.
答案 1
解析 由于f ′(0)是一常数，所以f ′(x )＝x 2
＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12
＋3f ′(0)＝1. 7．求下列函数的导数：
(1)y ＝(2x 2
＋3)(3x －1)； (2)y ＝x －sin x 2cos x
2
.
解 (1)法一 y ′＝(2x 2
＋3)′(3x －1)＋(2x 2
＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋ 3(2x 2
＋3)＝18x 2
－4x ＋9.
法二 ∵y ＝(2x 2
＋3)(3x －1)＝6x 3
－2x 2
＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3
－2x 2
＋9x －3)′＝18x 2
－4x ＋9.
(2)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －1
2
sin x ，
∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .
二、能力提升
8．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线的斜率为
( )
A ．－12 B.12 C ．－22 D.2
2
答案 B
解析 y ′＝cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x sin x ＋cos x 2
＝1
sin x ＋cos x
2
，
故y ′|
x ＝
π4
＝12
，
∴曲线在点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.
9．已知点P 在曲线y ＝
4
e x
＋1
上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )
A ．[0，π
4)
B ．[π4，π2)
C ．(π2，3π4]
D ．[3π
4
，π)
答案 D
解析 y ′＝－4e x
e x
＋12＝－4e x
e 2x ＋2e x
＋1
，设t ＝e x
∈(0，＋∞)，则y ′ ＝－
4t
t 2
＋2t ＋1
＝－
4t ＋1t
＋2
，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈[3π
4，π)． 10．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x
，则f ′(1)＝________.
答案 2
解析 令t ＝e x
，则x ＝ln t ，所以函数为f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x ＋1，即f ′(1)＝1
1
＋1＝2. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3
相切的直线方程．
解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3
上，可令切点坐标为(x 0，x 3
0)．由题意，所求直线方程的斜
率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2
＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3.
当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0； 当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27， 则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.
综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.
12．已知曲线f (x )＝x 3
－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．
解 设切点为(x 0，y 0)，
则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 2
0－3， ∴切线方程为y ＝(3x 2
0－3)x ＋16， 又切点(x 0，y 0)在切线上， ∴y 0＝3(x 2
0－1)x 0＋16， 即x 3
0－3x 0＝3(x 2
0－1)x 0＋16， 解得x 0＝－2，
∴切线方程为9x －y ＋16＝0. 三、探究与创新
13．设函数f (x )＝ax －b x
，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.
(1)求f (x )的解析式；
(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝7
4x －3.
当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝1
2
，
①
又f ′(x )＝a ＋b x
2， ∴f ′(2)＝7
4
，
②
由①，②得⎩⎪⎨⎪⎧
2a －b 2＝12
，a ＋b 4＝7
4.
解之得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝3.
故f (x )＝x －3x
.
(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3
x
2知
曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为
y －y 0＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
1＋3x 20(x －x 0)，
即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．
令x ＝0得y ＝－6x 0
，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，－6x 0.
令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．
所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
－6x 0||2x 0＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。